Преобразование инверсии

Геометрические построения привлекают к себе внимание ещё с древних времён. Практическая геометрия так и зарождалась – с задач на построение, которыми занимались Пифагор, Евклид, Апполоний. Развитие теории геометрических построений определило такие виды преобразований плоскости, как центральная симметрия, осевая симметрия, поворот, параллельный перенос, гомотетия и т. д. Важной особенностью этих преобразований является то, что отрезки преобразуются в отрезки, окружности в окружности, т. е. они сохраняют природу простейших геометрических образов. Долгие века только эти виды преобразований применялись в геометрических построениях и задачах. Лишь в 30-е годы XIX века начали изучать инверсию, как новое преобразование плоскости, отличающееся от других непрямолинейностью, т. е. преобразованием окружности в прямую, и наоборот. Новый способ решения конструктивных задач стал называться методом инверсии, или методом обращения, или методом обратных радиусов. Нестандартность инверсии относительно преобразований движения даёт возможность практически приложить данный метод к решению задач механики. Конкретно, преобразовывать вращательное движение в прямолинейное. Инверсия позволяет применить к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения, прежде всего к задачам на построение и к теории пучков окружностей. С помощью метода инверсии многие задачи решаются без привлечения разнообразных искусственных построений, занимающих много времени.

Приложения инверсии многообразны. Механика, интерпретация геометрии Лобачевского на Евклидовой плоскости, комплексные числа и функции комплексного переменного.

Инверсия. Её свойства и способы задания

Определение инверсии

Все конкретные преобразования сохраняют прямолинейность, то есть отрезок переводят в отрезок. Рассматриваемое нами преобразование таким свойством не обладает.

Пусть задана некоторая окружность S с центром O и радиусом r. Каждой точке X, отличной от точки O, поставим в соответствие точку X’ на луче OX, такую, что

OX' * OX = r2.

Это преобразование и называется инверсией относительно окружности S и обозначается Is. Точка O называется центром инверсии, радиус r - радиусом инверсии, а окружность S – окружностью инверсии. В точке O инверсия Is не определена, т. е. для O нет соответствующей точки.

Из симметричности точек X и X' в определении инверсии вытекает следующие свойства инверсии:

Свойство 1. Если точке X соответствует точка X' при инверсии Is , то точке X' соответствует точка X, т. е. если X' = Is(X), то X = Is (X').

Это же свойство инверсии можно сформулировать так: преобразование, обратное инверсии, совпадает с самой инверсиейб т. е. Is-1 = Is. Таким образом, Is * Is = E.

Свойство 2. При инверсии каждая точка окружности инверсии неподвижна, т. е. если XS, Is (X) = X.

В остальных случаях из пары соответствующих друг другу при иверсии точек X и X’ одна из точек лежит внутри окружности инверсии, а другая точка – вне окружности.

Свойство 3. Никакая точка плоскости не является инверсной для центра инверсии.

Свойство 4. На плоскости с «выколотым» центром инверсии инверсия является взаимно однозначгым преобразованием.

Свойство 5. Каждая точка базисной окружности инверсна сама себе.

Свойство 6. Если данная точка лежит вне базисной окружности, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот.

Свойство 7. Если точка, лежащая вне базисной окружности, неограниченно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка (внутри базисной окружности) неограниченно приближается к центру инверсии. Верно и обратное предположение.

Свойство 8. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя. При этом часть луча, внутренняя относительно базисной окружности, преобразуется в его внешнюю часть, и наоборот.

Свойство 9. при инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя.

Эти свойства говорят о сходстве инверсии и осевой симметрии. Поэтому инверсию часто называют симметрией относительно окружности.

Показывает, как построить соответствующие друг другу при инверсии точки X и X', где прямые p и q – касательные к S. OX * OX' = r2.

Аналитическое задание инверсии

Для изучения дальнейших свойств инверсии удобно применять аналитический метод. Введём систему прямоугольных координат, поместив их начало в центр O окружности инверсии Is. Y

A(x1, y1)

Пусть точка A имеет координаты x, y, а соответствующая ей точка A1 – координаты x1, y1. Тогда OA = (x, y), OA1 =( х1, у1) и

OA1=λOA.

Поэтому x1=λx, y1=λy. Найдем множитель λ. Так как OA1↑↑OA, то λ>0. Из нижеописанного равенства следует, что OA1=λOA. Умножив обе части последнего равенства на OA, получим:

OA1 * OA = λOA2.

Так как OA1 * OA =r2 и OA2 = x2 + y2, то получаем что λ =. Следовательно, инверсия Is равенствами x1 = , y1 =

Так же при решении задач необходимо уметь выражать значения x и y через x1 и y1:y1 x = , y =

Образы прямых и окружностей при инверсии

Теорема (об инверсии). Инверсия преобразует: 1) прямую, проходящую через центр инверсии, в эту же прямую; 2) прямую, не проходящую через центр инверсии, в окружность, проходящую через центр инверсии; 3) окружность, проходящую через центр инверсии, в прямую, не проходящую через центр инверсии; 4)окружность, проходящую через центр инверсии, в окружность, не проходящую через центр инверсии.

Доказательство. Сначала рассмотрим уравнение для прямых и окружностей на плоскости:

A (x2 + y2) + Bx + Cx + D = 0 , если A2 + B2 + C2 = 0

При A = 0 данно уравнение становится линейным уравнением и задаёт прямую. Уравнение окружности (x-a)2 + (y-b)2 = R2 подобно нижепреведённому уравнению.

Чтобы выяснить во что преобразует инверсия I2 фигуру F, заданную уравнением для прямых и окружностей на плоскости, подставим выражения для x и y в данное уравнение:

+ +D = 0 т. е.

D (x12 + y12) + Br2x1 + Cr2y1 + Ar4 = 0

Это уравнение задаёт образ Is(F) фигуры F при инверсии Is. Теперь рассмотрим последовательно все 4 случая.

1) F – прямая , проходящая через точку O

Тогда A = 0, D = 0 и уравнение имеет вид Bx1 + Cy1 = 0, т. е. задаёт ту же прямую F

S X S X

2)F – прямая, не проходящая через точку O. Тогда A = 0 , но D 0 и уравнение приводится к виду x12 + y12 – 2ax1 – 2by1 = 0, где 2a = и 2b =. Выделив полные квадраты, его можно записать так:

(x1 - a)2 + (y1 - b)2 = a2 + b2

Это уравнение задает окружность, проходящую через точку O.

3)F – окружность, проходящую через точку O.

Тогда A 0, но D = 0 и уравнение приволится к виду

Bx1 + Cy1 + Ar2 = 0

Так как A 0, то это уравнение задаёт прямую, не проходящую через точку O.

4)F – окружность не проходящая через точку O.

В этом случае и A 0 и D 0 ,а уравнение имеет свой первоначальный вид: оно тоже задаёт окружность, не проходящую через точку O.

Сохранение величин углов при инверсии

Очевидно, что инверсия не сохраняет расстояний между точками. Но она сохраняет углы между кривыми. В рассмотренных мною случаях это углы между прямыми и окружностями. Угол между пересекающимися окружностями – это угол между касательными к ним прямыми и точке их пересечения. Аналогично определяется и угол между окружностью и пересекающей её прямой.

Если окружность и прямая (или две окружности) касаются, то их образы при инверсии так же касаются.

При инверсии углы сохраняются для случая пересекающихся прямых p и q, не проходящих через центр инверсии точку O.

Доказательство. Пусть точка A – точка пересечения p и q. Окружности U = Is(p) и V = Is(q) пересекаются в точке O и ещё в одной точке B = Is(A). Поскольку углы между окружностями U и V в точках O и B равны. То будем рассматривать угол между ними в точке O. Касательные прямые p1 и q1 в точке O к окружностям U и V паралельны соответственно прямым p и q. Поэтому p1q1 = pq =

B p1’ q1’

O p1 q1

Приложения инверсии

Метод Инверсии

Используя инверсию очень легко доказать теорему Птолемея о произведении диагоналей вписанного в окружность четырёхугольника. При доказательстве этой теоремы используется следующая лемма.

Лемма. Пусть A' и B' – образы точек A и B при инверсии с центром O и радиусом r. Тогда труегольники OAB и OA'B' подобны и

A'B' = AB

Доказательство. По определению инверсии выполняются равенства

OA' * OA = r2, OB' * OB = r2

Следовательно, OA' * OA = OB' * OB, и поэтому

Значит, треугольники OAB и OB'A' имеют общий угол при вершине O и их стороны, идущие из этой же вершины, пропорциональны.

По третьему признаку подобия треугольники OAB и OA'B' подобны. Но тогда и

Из этого равенства

A'B' = AB *

Подставляя в это выражение OA'= мы получим A'B' = AB

Теперь докажем теорему Птолемея.

Теорема Птолемея : Произведение диагоналей вписанного в окружность четырухугольника равно сумме произведения его противоположных сторон.

Доказательство. Пусть четырёхугольник ABCD вписан в окружность S.

C1 B1 A1 P

По теореме об инверсии окружность инверсия I с центром в точке D (и любым радиусом) переведёт в прямую p, не проходящую через точку D. Точки A1 = I(A), B1 = I(B), C1 = I(C) лежат на прямой p, причём точка B1 лежит на отрезке A1C1. Поэтому

A1C1 = A1B1 + B1C1.

По лемме об инверсии

A1C1 = AC, A1B1 = AB, B1C1 = BC

Подставив всё эти выражения в предыдущее уранение, получим

AC * DB = AB * DC + BC * DA

Инверсор

На свойствах инверсии основан механизм, преобразующий вращательное движение в прямолинейное. Он называется инверсором и устроен следующим образом. Семь твёрдых стержней OP, OQ, PM, PM', QM, QM' и SM соеденены шарнирно.

Точки O и S неподвижны, причём OS = SM. Кроме того, PMQM' - ромб. Когда точка M вращается по окружности с центром S и радиусом SM, точка M’ перемещается по прямой. Теперь докажем это.

Установим, что произведение OM * OM' равно квадрату касательной, проведённой из точки O к F, т. е. OM * OM' = OP2 – PM2. Величина r2 = OP2 – PM2 постоянна. Точки M и M’ соответствуют друг другу при инверсии с центром O и радиусом r. Поэтому, когда точка M двигается по дуге окружности (проходящей через точку O), точка M' двигается по прямолинейному отрезку (по третьему свойству из теоремы об инверсии).

В данной работе демонстрируются преимущества метода инверсии, как непрямолинейного преобразования плоскости, позволяющего преобразовывать вращательное движение в прямолинейное. Метод обратных радиусов (инверсии) дает возможность решать геометрические задачи на построение намного бысрее и рациональнее, что позволяет не только сэкономить время, но и представить красивое решение. Наверняка, все возможности этого метода ещё не востребованы на практике, поэтому данной тематике следует уделять значительно больше внимания, т. к. она обладает нестандартными восприятиями геометрических объектов.