Виды куполов и некоторые их математические характеристики

Архитектурное разнообразие зданий и их красота обеспечивается зачастую формой их сводов. В основном это касается храмовых сооружений, но не только. История архитектуры насчитывает большое количество различных форм сводов. В настоящее время – время строительного бума стали возрождаться старые архитектурные традиции и создаваться новые архитектурные формы. Для каждого свода рассматривается его математическую модель ее основные математические характеристики.

Данная работа посвящена рассмотрению форм различных куполов, изучению их математических моделей и вычислению их объёмов и центров тяжести.

Основное содержание работы состоит их двух параграфов. В первом приводятся необходимые математические сведения: определения, формулы.

Второй параграф разбит на семь пунктов, каждый из которых посвящен исследованию отдельного вида свода. Приводятся примеры зданий, имеющих свод данного вида, из мировой архитектуры и архитектуры г. Новосибирска. Все примеры снабжены фотографиями, которые даны в приложениях. Далее создается математическая модель свода, вычисляется ее объем и координаты центра тяжести.

Необходимые математические понятия и формулы

Понятие определённого интеграла

Пусть непрерывная функция определена на отрезке и неотрицательна. Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками:

В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку. Через обозначим разность , которую будем называть длиной частичного отрезка. Составим сумму:

(1) которую назовём интегральной суммой для функции на , соответствующей данному разбиению на частичные отрезки и данному выбору промежуточных точек. Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников.

Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения:.

Определение: Если существует конечный предел J интегральной суммы (1) при , не зависящей ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек , то этот предел называется определённым интегралом от функции по отрезку и обозначается следующим образом:

Формулы для вычисления объёма, статического момента и координат центра тяжести тела

Пусть для тела Ω в пространстве площади его поперечных сечений плоскостями известны как значения непрерывной функции S(z), , и пусть по Ω распределена масса с плотностью. Статический момент тела относительно плоскости XY вычисляется по формуле:

Так как мы будем рассматривать однородные тела, плотность не будет влиять на координаты центра тяжести, примем её за единицу , следовательно,

Объём тела вычисляется по формуле,.

Центром тяжести тела называют геометрическую точку, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве.

При определении центров тяжести тел широко используется симметрия тел. Для однородного тела, имеющего ось симметрии, центр тяжести находится на оси симметрии. При рассмотрении куполов будем иметь дело с телами (поверхностями) имеющими две и более плоскости симметрии, а, значит ось симметрии. Ею будет, как правило, ось OZ. Значит и.

А третья координата его центра тяжести находится по формуле:

Полярная система координат

Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел.

Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта (полюс) и луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

Координата определяет расстояние от точки до полюса, координата — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида , которым соответствует одна и та же точка при любых натуральных. Для полюса = 0, а угол - произвольный.

Математические характеристики куполов

Туристы-математики во время своих путешествий могут наблюдать различные поверхности, которые архитекторы на протяжении веков использовали как модели сводов для защиты открытых пространств возводимых ими зданий.

В основном нас будут интересовать своды, являющиеся главами храмов. Прежде всего, необходимо определиться с тем, что мы будем называть главами храмов. Энциклопедии, учебники и хрестоматии обычно так определяют декоративное покрытие, расположенное над куполом и устраиваемое на барабане.

В дальнейшем будем рассматривать понятия «купол» и «свод» как синонимы.

Наиболее распространёнными являются следующие виды сводов: римский (крестовый), шатровый, конусовидный, сферический, луковичный, шлемовидный и др. Также встречаются купола, представляющие из себя комбинации вышеперечисленных видов.

Каждый пункт данного параграфа будет посвящён исследованию свода определённого типа. Приведя примеры из мировой архитектуры, перейдём к описанию математической модели данного вида купола и к исследованию его математических характеристик: объёма и положения центра тяжести.

Римский свод

Известными храмами с римскими (крестовыми) сводами являются Лувр в Париже, Национальный музей в Праге, а также Кафедральный собор в Берлине. В городе Новосибирске римские своды можно увидеть в завершении здания краеведческого музея.

Римский или крестовый свод - это верхняя часть тела, образованного двумя пересекающимися под прямым углом цилиндрами радиуса r.

Итак, пусть ось одного из цилиндров OX, ось другого OY. Основание свода совпадает с плоскостью XOY. Рассмотрим четвёртую часть свода, расположенную в первом октанте. Будем проводить сечения, параллельные плоскости XOY, на высоте z. В сечениях будут получаться квадраты со стороной s, причём. Объём четверти свода и его статический момент относительно плоскости XOY вычисляется следующим образом:

Следовательно, общий объём купола равен:

Тогда третья координата центра тяжести вычисляется по формуле:

x=y=0, так как купол симметричен относительно плоскостей ZOY и ZOX.

Пересечение Римских сводов

Примерами зданий с таким сводом являются базилика Святого Иштвана и здание парламента в Будапеште. В Новосибирске примером здания с таким сводом является храм Михаила Архангела.

Возьмём римский свод А, рассмотренный в пункте 2. 1. , и повернём его на 45 относительно оси симметрии, чтобы создать такой же свод. Тело пересечения будет также верхней половиной тела, полученного пересечением четырёх одинаковых цилиндров, оси которых являются линиями в полярной системе координат, которые задаются уравнениями , , ,. Сечения, параллельные плоскости XOY, будут восьмиугольники, а рёбра самого свода будут эллиптическими арками. С увеличением числа цилиндров вид купола будет всё больше приближаться к полусфере или половине эллипсоида.

Рассмотрим общий случай. Пусть , n – чётное,. Возьмём цилиндр радиуса r и рассмотрим тело, получающееся путём пересечения всех цилиндров, созданных поворотом данного цилиндра относительно фиксированного перпендикуляра к его оси, на углы ,. Тело делится плоскостью, проходящей через оси всех этих цилиндров на две равные части, каждая из которых является куполом, в котором сечения, параллельные плоскости основания, всегда будут являться правильными n-угольниками.

Если n=4, мы получим римский свод. В любом случае кривые пересечения цилиндров есть эллиптические арки.

Мы хотим вычислить объём этого купола и высоту его центра тяжести. Две другие координаты центра тяжести равны нулю, так как купол симметричен относительно плоскостей XOZ и YOZ. n-угольный срез (сечение купола) высоты z, состоит из n равнобедренных треугольников, высота а каждого треугольника удовлетворяет равенству , где r – радиус цилиндра. Отсюда.

Если b длина равных сторон треугольника, тогда так как , то. Теперь легко найти площадь равнобедренного треугольника с равными боковыми сторонами b и углом между ними равна

Тогда площадь всего n–угольника в сечении на высоте z будет равна

Таким образом, объём тела и его статический момент относительно плоскости основания:

Высота центра тяжести:.

Заметим, что положение центра тяжести не зависит от n-числа пересекающихся цилиндров.

Сферический купол

Сферический купол имеют здания: Ильинско-Тихоновская церковь в Ярославле и Коломенский Кремль в Коломне. Новосибирский Театр Оперы и Балета также завершается сферическим куполом.

Рассмотрим полусферу радиуса r, окружность основания которой расположена на плоскость XOY с центром в начале координат. Ось OZ проходит через начало координат и перпендикулярна плоскости XOY. На высоте z проводим сечение перпендикулярно оси OZ. В сечении получим круг радиуса a.

Заметим, что выполняется равенство. Отсюда.

Тогда площадь сечения равна:.

Найдём объём тела и его статический момент.

Высота центра тяжести равна:.

Заметим, что высота для полусферы радиуса r получилась та же, что и для пересечения римских сводов.

Например, для здания театра оперы и балета r=30 м. Тогда координата центра тяжести равна:

А объём купола равен:

В случае если купол собой представляет не полусферу, а сферический сегмент высоты h, в формулах для объёма и статического момента изменятся пределы интеграла:.

Шатровый свод

Ярким примером здания с шатровым сводом можно назвать Кельнский собор святых Марии и Петра в Кельне и церковь святого Георгия в Праге. В Новосибирске один из сводов Вознесенского Кафедрального собора является шатровым.

Рассмотрим восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса r и с заданной точкой P на высоте h выше центра окружности. Проводим линии из точки P к вершинам восьмиугольника. Полученное таким образом тело и есть шатровый свод, заметим, что шатровым сводов является боковая поверхность правильной пирамиды.

Итак, рассмотрим правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса r и поднимем точку P на высоту h над центром окружности. Соединим точку P с вершинами n-угольника. Получившееся тело есть купол, сечениями перпендикулярными оси OZ которого являются правильные n-угольники. Если , вид купола всё более и более приближается к конусу.

Вычислим объём и высоту центра тяжести шатрового свода. Срез на высоте z состоит из n равнобедренных треугольников. Если равные стороны их обозначить через s, то из подобия треугольников по двум углам, мы имеем

Отсюда получаем:

Следовательно, площадь треугольника равна:

А площадь всего сечения:

Теперь можно вычислить объём и статический момент тела.

Тогда высота центра тяжести.

Она не зависит от n и, как будет доказано в следующем пункте, будет такой же для конусовидного купола.

Конусовидный свод

Замок Крэгивар и Королевский замок Балморал в Шотландии яркие примеры зданий с конусовидными сводами. Так же здание Рыбацкого бастиона в Будапеште завершается конусовидным куполом.

Рассмотрим окружность радиуса r на плоскости XOY с центром в начале координат. На оси OZ зададим точку на высоте h, которую соединим со всеми точками окружности. Получим конический свод.

На высоте z проведём сечение перпендикулярно оси OZ, оно будет являться кругом радиуса s. Аналогично случаю шатрового купола получим выражение для s:.

Тогда площадь сечения:.

Следовательно:

Мы получили известную формулу V конуса.

Третья координата высоты центра тяжести:

Шлемовидный свод

В русской архитектуре шлемовидный свод имеют Дмитриевский собор во Владимире, Иоановский собор в Пскове, Спасо-Преображенский собор в Рыбинске и другие. В Новосибирске часовню святого Николая завершает шлемовидный купол.

Заметим, что формы шлемовидных сводов весьма разнообразны, их можно «создавать» самим, используя известные элементарные функции. Будем искать функцию , вращением графика которой вокруг оси OZ, получается купол. Покажем, как это можно делать на примере квадратичных функций.

Параболы и должны иметь в общей точке общую касательную.

Следовательно, найдём коэффициенты a и A из условий:

Из второго уравнения, сокращая его на , получаем. А первое уравнение умножим на 25, получим и, подставив , имеем или , тогда. Функция, задающая кривую, описывающую купол, имеет вид:

Объём вычислим как сумму двух объёмов тел вращения:

Проведя аналогичные вычисления, находим статический момент относительно плоскости XOY:

Следовательно, координата центра тяжести равна:

Заметим, что можно было решать аналогичную задачу, подбирая, например, в виде уравнения окружности, а как дробно-линейную функцию.

Луковичный свод

Примером зданий с луковичным сводом являются Мужской Благовещенский монастырь в Муроме, Спасо-Преображенский собор в Угличе, а также храм Архистратига Михаила в Новосибирске.

Определим разницу между шлемовидным и луковичным куполами: у последних также килевидный верх, но максимальный диаметр главы больше диаметра основания. Высота луковичного свода, как правило, не меньше её ширины. У шлемовидного свода высота всегда меньше ширины.

Будем приближать формулу купола параболами. Пусть высота купола h, а радиус окружности в сечении самой широкой части купола R. Будем полагать, что точка перегиба кривой располагается на третью часть от высоты ниже самой верхней точки купола. Тогда вершина первой параболы имеет координаты , следовательно, уравнение первой параболы , уравнение второй параболы. Аналогично предыдущему пункту составляем систему:

Получаем:

Из второго уравнения следует, что. А из первого получаем

Следовательно, кривая, описывающая купол, задаётся кусочно:

И также аналогично предыдущему пункту вычисляем объём луковичного свода как сумму двух интегралов.

Найдём статический момент:

Тогда координата центра тяжести равна:

Итак, в этой работе мы рассмотрели наиболее известные и часто встречающиеся виды куполов, изучили их математические модели и основные математические характеристики: объем и координаты центра тяжести.

Также в работе показано, каким образом можно самому конструировать различные виды куполов, используя известные из школьного курса математики функции, и как варьируется вид купола в зависимости от того, какой функцией задаётся его форма.