Неопределенные уравнения в целых числах или диофантовы уравнения

В жизни часто приходится решать задачи, в которых одно уравнение связывает два и больше неизвестных. Некоторые задачи приводят к системам с числом уравнений, меньшим числа неизвестных. Подобные уравнения или системы называются неопределенными уравнениями, потому что, если нет дополнительных условий, они имеют бесконечное множество решений: одному или нескольким неизвестным можно дать любые значения; тогда уже определяются значения остальных.

Исследование неопределенных уравнений носит название неопределенного анализа. Оно называется также диофантовым анализом по имени замечательного греческого математика – Диофанта, жившего в III в. н. э. в городе Александрии. Диофант оставил книгу, на которой воспитывались творцы современной Теории Чисел. Нужно заметить, что он занимался разысканием не только целых, но и рациональных (т. е. целых и дробных) решений неопределённых уравнений. Решением неопределённых уравнений в целых числах и исследованием полученных решений стали позже заниматься индусы.

Неопределенные линейные уравнения

Решение задач методом подбора

Задача 1. Несколько детей собирали яблоки. Каждый мальчик собрал по 21 кг, а девочка по 15 кг. Всего они собрали 174 кг. Сколько мальчиков и сколько девочек собирали яблоки?

Решение: Пусть мальчиков x, а девочек y, при этом x и y - натуральные числа. Можем составить уравнение:

21x + 15y = 174

7x + 5y = 58

Решаем методом подбора: x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 y = 6

Только при x = 4 второе неизвестное получает целое положительное значение (y = 6). При любом другом значении x число y будет либо дробным, либо отрицательным. Следовательно, задача имеет одно единственное вполне определенное решение: 4 мальчика и 6 девочек.

Задача 2: Можно ли сформировать набор из карандашей стоимостью 3 рубля и ручек стоимостью 6 рублей на сумму 20 рублей?

Пусть количество карандашей в наборе x, а ручек y.

Составим уравнение:

3x + 6y = 20

Решение. Надо решить уравнение в целых числах. Но при любых целых числах x и y левая часть уравнения должна делиться на 3; правая часть при этом не делится на 3. Это означает, что не существует таких целых x и y, которые удовлетворяли бы нашему уравнению. Это уравнение неразрешимо в целых числах. Сформировать такой набор невозможно.

Задача 3. Найти натуральное число, которое при делении на 3 дает остаток 2, а при делении на 5 – остаток 3.

Решение. Обозначим искомое число через x. Если частное от деления x на 3 обозначим через y, а частное от деления на 5 – через z, то получим: x = 3y + 2 x = 5z + 3.

По смыслу задачи x, y и z должны быть натуральными числами. Значит, нужно решить в целых числах неопределенную систему уравнений.

Нахождение x не вызывает затруднений. При любых целых y и z , будет целым и x. Вычтем из второго уравнения первое и получим:

5z - 3y + 1 = 0.

Это уравнение нам и необходимо решить. Найдя все целые положительные y и z, сразу получим и все целые положительные значения x.

Из этого уравнения находим:

Одно решение очевидно: при z = 1 получим y = 2, и x и y целые. Им соответствует решение x = 8.

Найдем остальные решения. Для этого введем вспомогательное неизвестное u, полагая z = 1 + u. Мы получим:

5(1 + u) – 3y + 1 = 0, т. е. 5u = 3y – 6 или 5u = 3(y – 2).

Правая часть последнего уравнения при любом целом y делится на 3. Значит, и левая часть должна делиться на 3. Но число 5 – взаимно-простое с числом 3; поэтому u должно разделиться на 3, т. е. иметь вид 3n, где n – целое число. В этом случае y будет равняться

15n÷3 + 2 = 5n + 2, т. е. тоже целому числу. Итак, z = 1 + u = 1 + 3n, откуда x = 5z + 3 = 8 + 15n.

Получилось не одно, а бесконечное множество значений для x, т. е. решений нашей задачи: x = 8 + 15n, где n – целое число (положительное или ноль): n = 0, 1, 2, 3,

В задачах на неопределенные уравнения мы сталкиваемся с самыми разнообразными случаями: задача может быть совсем неразрешимой (Задача 2), может иметь бесконечное множество решений (Задача 3), может иметь несколько определенных решений; в частности, она может иметь одно единственное решение (Задача 1).

Отметим разницу во взглядах на решение уравнения: с одной стороны – в алгебре, с другой стороны – в неопределенном анализе. В алгебре господствует стремление найти все возможные его решения. В неопределенном анализе рассматриваются только целые числа. От отрицательных чисел отказаться нельзя, так как пришлось бы рассматривать слишком много частных случаев, а употребление отрицательных чисел позволяет получить очень удобные общие формулы. Но так как в неопределенном анализе рассматриваются целочисленные решения, то для их нахождения можно использовать свойства целых чисел: делимость, кратность, разложение на простые множители, нахождение общего наибольшего делителя и так далее.

При решении этих задач мы можем составить уравнения с двумя неизвестными, но для составления второго уравнения данных нет. С точки зрения алгебры уравнение имеет бесчисленное множество решений, то есть каждому произвольно взятому числу x соответствует определенное число y. Для нахождения частных решений таких уравнений требуются добавочные условия. Например, решения должны быть целыми или натуральными, как и в приведенных задачах. В своей работе я рассматриваю только те уравнения, в которых значения x и y – целые. Часто эти уравнения можно решить методом подбора.

Общие решения однородных и неоднородных уравнений

Но решение задач таким методом бывает затруднительным.

Любое неопределенное уравнение после обычной «обработки» (освобождения от знаменателей, приведения подобных членов и т. д. ) может быть записано в виде ax + by = c.

Здесь a, b и c – данные целые числа (положительные или отрицательные); x и y - неизвестные, но принимающие только целые значения ( тоже – положительные, отрицательные или ноль).

Рассмотрим случай, когда неопределенное уравнение неразрешимо.

Найдем наибольший общий делитель чисел a и b. Обозначим его через d (если a и b – взаимно-простые числа, то d равно 1). Тогда a = md, b = nd.

При этом m и n обязательно будут числами взаимно-простыми.

Каковы бы ни были целые числа x и y, левая часть уравнения должна делиться на d, потому что оба слагаемых ax и by на него делятся. Значит, и правая часть этого уравнения должна делиться на d. Отсюда можно сделать такой вывод: если свободный член не делится на общий наибольший делитель коэффициентов при неизвестных, то уравнение неразрешимо.

Таким образом, мы можем считать достойным изучения только такие уравнения, все члены которых делятся на наибольший общий делитель коэффициентов при неизвестных. Тогда мы можем все члены уравнения сократить на этот делитель. Получится уравнение, у которого коэффициенты при неизвестных – числа взаимно-простые. Поэтому в дальнейших рассуждениях мы будем считать, что в уравнении ax + by = c числа a и b не только целые, но и взаимно-простые.

Рассмотрим уравнение: ax + by=c

Это линейное (то есть уравнение первой степени) неоднородное уравнение, где a и b –взаимно-простые. Оно является неоднородным, потому что в нем имеется свободный член c. Найдем общее решение данного уравнения:

Предположим, что нам удалось найти частное решение уравнения, то есть найти два числа x0 и y0, удовлетворяющие соотношению ax0 + by0=c.

Введем новые вспомогательные переменные x1 и y1, удовлетворяющие условиям x=x0 + x1, y=y0 + y1.

Подставим эти выражения в уравнение a(x0 + x1) + b(y0 + y1) = c ax0 + by0 +ax1 + by1 =c

Вычитая из этого равенства тождество ax0 + by0=c ax1 + by1=0

Это однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному. Однородные уравнения – это такие уравнения, в которых все члены имеют одинаковое измерение, то есть одинаковую сумму показателей при неизвестных.

ax1= - by1

Если правая часть делится на -b, значит и левая часть должна делиться на -b, значит x делится на -b, x1= -bn,

-abn =-by1, y1=an, значит решениями этого уравнения являются x1=-bn; y1=an.

Зная, что решение однородного уравнения равно x=-bn, y=an, положим b1=-b значит x=b1n, y=an.

Задача 4. Для плавной работы пары сцепленных зубчатых колес необходимо, чтобы числа их зубцов были обратно пропорциональны числам оборотов каждого из колес в единицу времени. Найти количество зубцов на каждом из колес, если одно из колес делает 50, а другое – 80 оборотов в минуту.

Решение: Число x зубцов первого колеса должно относиться к числу y зубцов второго, как 80 к 50.

Решим это однородное уравнение. Получаем x=8n, y=5n, где n – любое целое число. Задача решена.

Алгоритм Евклида

Неоднородные уравнения можно решить подбором в том случае, если значения коэффициентов при переменных не слишком велики. В другом случае для решения уравнений используется алгоритм Евклида. Например, нам нужно найти общее решение уравнения

331x-169y=5,

Рассмотрим однородное уравнение, соответствующее данному неоднородному.

331x1-169y1=0,

Найдем его общее решение

331x1=169y1, x1=169n, y1=331n;

Осталось найти хотя бы одно частное решение неоднородного уравнения. Для этого мы используем алгоритм Евклида.

331x-169y=5,

Сведем данное уравнение к уравнению с меньшими коэффициентами. Для этого разделим больший коэффициент на меньший и запишем в виде 331=169+162, тогда:

162x+169x-169y=5,

169(x-y)+162x=5,

Введем вспомогательное неизвестное x-y=z;

169z+162x=5,

Повторяем тот же прием с полученным уравнением

7z+162z+16x=5,

7z+162(z+x)=5,

Пусть z+x=u,

7z+162u=5, u+7∙23u+7z=5,

7(z+23u)+u=5,

Пусть z+23u=v,

7v+u=5, u=5-7v,

Предположим, что v=0, тогда u=5.

Остается пройти снизу вверх по всем равенствам, отмеченным цифрами z=v-23u=-115, x=u-z=120, y=x-z=235, значит, частным решением нашего уравнения будет x0=120, y0=235.

Запишем общее решение исходного неоднородного уравнения: x=x0+x1, y=y0 +y1, значит x=120+169n, y=235+331n.

Из этого следует вывод: при любых взаимно простых коэффициентах при неизвестных уравнение имеет решение.

Метод рассмотрения остатков от деления

Пример 1: Решить уравнение в целых числах

3x – 4y=1

Решение. 3x=1+4y

Левая часть уравнения делится на 3, следовательно, должна делиться и правая часть. Рассмотрим три случая:

I. Если y=3m, то 4y+1=4∙3m+1=12m+1 не делится на 3.

II. Если y=3m+1, то 4y+1=4∙(3m+1)+1=12m+5 не делится на 3.

III. Если y=3m+2, то 4y+1=4∙(3m+2)+1=12m+9 делится на 3, поэтому 3x=12m+9, следовательно, x=4m+3, y=3m+2.

Описанный метод удобно применять в случае, если числа m и n не малы, но зато разлагаются на простые сомножители.

Пример 2: Решить уравнение в целых числах

8x+14y=32

Решение.

4x+7y=16

4x=16-7y

Пусть y=4n, тогда 16 - 7y=16 - 7∙4n=16 - 28n=4∙(4 - 7n) делится на 4.

y=4n+1, тогда 16-7y= 16-7∙(4n+1)=16-28n-7=9-28n не делится на 4.

y=4n+2, тогда 16-7y=16-7∙(4n+2)=16-28n-14=2-28n не делится на 4.

y=4n+3, тогда 16-7y=16-7∙(4n+3)=16-28n-21=-5-28n не делится на 4.

Следовательно, y=4n ,тогда

4x=16-7∙4n=16-28n, x=4-7n

Ответ: x=4-7n, y=4n.

Неопределенные уравнения второй степени

Метод разложения на множители

Диофант наряду с линейными уравнениями рассматривал квадратные и кубические неопределенные уравнения. Решение их, как правило, сложно.

Рассмотрим такой случай, когда в уравнениях можно применить формулу разности квадратов или другой способ разложения на множители.

Пример 1.

Решим уравнение x² - 4y² = 13

Решение. (x – 2y)(x + 2y) = 13

13 – простое число, поэтому оно может быть разложено на множители лишь четырьмя способами:

13 = 13∙1 = 1∙13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)

Рассмотрим эти случаи: а) б) в) г)

Ответ: (7;-3),(7;3),(-7;3),(-7;-3)

Пример 2.

x2 - 3xy + 2y2 = 3,

Решение. x2 - 2xy + y2 – xy + y2 = 3,

(x - y)2 - y(x - y) = 3,

(x - y)(x - 2y) = 3,

3 = 1∙3 = 3∙1 = (-3)∙(-1) = (-1)∙(-3) а) б) в) г)

Ответ: (-1;-2), (5;2), (1;2), (-5;-2)

Решение уравнения теоремы Пифагора

Остановимся на еще одной задаче, ставшей классической.

Найти такие прямоугольные треугольники, все стороны которых выражаются целыми числами.

Теорема Пифагора позволяет сразу составить уравнение для этой задачи. Если длины катетов обозначим через x и y, а гипотенузы – через z, то получим: x2 + y2 = z2.

Это – неопределенное уравнение (уравнение одно, а неизвестных три). Оно однородное, второй степени. Одно его решение известно всем: катеты – 3 и 4, а гипотенуза – 5 единиц («египетский треугольник»).

Этот факт использовали в древности для построения на местности прямых углов – ведь оптических измерительных приборов тогда еще не было, а для строительства домов, дворцов и тем более гигантских пирамид это надо было уметь. Поступали довольно просто. На веревке делали метки, делящие ее на 12 равных частей, связывали концы веревки и растягивали на земле с помощью кольев в виде треугольника. Тогда угол между сторонами, равными 3 и 4, оказывался прямым. Говоря иначе, числа 3, 4, 5 – корни уравнения x2+y2=z2.

Но знание частного решения позволяет решить полностью только линейные уравнения. Здесь же для полного решения придется искать какой-то искусственный прием.

Будем искать три числа x, y и z, удовлетворяющие пифагорову уравнению и не имеющие ни одного общего множителя, кроме 1 (т. е. взаимно-простые). Важно найти именно эти решения, потому что из любого «взаимно-простого» решения x0, y0, z0 получается серия составных решений nx0, ny0, nz0, где n - любое целое число. И обратно: если найдем какое-нибудь «составное» решение p, q, r то, полагая p=ax0, q=ay0, r=az0, где a – наибольший общий делитель чисел p, q, r, подставив ax0, ay0, az0 в уравнение и сократив его на а2, убедимся, что x0, y0, z0 образуют «взаимно-простые» решения. Таким образом, найдя все взаимно-простые решения, мы будем знать и все вообще решения пифагорова уравнения.

Но если x, y и z – взаимно-простые числа, то они не могут быть все три четными. Два из них тоже не могут быть четными, потому что тогда одна часть равенства будет делиться на 2, а другая нет. Все три нечетными быть не могут, потому что сумма двух нечетных чисел – четна. Следовательно, либо нечетны оба катета, либо нечетны один из катетов и гипотенуза.

Покажем, что оба катета не могут выражаться нечетными числами. Действительно, если один из них выражается числом 2q + 1, а другой – числом 2p + 1 (где q и p – целые числа), то их сумма квадратов равна

(2q + 1)2 + (2p + 1)2 = 4q2 + 4q + 1 + 4p2 + 4p + 1 = 4(q2 + q + p2 + p) + 2.

Эта сумма, очевидно, делится на 2 и не делится на 4. Но квадрат любого четного числа делится на 4, а квадрат любого нечетного не делится на 2. Следовательно. Сумма квадратов двух нечетных чисел не может быть ни квадратом четного, ни квадратом нечетного числа, т. е. вообще не может быть квадратом целого числа.

Итак, если все три стороны прямоугольного треугольника выражаются взаимно-простыми числами, то возможно только такое «распределение четности»: один из катетов – четное число, а другой катет и гипотенуза – нечетные.

Будем четный катет обозначать через x, а нечетный - через y; тогда мы вправе положить x=2v, и наше уравнение запишется так:

4v2 + y2 = z2, или

4v2 = z2 – y2, или

4v2 = (z + y)(z – y).

Сумма и разность двух нечетных чисел всегда четны.

Положим поэтому z + y = 2u, z – y = 2t.

Нетрудно видеть, что u и t – числа взаимно-простые, причем одно из них четное, а другое нечетное. Действительно, выразив z и y через u и t, получим: z= u + t, y = u – t. Если бы u и t имели общий делитель, то его имели бы и z, и y, что противоречит предположению об их взаимной простоте; точно так же u и t не могут быть одной четности, потому что тогда z, равный их сумме, был бы четным, что, как мы видели, невозможно.

Подставляя в уравнение 4v2 = (z + y)(z – y) вместо суммы и разности неизвестных числа 2u и 2t, мы получим:

4v2 = 4ut или v2 = ut.

Но это возможно только в том случае, если u и t порознь являются квадратами, т. е. если u = a2, t = b2. Действительно, в произведение ut (равное квадрату числа v) все простые множители входят парами. Если бы в u имелся какой-нибудь непарный множитель, то такой же множитель должен был бы быть и в t, чтобы в произведение ut=v2 он вошел бы парой. А это невозможно, потому что числа u и t взаимно-простые и общих множителей не имеют. Итак, в u все простые множители должны входить парами; то же самое можно сказать и про t. Следовательно, и u, и t являются квадратами. Заметим еще, что, в силу взаимной простоты и различной четности чисел u(=a2) и t(=b2), сами числа a и b тоже будут взаимно-простыми и различной четности. Таким образом, z = t + u = b2 + a2; y = t – u = b2 – a2.

Получается следующий результат: гипотенуза прямоугольного треугольника с целочисленными взаимно-простыми сторонами обязательно должна быть суммой, а один из катетов – разностью квадратов двух одних и тех же целых чисел, тоже взаимно-простых и притом разной четности. Но и обратно: сумма и разность квадратов любых целых чисел a и b дает решение пифагорова уравнения, потому что в этом случае второй катет автоматически получается целым числом: x2 = z2 – y2 = (b2 + a2)2 – (b2 – a2)2 = b4 + 2a2b2 + a4 – b4 + 2a2b2 – a4 = 4a2b2, откуда x = 2ab, т. е. x есть целое число.

Следовательно, наиболее общее взаимно-простое решение пифагорова уравнения будет определяться формулами: x = 2abn, y = (b2 – a2)n, z = (b2 + a2)n.

Здесь n – совершенно произвольное натуральное число, а a и b – любые целые числа, выбор которых ограничен лишь следующими условиями: 1) b больше a, 2) b и a – взаимно-простые, 3) b и a – различной четности.

Мы видим, что выбор получился больший, чем в тех случаях, которые мы до сих пор рассматривали. Оно и понятно. Там одно соотношение связывало два неизвестных, а здесь – три. Связь, ограничение, естественно стали слабее.

В своей работе я рассматривала только неопределенные уравнения первой и второй степени. Уравнения первой степени, как мы увидели, решаются довольно просто. Мы выделили виды таких уравнений и алгоритмы их решений. Также было найдено общее решение таких уравнений.

С уравнениями второй степени сложнее, поэтому мы рассмотрели лишь частные случаи: теорему Пифагора и случаи, когда одна часть уравнения имеет вид произведения, а вторая раскладывается на множители.

Уравнениями третьей и больше степеней занимаются великие математики, потому что их решения слишком сложны и громоздки. Решения подобных уравнений используются для доказательств теорем. Пьер Ферма рассматривал уравнение в общем виде. Он утверждал, что оно не имеет целочисленных решений при n, большем 2. Но доказательства этой теоремы не дошли до современников. Многие ученые пытались ее доказать, каждый раз они рассматривали частный случай с определенным значением n. В настоящее время эта теорема доказана для достаточно больших n.

Диофант - древнегреческий математик из Александрии. О его жизни нет почти никаких сведений. Обычно теперь считают, что Диофант жил около 250 года. Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам не известны ни время, когда он жил, ни предшественники его, которые работали бы в той же области. Промежуток времени, когда мог жить Диофант, составляет полтысячелетия. Чтобы исчерпать всё известное о личности Диофанта, приведём дошедшее до нас стихотворение-загадку:

Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень

Мудрым искусством его скажет усопшего век.

Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком

И половину шестой встретил с пушком на щеках.

Только минула седьмая, с подругою он обручился.

С нею пять лет проведя сына дождался мудрец;

Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.

Отнят он был у отца ранней могилой своей.

Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,

Тут и увидел предел жизни печальной своей.

Отсюда нетрудно подсчитать, что Диофант прожил 84 года. Однако для этого вовсе не нужно владеть искусством Диофанта! Достаточно уметь решать уравнение 1-й степени с одним неизвестным, а это умели делать египетские писцы ещё за 2 тысячи лет до н. э.

Зато место жительства Диофанта хорошо известно — это знаменитая Александрия, центр научной мысли эллинистического мира.

Но наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. Сохранилась часть математического тракта Диофанта "Арифметика" и отрывки книги о, так называемых, многоугольных (фигурных) числах. До нас дошло шесть книг из 13, которые были объединены в «Арифметику». Стиль и содержание этих книг резко отличаются от классических античных сочинений по теории чисел и алгебре, образцы которых мы знаем по «Началам» Евклида, его «Данным», леммам из сочинений Архимеда и Аполлония. «Арифметика», несомненно, явилась результатом многочисленных исследований, которые остались нам совершенно не известны.

«Арифметика» Диофанта — это сборник задач (их всего 189), каждая из которых снабжена решением (или несколькими способами решения) и необходимыми пояснениями. Поэтому с первого взгляда кажется, что она не является теоретическим произведением. Однако при внимательном чтении видно, что задачи тщательно подобраны и служат для иллюстрации вполне определённых, строго продуманных методов. Как это было принято в древности, методы не формулируются в общем виде, а повторяются для решения однотипных задач.

В "Арифметике", помимо изложения начал алгебры, приведено много задач, сводящихся к неопределенным уравнениям различных степеней, и указаны методы нахождения решений таких уравнений в рациональных положительных числах; здесь же впервые появляется терминология многомерной геометрии (фигурных) числах.

Изложение Диофанта чисто аналитическое. Для обозначения неизвестного и его степеней, обратных чисел, равенства и вычитания Диофант употреблял сокращенную запись слов. При умножении сумм и разностей двух чисел применял правила знаков. Имел представление об отрицательных числах, например, знал, что квадрат отрицательного числа равен положительному числу.

Сочинения Диофанта были отправной точкой для теоретико-числовых исследований Пьера Ферма, Л. Эйлера, К. Гаусса и других математиков. Именем Диофанта названы три больших раздела: теория диофантовых уравнений (алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами, решение которых отыскивается в целых и рациональных числах), дифантовый анализ (или диофантова геометрия; область математики, посвященная изучению диофантовых уравнений методами алгебраической геометрии) и теория диофантового приближения (раздел теории чисел, в котором изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов).

Приведу ещё фрагмент вступительной статьи И. Г. Башмаковой из книги: Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах (перевод с древнегреческого И. Н. Веселовского; редакция и комментарии И. Г. Башмаковой):

«Здесь уместно поставить вопрос о том, каковы были познания самого Диофанта в теории чисел. Для ответа на него соберём вместе все предложения по теории чисел, которые Диофант формулирует явно или на которые от опирается в своей «Арифметике».

Всякое простое число вида 4n+1 представимо в виде суммы двух квадратов (задача 19 из книги III; задача 9 из книги V). Целое число N можно представить в виде суммы двух квадратов, если после выделения наибольшего квадрата оно не имеет простых делителей вида 4n+3 (задача 9 из книги V). Целое число N, являющееся произведением двух различных простых чисел вида 4n+1, представимо в виде суммы двух квадратов двумя различными способами. Квадрат такого числа представим в виде суммы двух квадратов четырьмя различными способами (задача 19 из книги III). Любое целое число можно представить в виде суммы четырёх рациональных квадратов (задачи 29, 30 из книги IV, задача 14 из книги V). Никакое число вида 24n+7 не может быть представлено в виде суммы трёх квадратов целых или дробных (задача 11 из книги V). Из приведённой сводки видно, что Диофантом был хорошо изучен вопрос о представлении чисел формой x2 + y2. Он знал о представимости чисел суммою четырёх квадратов и рассматривал вопрос о представлении числа в виде x2 + y2 + z2. Мы ничего не знаем о том, как были доказаны эти результаты. Весьма убедительные реконструкции этих доказательств предложены К. Якоби в статье «Ueber die Kentnisse des Diophantus von der Zusammensetzung der Zahlen» (Berliner Monatsbericht, 1847, Gesammelte Werke, VII, 1891, 332–344), к которой мы и отсылаем желающих с ними познакомиться. »