Значение кривых в математике. Часть 3

Шестого порядка

Астроида

Одна из гипоциклоид. Уравнение в параметрической форме: х = bсоs3φ, у = bsin3φ; в декартовых координатах: х2/3 + у2/3 = b2/3, или (х2 + у2 – b2)3 + 27х2у2b2 = 0. Длина кривой равна s = 6b = 24а; площадь, ограниченная кривой = 3πb2/8 = 6πа2.

Трансцендентные кривые. Теория и применение

Параболическая спираль

Параболическая спираль – конхоида спирали Ферма. Уравнение в полярных координатах: , где с принимает положительные значения. Кривая состоит из множества ветвей, пересекающихся много раз.

Спираль Галилея

Плоская кривая. Уравнение в полярных координатах: , где d ≥ 0. Симметрична относительно полярной оси. В полюсе - двойная точка, касательные к которой образуют с полярной осью углы. Имеет место бесконечно много двойных точек на этой оси: , где k = 1, 2, 3, Названа по имени Г. Галилея (1638).

Жезл

Уравнение в полярной системе координат:. Кривая состоит из двух ветвей (которые соответствуют положительным и отрицательным значениям параметра а), каждая из которых имеет асимптоту – полярную ось и асимптотическую точку – полюс. Точки перегиба (). Впервые кривую описал Р. Котес в 1714г.

Циклоида

Уравнение в декартовых координатах:. Точки возврата:. Длина дуги ОМ: s = 8аsin(t/4); длина дуги одной ветви ОА1О1: s = 8а. Площадь между дугой и осью: 3πа2. Радиус кривизны в вершинах – 4а. Эволюта циклоиды – такая же циклоида.

Пусть окружность радиуса R катится по прямой а; С – точка, закреплённая на окружности, в начальный момент времени находящая в положении А. Кривая, которую описывает точка, закреплённая на окружности, катящейся без скольжения по прямой, называется циклоидой.

Для изображения циклоиды отложим на прямой а отрезок АВ, равный длине окружности, т. е. АВ = 2πR. Разделим этот отрезок на 8 равных частей точками А1, А2,. , А8 = В.

Ясно, что когда окружность, катясь по прямой а, сделает один оборот, т. е. повернется на 360°, она займет положение, а точка С переместится из положения А в положение В.

Если окружность сделает половину полного оборота, т. е. повернется на 180°, она займет положение, а точка С переместится в самое верхнее положение С4.

Если окружность повернется на угол 45°, то окружность переместится в положение, а точка С переместится в положение С1.

На рисунке 1 показаны также другие точки циклоиды, соответствующие оставшимся углам поворота окружности, кратным 45°.

Соединяя плавной кривой построенные точки, получим участок циклоиды, соответствующий одному полному обороту окружности. При следующих оборотах будут получаться такие же участки, т. е. циклоида будет состоять из периодически повторяющихся участков, называемых арками циклоиды.

Первым, кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей. Он же придумал и её название.

Выведем параметрическое уравнение циклоиды.

Пусть окружность радиуса а катится без скольжения вправо по горизонтальной прямой. Примем эту прямую за ось Ох, поместив начало координат в некоторой точке О оси. За фиксированную точку окружности (перемещением которой образуется искомая кривая) примем ту ее точку, которая совпадает с точкой 0 при соответствующем положении окружности. За параметр t примем угол поворота радиуса окружности, проходящего через фиксированную точку.

Пусть в некоторый момент времени окружность касается оси в точке А. Фиксированная точка окружности займет положение М(х; у), соответствующее углу t поворота радиуса СМ (t = ( АСМ). Так как качение происходит без скольжения, то ОА = МА = аt. Используя это, выразим координаты точки М через t: х = ON = OA – NА = МА – NA = at – аsint = а(t – sint), у= NM = АР = АС – РС = а – а cos t= а (1-cos t).

Таким образом, параметрические уравнения искомой линии х = а(t – sint), у=а (1– cos t).

Спираль Архимеда

Поместим точку на секундную стрелку часов и будем перемещать точку вдоль секундной стрелки с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Тогда точка опишет кривую, называемую спиралью Архимеда. Изобретение этой кривой приписывается Конону Самосскому, хотя ее основные свойства описал именно Архимед (ок. 287-212 гг. до н. э. ). Архимеду, в частности, было известно, что расстояние между двумя последовательными витками спирали является постоянной величиной и равно 2π. Кстати, в силу этой особенности в расположении витков реальный образ спирали Архимеда можно видеть, например, наблюдая туго завернутый рулон бумаги с его торцевой стороны.

Начертим окружность. Разделим ее и радиус ОА на n равных частей. Пусть n = 8. Проведем ко всем точкам деления лучи из центра О окружности и пронумеруем их. На луче 1 отметим точку на расстоянии r1 = 0,125ОА от центра окружности. На луче 2 отметим точку на расстоянии r2 = 0,25ОА, на луче 3 точку на расстоянии r3 = 0,375ОА и т. д. На луче 8 поставим точку на расстоянии r8 = ОА.

Соединив последовательно плавной кривой полученные точки, мы увидим первый виток спирали Архимеда. Построение будет тем более точным, чем больше точек деления радиуса и окружности будет выбрано первоначально.

Спираль Архимеда используется в качестве линии, позволяющей разделить заданный угол на любое количество равных частей. В некоторых готовальнях в старину в состав рабочих инструментов входила металлическая пластинка с тщательно выгравированной на ней спиралью Архимеда. С помощью такого приспособления было нетрудно разделить угол на несколько равных частей. Например, для трисекции угла ВАС достаточно приложить пластину ее ровной частью к одному из лучей угла и поделить получившийся отрезок АВ на 3 равные части. На дуге спирали следует сделать засечку радиусом AD = 1/3АВ. Тогда угол CAD будет равен одной трети угла ВАС.

В области техники спираль Архимеда находит применение в так называемых кулачковых механизмах, которые преобразуют вращательное движение шайбы в поступательное движение стержня. В некоторых механизмах (например, в часах) требуется, чтобы стержень двигался равномерно. Обеспечить это можно, очертив профиль шестеренки по спирали Архимеда.

В качестве второго объекта для применения спирали Архимеда в технике можно привести самоцентрирующийся патрон, направляющие канавки которого выполнены по спирали Архимеда. При одном повороте диска этого патрона кулачки перемещаются на величину радиального расстояния смежных канавок.

Кроме того, форму спирали Архимеда имеют звуковая дорожка на грампластинке и одна из деталей швейных машин - механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку.

Гиперболическая спираль

Уравнение в параметрической форме: х = (асоst)/t, у = (аsint)/t. Кривая состоит из двух ветвей, расположенных симметрично относительно оси у. Первая ветвь – пунктир, вторая – сплошная. В полярных координатах уравнение первой ветви: ρ = а/(φ – π), второй: ρ = а/φ. Асимптота: у – а = 0, точка О - асимптотическая. Площадь заштрихованного сектора = а2(1/φ2 – 1/φ1)/2.

Нефроида

Нефроиду можно определить как траекторию фиксированной точки подвижной окружности (01, r), катящейся снаружи без скольжения по неподвижному кругу (0, 2r). Когда, например, окружность (01, г) повернется из начального положения на угол 2φ, то описывающая нефроиду точка попадет из Мо в положение М. Нефроида обладает центром симметрии О и двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии.

Укажем некоторые свойства нефроиды и используем их для другого ее построения. Пусть RN - диаметр окружности (01, r) и Т=(MR)∩(0, 2r). Пусть, далее, U = (ОТ)∩(MN). Можно доказать, что UN - касательная к нефроиде в точке М.

Треугольники 01МR и ROT - равнобедренные. Значит, (O1MR = (О1RM = (ОRT = (ОTR. Поэтому UT((MO1. Треугольники MO1N и UON подобны. Следовательно, треугольник UON равнобедренный и (UO(= 4r. UMT - прямоугольный треугольник. Опишем около него окружность (02, 3r). Тогда

МТ=2φ. 3r= Зφ. 2r= М0Т. На этом основан второй способ построения нефроиды: катим по неподвижному кругу (0, 2r) окружность (02, 3r), касающуюся его так. Нефроиду описывает точка М(02, 3r).

Для дальнейшего введем понятие«огибающая семейства кривых {L}». Огибающая - непрерывная кривая l такая, что: а) каждая ее точка принадлежит одной из кривых семейства {L} и, обратно, каждая из кривых в{L} имеет с 1 общую точку; б) в каждой такой точке касательная у l и у соответствующей кривой из {L} - общая. В частности, если {L} - семейство прямых, то каждая из них должна касаться огибающей в некоторой ее точке. На чертеж часто огибающая не наносится, но, тем не менее, видна, если кривых семейства {L} нарисовано «много».

Половинку нефроиды при ярком солнце можно увидеть утром над чашкой кофе. Нефроида может быть так же получена как огибающая следующего семейства прямых. Рассмотрим окружность с центром в 0 и два ее взаимно перпендикулярных диаметра Ох и Оу. Выберем произвольно на диаметре Оу точку В и сделаем с помощью окружности (В, (ВО() засечку А на исходной окружности. Проведем для всевозможных точек В через точки В и А прямые ВА. Огибающая семейства этих прямых - нефроида.

Синусоидальная спираль

Синус-спираль – трансцендентная кривая. Её формула в полярн6ых координатах:

При положительных m кривая располагается внутри круга радиуса а и проходит через полюс. При m = р/q (р и q – взаимно простые числа) спираль имеет р осей симметрии, проходящие через полюс. При целом m > 0 спираль состоит из m лепестков и имеет в полюсе кратную точку. При дробном m спираль состоит из р лепестков, которые могут перекрывать друг друга, образуя новые кратные точки. При целом отрицательном значении m спираль не проходит через полюс и имеет ‌‌׀m׀‌ бесконечных ветвей. При m = 1 спираль – окружность, при m = -1 – прямая, при m = 2 лемниската, при m = -2 равнобочная гипербола, при m = 0,5 кардиоида, при m = -0,5 парабола, при m = 4 показана на рисунке сплошной линией, при m = -4 пунктирной. Инверсия спирали относительно полюса даёт спирали с заменой m на –m.

Спираль Ферма

Уравнение в полярной системе координат:. Обладает центром симметрии. Состоит из двух ветвей (при положительном и отрицательном значении параметра а), которые начинаются в полюсах. Расстояние между двумя последовательными витками неограниченно убывает по мере удаления от полюса. Впервые её рассмотрел П. Ферма в 1636г.

Дельтоида. Гипоциклоиды

Направляющая кривая – окружность радиуса b; окружность радиуса а катится внутри неё. Уравнение в параметрической форме: х = (b – а)соsφ + а соs((b – а)φ/а), у = (b – а)sinφ – аsin((b – а)φ/а). Введём обозначение m = b/а. При m = 2 гипоциклоида вырождается в диаметр направляющей окружности. Длина дуги одной ветви: 8(b – а)/m. Площадь между ветвью и направляющей окружностью = πа2(3b – 2а)/ b. При m = 3, получается дельтоида.

Эвольвента окружности

Если А – некоторая определённая точка на окружности радиуса а с центром в точке О, а М – произольная точка эвольвенты, то длина дуги АВ равна длине отрезка МВ. Уравнение в параметрической форме: х = асоsφ + аφsinφ, у = аsinφ – аφсоsφ.

Кривая состоит из двух ветвей, симметрично расположенных относительно оси х, с общей точкой в точке возврата А(а, 0). Длина дуги АМ = аφ2/2. Радиус кривизны = а(φ(. Все центры кривизны лежат на окружности радиуса а с центром в О.

Квадратриса Динострата

Квадратрису Динострата можно определить как график функции:

Кривая симметрична относительно оси ординат и состоит из бесконечного множества ветвей. Прямые х = 2ka (k ( Z, k ( 0) являются ее вертикальными асимптотами.

Древние, не владея координатным методом, определяли квадратрису Динострата кинематически и имели представление лишь о той ее части, которая соответствует отрезку [-а; а].

Рассмотрим это «механическое» определение. Пусть одновременно отрезок ОА равномерно вращается против часовой стрелки вокруг полюса О и отрезок АВ равномерно перемещается влево, причем(ОА (= АВ = а и скорости вращения и перемещения таковы, что оба отрезка одновременно достигают полярной оси ОС. Тогда множество {М} точек пересечения отрезков ОА и АВ, занимающих соответствующие положения, и образует кусок» квадратрисы Динострата.

Построив квадратрису, вы получите отрезок ОМ0 длина 2а/π. Из отрезков длин а и 2а/π легко построить циркулем и линейкой отрезок длины π, что решает задачу о квадратуре круга. С помощью квадратрисы Динострата можно решить и задачу о трисекции угла.

Кохлеоида

Кохлеоида получается из квадратрисы Динострата в результате инверсии относительно окружности (0, а).

Центральная ветвь квадратрисы дает наружный замкнутый участок кохлеоиды, похожий на яблоко. Боковые ветви дают внутренние «петельки».

Опишем еще один способ построения дуги кохлеоиды. Рассмотрим окружности радиуса г ≥ а/4 , касающиеся данной прямой в точке О. Отложим на каждой из них от точки О против часовой стрелки дугу длины πа/2. Множество {М} концов этих дуг - дуга кохлеоиды.

Спираль Корню

Эта кривая названа в честь французского физика Х1Х в. А Корню. Главной особенностью спирали является то, что её кривизна прямо пропорциональна длине пройденного по ней пути.

При строительстве железных и шоссейных дорог возникает необходимость связать линейные участки с участками пути, где средства транспорта движутся по дугам окружностей. При этом важно, чтобы кривизна пути изменялась равномерно, и спираль Корню является идеальной переходной кривой для закругления железнодорожного пути. При этом прямой участок пути должен переходить в дугу спирали, начиная с её центра. А с путём по окружности спираль Корню стыкуется в той точке, где её кривизна равняется кривизне данной окружности.

Эта кривая также называется клотоида. Её уравнение в параметрической форме очень сложно:

Точка О – центр симметрии кривой. Имеются две асимптотические точки:

Трактриса

Уравнение в декартовой системе координат: Трактриса – это эвольвента цепной линии. Характеристическое свойство состоит в том, что длина касательной есть постоянная величина а. Уравнение в параметрической форме: х =1ntg0,5t + cost, у = sin t. Точка А(0, а) – точка возврата, ось х – асимптота, ось у – ось симметрии. Длина Дуги АМ: , при этом. Радиус кривизны:. Происхождение трактрисы связывается в истории математики с именем парижского врача Перро, который предложил Лейбницу найти кривую, по которой должна перемещаться тяжелая материальная точка М, прикрепленная к концу нити, если другой конец нити перемещать по некоторой прямой. Кстати, само название трактрисы образовано от латинского слова traho - тащить. Как доказал Лейбниц, трактриса обладает свойством постоянства длины касательной (равной длине нити). Он же первым построил трактрису.

Примем параметрическое уравнение трактрисы, данное выше, за ее определение. Из этого уравнения видно, что параметр t может изменяться лишь в интервале 0 < t < π. Поэтому всегда будет выполнено у > 0; при t ( 0 видим, что х ( -( и у(0; при t(π получаем х(( и у(0; при t = 0,5π будем иметь х = 0 и у = 1. Ясно, что ось абсцисс является асимптотой трактрисы.

Приведем оригинальный способ приближенного построения трактрисы с помощью перочинного ножа. Если нож с двумя лезвиями открыть и вести концом одного лезвия по прямой АВ, играющей роль асимптоты для вычерчиваемой трактрисы, то направление второго лезвия в каждой точке траектории его движения будет касательным к этой траектории. Так как длина отрезка касательной окажется при этом постоянной, то след, оставляемый лезвием на бумаге, является трактрисой.

В истории математики трактрисе суждено было сыграть выдающуюся роль в связи с открытием Лобачевским неевклидовой геометрии. Так, поверхность, полученная при вращении трактрисы, называется псевдосферой и обладает тем свойством, что на этой поверхности реализуются все аксиомы геометрии Лобачевского.

Цепная линия

Уравнение в декартовой системе координат: у = 0,5(ех + е-х).

Эта кривая относится к тем немногочисленным, которые наши предки наблюдали с незапамятных времен. Цепную линию можно определить как кривую, форму которой принимает однородная гибкая тяжелая нерастяжимая нить с закрепленными концами под действием силы тяжести.

Вопрос о форме кривой провисания связан с известным заблуждением Галилея, который ошибочно полагал, что эта кривая будет обычной параболой (1638). Гюйгенс опроверг это утверждение, а в 1699 г. был поставлен интересный эксперимент, который убедительно показал, что кривая провисания и парабола – разные по своей природе кривые. Цепная линия отличается от параболы, в частности, тем, что при х(( крутизна цепной линии увеличивается несравненно быстрее, чем у параболы.

Как известно, древние греки из всех кривых выделяли прямую и окружность. Именно от греков пришли к нам знаменитые задачи на построение с использованием только циркуля и линейки, т. е. инструментов, с помощью которых легко построить прямую и окружность. Если этих двух инструментов достаточно, то кривая очень близка к «божественным» прямой и окружности. Цепную линию таким образом построить нельзя, хотя красиво можно построить касательную к ней в любой точке.

Определяя угловой коэффициент касательной в точке М(х; у), будем иметь: tga = у, = 0,5(ех-е-х), а значит, cos а = 1/у

Это очень важное соотношение, именно с ним связан простой способ построения касательной к цепной линии.

Действительно, если на ординате МР как на диаметре построить окружность, а затем единичным радиусом сделать на окружности засечку в точке N, то cos(MPN = 1/у, и, следовательно, (MPN = а, а так как (MPN = (МКР, то, значит, (MKP = а, а отсюда следует, что прямая МК и будет касательной.

Цепная линия обладает рядом интересных свойств:

• проекция ординаты произвольной точки цепной линии на нормаль (перпендикуляр к касательной) в этой точке равна 1;

• длина дуги цепной линии от ее вершины (точки пересечения цепной линии с осью ординат) до точки М(х; у) равна ;

• площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.

В области техники цепная линия используется в расчетах, связанных с провисанием нитей - проводов, тросов. В строительной технике она находит применение при проектировании сводов зданий. Форму цепной линии имеют и висячие мосты, у которых только две крайние опоры. Кстати, если цепь висячего моста поддерживает настил моста с помощью ряда вертикальных стержней, то висячий мост будет иметь форму параболы.

Это связано с тем, что нагрузка, которая для висячих мостов равномерно распределена по всей кривой, в данном случае будет равномерно распределена по ее горизонтальной проекции.

Логарифмическая спираль

Уравнение в полярных координатах: а > 0, -∞ < φ < +∞. Кривая пересекает все лучи, выходящие из точки О, под одним и тем же углом α. При этом k = ctg α. При , т. е. при k = 0, кривая вырождается в окружность. Полюс О – асимптотическая точка кривой. Длина дуги М1М2: ; длина дуги Ом от начала до точки М с полярным радиусом ρ:. Радиус кривизны R(ρ) =.

Теперь более подробно об этой кривой. Вообще, логарифмическую спираль описывает точка, движущаяся по секундной стрелке не с постоянной скоростью, а с возрастающей, причём это возрастание пропорционально расстоянию от центра часов.

Логарифмическую спираль можно построить с помощью так называемого золотого прямоугольника, т. е. у которого отношение сторон равно золотому сечению:.

Если от золотого прямоугольника АВСD отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник ЕFСD, но меньших размеров. Если продолжить этот процесс далее, а затем соединить плавной кривой вершины квадратов, то получим логарифмическую спираль.

Логарифмическая спираль обладает рядом интересных свойств.

1. Расстояния между последовательными витками образуют геометрическую прогрессию.

2. Последовательность длин радиусов, образующих одинаковые углы друг с другом, также составляют геометрическую прогрессию.

3. Образующиеся в процессе расширения секторы, отсекаемые такими радиусами, подобны друг другу.

Логарифмическая спираль часто встречается в природе и связана с определёнными видами роста. У очень многих моллюсков последовательные витки раковины не одинаковы, а всё более и более утолщаются. Во многих случаях приближённые значения толщины последовательных витков образуют геометрическую прогрессию. Хотя саму раковину моллюска нельзя назвать живой, она образуется растущим организмом. Один из простейших способов наращивания нового вещества автоматически приводит к образованию некоторой фигуры, очень близкой к логарифмической спирали. В подсолнухе семечки расположены по характерным дугам, близким, как показывают соответствующие измерения, к дугам логарифмической спирали. На логарифмические спирали похожи рукава нашей галактики.

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать свои радиус-векторы под одним и тем же углом (этот угол равен ). На этом основаны применения логарифмической спирали в технике. Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания остаётся постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа.

Труба, подводящая струю воды к лопастям турбинного колеса гидроэлектростанции, имеет профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали.

В истории математики логарифмическая спираль упоминается впервые в 1638г. Декартом, который определял новую спираль как линию, у которой отношение длины дуги к соответствующему радиус-вектору является постоянным.

Логарифмическая спираль – кривая с «твёрдым характером». Она не изменяет своей природы при многих преобразованиях, к которым чувствительны другие кривые. Сжать или разжать эту спираль относительно её полюса – то же самое, что повернуть её на определенный угол. Это свойство логарифмической спирали было открыто Якобом Бернулли, назвавшим её spira mirablis – дивная спираль. Открытые Бернулли свойства логарифмической спирали оставаться неизменной при различных преобразованиях настолько поразили учёного, что он был склонен придать им мистический смысл. Якоб Бернулли завещал высечь логарифмическую спираль на своём надгробном камне, сопроводив изображение латинской фразой «Eadem mutata resurgo» - «Изменённая, возрождаюсь прежней».

Вообще математические кривые были изобретены много лет назад, но применение находят и в современной математике. Можно привести пример, когда кривая, изобретённая много лет назад, нашла применение в геометрии Лобачевского – это трактриса. При вращении трактрисы получается бесконечная поверхность – псевдосфера, которая в неевклидовой геометрии играет такую роль, как плоскость – в евклидовой. Но есть такие кривые, которые лучше не использовать в том значении, в котором они использовались. Был случай построения залы собора, форма которого была сделана в форме эллипса. И получилось так, что в одном фокусе эллипса поставили комнату для покаяния. Позже оказалось, что все разговоры, идущие в комнате, были хорошо слышны в другом фокусе эллипса, и любопытные люди специально приходили туда и толпились около этого второго фокуса.

Моя работа может широко использоваться как в школьном курсе, так и во внешкольном. В школе можно было подробно рассмотреть общее уравнение второй степени и его исследование, а так же некоторые важнейшие другие кривые, например, спираль Архимеда, в то время как в школьном курсе данное уравнение вообще не рассматривается, а эллипс даже не упоминается, кроме его частного случая – окружности, про многие дополнительные кривые, ученики даже и не слышали.