Задачи на оптимизацию от «А» до «Я»

При подготовке к экзаменам за курс основной школы в классе с углубленным изучением математики я впервые встретилась с необычными задачами, в которых нужно было найти наибольшее или наименьшее значение величин. Меня заинтересовали эти задачи. Захотелось узнать о них побольше и ответить для себя на следующие вопросы: какие задачи на нахождение наибольшего и наименьшего есть в литературе, какие из них могут быть предложены на выпускных экзаменах в 11 классе и для поступления в высшие учебные заведения, какими могут быть способы их решения. Я прорешала около 50 примеров и задач и сделала из них подборки с соответствующими способами. И вот что из этого получилось.

Большинство предлагаемых задач можно разбить на следующие группы:

• Задачи, которые можно решить, применяя выделение полного квадрата

• Задачи, которые можно решить, рассматривая уравнение функции как уравнение с параметром относительно зависимой переменной.

• Задачи, при решении которых можно применить неравенства.

• Задачи, которые можно решить, используя определения возрастающей и убывающей функций.

• Задачи, которые можно решить, анализируя поведение дроби и используя свойства квадратного трехчлена

• Задачи, которые можно решить, используя свойства квадратного трехчлена

• Задачи, при решении которых используются свойства неравенств

• Задачи, которые можно решить, используя вспомогательную функцию.

Выделяем полный квадрат

Пример1. Найдите наибольшее значение функции у = 4х2 – 6х+5,где x [-1;3].

Решение.

Выделим полный квадрат: у = 4(x-)2+. Найдем абсциссу вершины параболы: x=, 0 (-1;3). Так как ветви параболы направлены вверх, то у наим = y ()=4*-6*+5=.

Наибольшее значение y наиб достигается на одном из концов отрезка [-1;3].

Точка х=3 расположена дальше от абсциссы вершины параболы, поэтому y наиб = =y(3)=49-63+5=23.

Ответ: y наиб =23.

Пример2. Найдите наименьшее значение функции f(x)=(x-1)(x-7)(x-4)(x+2)+90 и соответствующие значения аргумента.

Решение.

Преобразуем функцию f(x)=(x2 -5x+4)(x2 -5x-14)+90 ,f(x)=(x2 -5x+4)(x2 -5x+4-18)+90 , f(x)=(x2 -5x+4)2 -18(x 2 -5x+4)+90. Пусть х2 -5х+4= t,рассмотрим g(t)= t 2 -18t+90, g(t)=(t-9) 2 +9. Функция g(t) принимает наименьшее значение равное 9 при t=9. Если t=9,то x 2 -5х+4=9, x 2 -5x-5=0. D= 25+20=45, x1 =(5+ )/2=(5+ 3)/2,х 2 =(5-3 )/2, то есть наименьшее значение, функция принимает дважды при x = (5-3√5)/2 и x = (5-3 )/2 и оно равно 9.

Ответ: у наим =9 при x =(5+3)/2 и x =(5=3)/2.

Уравнение функции рассматриваем как уравнение с параметром относительно зависимой переменной.

Зависимость y = f (x) рассмотрим как уравнение относительно переменной x с параметром y и найдём наибольшее или наименьшее значение у, при котором это уравнение имеет решение.

Пример3. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у =.

Решение:

D (y) =R.

Рассмотрим данную функцию как уравнение относительно переменной x с параметром y, имеем: y (x-2x+2) =4x-1, xy-2xy+2y-4x+1=0, xy-(2y+4) x+2y+1= 0, а) если y =0, то -4x+1=0, x=; б) y0,то уравнение имеет корни, если D0. D/4=(y+2)-y (2y+1) =-y+3y+4.

-y+3y+40, -1y4, таким образом, y=4, y=-1, при этом D=0 и x =.

Если y =-1,то x =-1, если y =4, то x =.

Ответ: y =y(-1)=-1; y =y()=4.

Пример4. Найдите наибольшее значение функции y =. Решение : Рассмотрим уравнение функции как уравнение с параметром относительно переменной у, где D(y) =R.

Можно записать: y (2x+x+1) = x +1, 2xy+yx+y-x-1=0,имеем уравнение относительно переменной х и параметра у:

(2y-1) x+yx+y-1=0 а) если 2y-1=0, y =,то единственный корень x =1; б) y, уравнение имеет корни в том и только том случае, если D0.

D =y-4(2y-1) (y-1) =-7 y+12y-4, -7y+12y-40, y , y=, при этом D =0 и x =-, откуда x =-=-1.

Ответ: y=.

Использовать этот метод целесообразно в том случае, если полученное уравнение с параметром y имеет достаточно простой вид (например, если является квадратным относительно x).

Применяем неравенства

Пример5. Найти наибольшее значение выражения

Решение. Обозначим выражение A= , A (1+ctg2х) =1, А + А ctg2х=1,

А ctg2х =1-А, ctg2х =, так как ctg2х ≥ 0, то ≥ 0, то есть 0 < А ≤1.

Ответ: наибольшее значение выражения равно 1.

Известно, что для любых двух неотрицательных чисел справедливо неравенство, называемое неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим этих чисел: среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического (неравенство Коши).

Равенство достигается при

Вышеназванное неравенство можно записать в виде:

Пример7. При каких значениях аргумента функция f= принимает наибольшее значение? Вычислите наибольшее значение функции, если 0<<1.

Решение. Пусть а = х , в=1-х,тогда значит, наибольшее значение будет достигнуто при равенстве: f

Ответ: f при

Пример8. Определите площадь прямоугольника, периметр которого равен 28, имеющего наименьшую диагональ.

Решение.

Пусть диагональ прямоугольника с, тогда с =Так как Р = 28, то с = Воспользуемся исходным неравенством:

примет наименьшее значение, если будет наибольшим. Оно будет наибольшим, когда

Ответ: 49.

Применение следствия из неравенства Коши.

Следствие из неравенства Коши:

Если сумма положительных чисел равна некоторому числу, то их произведение принимает наибольшее значение, когда эти числа равны.

Пример5. Найдите наибольшее значение функции y = x.

Решение: оставим выражение = (9-x),для того чтобы воспользоваться вышеуказанным следствием. Выражение принимает наибольшее значение в той точке, что и переменная y. Применим следствие из неравенства Коши :

. Значит, и принимает наибольшее значение, когда выполняется равенство:. Найдем значение переменной х при котором переменная у принимает наибольшее значение, решив уравнение: , , = 6 = 6.

Ответ:.

Использование неравенства о сумме двух взаимно обратных величин:.

Равенство достигается при =1.

Пример6. Найти наименьшее значение функции f(x) =.

Решение: преобразуем функцию к виду: f(x) = f(x) = Пусть тогда g(a) =.

D/4 = -1, значит >0. Функция g() = сумма двух положительных взаимообратных величин. Так как равенство достигается при ( то есть g ) наименьшее значение g=2 при.

Если то при R.

Используем определения возрастающей и убывающей функций.

Пример. 7. Найти наименьшее значение функции

Решение:

Функция является возрастающей на своей области определения, как сумма двух возрастающих функций, следовательно.

Ответ:.

Пример. 8. Найти наименьшее значение функции=.

Решение: D (): 4

D1. Преобразуем функцию:

Функция g() = + является возрастающей, как сумма двух возрастающих функций и возрастает на всей D

Анализируем поведение дроби и используем свойства квадратного трехчлена

Пример. 11. Найдите наименьшее значение функции

Решение.

Функция принимает наименьшее значение, тогда и только тогда, когда дробь принимает наименьшее значение, то есть когда её знаменатель принимает наибольшее значение. Преобразуем значение квадратного трёхчлена тем больше, чем меньше значение его в скобках, а это означает, что наибольшее значение квадратного трёхчлена, равное -2, достигается при то есть в том случае когда Итак, наименьшее значение функции

Ответ: -3.

Пример. 12. Найдите наименьшее значение функции.

Решение.

Преобразуем функцию: >0 при всех , функция принимает наименьшее значение, когда вычитаемое наибольшее, то есть то есть ,

Используем свойства квадратного трехчлена

Пример13. Определите длины сторон прямоугольника с диагональю равной 10,имеющего наибольшую площадь.

Решение. Пусть а - ширина прямоугольника, в - длина, s-площадь с- диагональ.

По условию с2= а2+в2, 100= а2+в2, а2=100-в2, а =2

S= а в = в2=2-в4

Переменная s принимает наибольшее значение при тех же значениях переменной в , что и функция ,где f(х)=100в-в2,где х=в2, f(х) ≥ 0.

Графиком функции f(х) является парабола, так как ее ветви направлены вниз, то функция принимает наибольшее значение в вершине при в= 50, то есть в ==, а ==5

Ответ: длины сторон равны 5

Пример 14. Найдите наибольшее значение функции f(х)=sin2х-sinх+2

Решение.

Пусть sinх =t,тогда f(t)=t2-t+2,где ≤ 1. Найдем наибольшее значение функции на промежутке от -1 до 1. График функции f(х) есть парабола ветви которой направлены вверх то есть функция принимает наименьшее значение в вершине параболы, а наибольшее значение достигается на наиболее удаленной от абсциссы вершины параболы точке на границе промежутка , так как парабола симметрична относительно оси симметрии t=t, то есть в точке t=-1. f(-1)=2+1+2=4.

Ответ: наибольшее значение функции равно 4.

Используем свойства неравенств

Пример15. Найдите наибольшее и наименьшее значение выражения 4sin2(х-π)-3.

Решение. Так как -1 ≤sin(х-π)≤1, 0≤4sin2 (х-π)≤4, 0≤sin2 (х-π)≤1, 0≤4sin2 (х-π)≤4, -3≤4sin2 (х-π)-3≤4-3, -3≤4sin2 (х-π)-3≤1

Ответ: наибольшее значение выражения равно 1,наименьшее -3.

Использование вспомогательной функции

Пример16. Найдите экстремальное значение функции у = 2х-3х.

Решение. R. Обозначим f (х) =, где =2х-3х.

Составим разность :

-2х+3х+2х-3х(х-х)(2х+2хх+2х-3(х+х)=0.

Если х-х,то х=х если хх,то 2х2хх+2х-3х-3х=0, решим относительно х:

D = 9-12х+12х, х= так как D=0 и хх, то

9-12х+12х=0, х= 1,5 или х=-0,5.

Если х=1,5 ,то х = =0.

Если х=-0,5 ,то х = 1.

у(0)=5, у(1)=4наименьшее значение 4, наибольшее-5.

Ответ: наибольшее значение выражения 4,наименьшее-5.