Исследование свойств функций и построение графиков с помощью малых средств информации
Понятие функции имеет огромное прикладное значение, поэтому изучению функций и их свойств посвящена значительная часть курса алгебра.
Свободное владение техникой построения графиков различных функций позволяет решать многие задачи в области математики, физики, химии, географии, биологии, а иногда является единственным средством их решения. Привлекает наглядность графического способа задания функций, т. е. возможность увидеть функциональную зависимость и придать наглядность их исследованию, умение строить графики функций представляет большой самостоятельный интерес.
Графики функции применяются для графического решения уравнений, систем уравнений, неравенств.
В настоящее время идет активная информатизация учебной деятельности. В школы внедряются компьютерная техника и малые средства информатизаций, которые помогают более эффективно и наглядно изучать свойства различных функций и строить их графики.
Общая схема исследования свойств функции и построение ее графика
1. Схема исследования свойств функции и построения ее графика
1. Найти область определения функции.
2. Исследовать функцию на периодичность.
3. Исследовать функцию на четность.
4. Найти точки пересечения графика с осями координат и определить интервалы знакопостоянства функции.
5. Найти асимптоты.
6. Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума и значения функции в этих точках.
7. Составить таблицу значений функции для некоторых значений ее аргумента.
8. Используя все полученные результаты, построить график.
Примеры исследования свойств функции.
Пример 1. Исследуем функцию f(x) = Зх5 - 5х + 2 и построим ее график.
D(f)= R, так как f - многочлен.
Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 не больше, чем в пяти точках.
Функция не является четной, не является нечетной, так как f(1) = 0 и f(-1) = 4.
График пересекает ось ординат в точке (0; 2).
График асимптот не имеет.
Производная f'(х) = 15 х 4-15 х 2 =15 х2 (х2 - 1).
f'(x) существует на R.
f'(x) = 0, если х = 0 или х = 1, или х = -1.
Критические точки: -1,0; 1.
Найдем значения функции в критических точках: f(0) = 2, f(1) = 0, f(-1) = 4.
Исследуем знак производной f'(x) = 15х2 (х +1)(х -1).
f'(2) = 15 * 4(2 +1)(2 -1) = 60 *3 = 180 > 0.
Используя достаточный признак возрастания и убывания функции и учитывая ее непрерывность в точках -1; 0 и 1, получаем, что функция f(х) возрастает на (-∞; -1] и на [1; +∞), а убывает на [-1; 1].
Согласно достаточному признаку экстремума получаем, что в точке х = -1 функция имеет максимум, равный 4, а точке х = 1 - минимум, равный 0.
Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента: х -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 f(х) -3,9 4 2,53 2 1,46 0 7,06
Построим график функции.
f(х)=Зх5-5х3+2
Пример 2. Исследуем функцию f(x) = и построим ее график.
f(x) =.
D(f) = (-∞; - 2)((-2; 2)((2; +∞)
Функция не является периодической, так как она принимает значение 0 только в одной точке х = 0.
Функция является нечетной, так как D(f) - симметричное множество относительно 0, и для всех х ( D(f) имеем: f(-x) = = - = -f(x)
График функции f проходит через начало координат: f(0) = 0. Интервалы знакопостоянства:
f’(x) = = = = -.
Производная f'(x)<0 на D(f), следовательно, критических точек нет.
Пользуясь достаточным признаком убывания функции и учитывая непрерывность функции в точке х = 0, получаем, что она убывает на интервалах (-∞;-2), (-2; 2) и (2; +∞).
Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента:
X -4 -3 -2,5 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2,5 3 4 f(x) 0
Построим график функции.
Построение графиков функций с помощью малых средств информатизации
Использование малых средств информатизации в школе - глобальная проблема, решением которой занимались многие методисты и учителя во всем мире в 70-80-х годах XX века. Применение калькулятора видели в проверке вычислений, в расчете трудоемких выражений. В 1990-е годы интерес переключился на компьютеры личного пользования, возможности которых были намного шире, чем у калькуляторов. Однако в настоящее время калькулятор вновь привлек к себе внимание. Это объясняется тем, что он стал проще в обращении, больше умеет, и операции с ним сходны с действиями на компьютере. Калькулятор становится активным помощником, обеспечивает большую наглядность.
Инженерный калькулятор - достаточно сложное средство информационных технологий, обладающее огромными возможностями. С его помощью можно осуществлять расчеты и обрабатывать результаты экспериментов. Причем действия исследователя при этом максимально упрощены: нажатие пары клавиш позволяет получить результат одновременно со всеми возможными статистическими характеристиками исследуемого процесса.
Без четких и сознательных представлений о графике не возможно привлечение геометрической наглядности при формирование значительного числа функциональных понятий. График широко используется при изучение многих разделов школьных предметов (физики, химии, географии, биологии). Мы знакомимся с понятием числовой функции и способами ее задания, овладеваем общими понятиями:
• область определения функции;
• график функции;
• возрастание и убывание функции;
• наибольшее и наименьшее значение функции;
• нули функции;
• промежутки знакопостоянства.
Построение различных видов графиков с помощью Casio
С помощью графического калькулятора Casio можно строить графики различных функций. Для построения используется меню Graph. В этом меню вводится формула функции, которую нужно построить. С помощью калькулятора можно строить сразу несколько функций в одной системе координат. Это очень удобно для изучения свойств графиков этих функций, для их сравнения, для решения систем уравнений графическим способом. Для построения нескольких графиков в одной системе координат используется клавиша SEL (F1). В этом меню можно задавать тип линии графика (клавиша STYL (F4)), удалять формулы (клавиша DEL (F2)), строить графики (клавиша DRAW (F6)).
Примеры:
Исследование функций с применением графического калькулятора Casio
Рассмотрим важные для исследования функции моменты, одновременно соотнеся с графическим представлением:
• область определения функции – проекция графика функции на ось абсцисс;
• корни функции – абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс;
• промежутки знакопостоянства функции – интервалы оси абсцисс, соответствующие точкам графика функции, лежащим выше (или ниже) нее;
• точки экстремума – точки, вблизи которых график функции выгибается и имеет вид горба (максимум) или впадины (минимума);
• промежутки монотонности функции – интервалы оси абсцисс, на которых график функции идет вверх (или вниз);
• наибольшее и наименьшее значения функции – ординаты самой высокой и самой низкой точек графика функции;
• область значений функции – проекция графика функции на ось ординат.
Пример 1. Исследуем функцию f(x) = Зх5 - 5х + 2 и построим ее график
1. Построим с помощью Casio график функции f(x) = Зх5 - 5х + 2
2. D(y) = (-∞;+∞), E(y) = (-∞;+∞. )
3. Найдем точку максимума и минимума.
SHIFT G- SLV (F5 ) MAX (MIN)
4. Найдем нули функции
SHIGT → G-SLV(F5)→ROOT(F1)
5. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента в режиме TABLE:
Пример 2. Исследуем функцию f(x) = и построим ее график.
1. Построим с помощью Casio график функции f(x) =
1. D(y) = (-∞;-2)((-2;2)((2;+∞), E(y) = (-∞;+∞).
2. Найдем точку максимума и минимума.
SHIFT → G- SLV (F5 ) → MAX (MIN)
3. Найдем нули функции
SHIGT → G-SLV (F5) → ROOT (F1)
5. Составим таблицу значений функции для некоторых значений аргумента в режиме TABLE:
На страницах периодической печати не раз обсуждалась перспектива прихода калькулятора в школу. В частности отмечалось, что свобода выбора современной модели калькулятора не только устраняет технические трудности. Благодаря калькулятору появилась реальная возможность работать с практическими данными, наблюдать по ходу числовых расчетов за промежуточными результатами, прогнозировать ответ. Калькулятор обеспечивает большую наглядность изучаемого материала.
Современные калькуляторы обладают значительными демонстрационными возможностями: все осуществляемые с их помощью действия могут быть спроецированы на большом экране с помощью оборудования, входящего в стандартные учебные комплекты.
Преимущества калькулятора:
• миниатюрность;
• мобильность;
• практическое отсутствие необходимости в ремонте и тратах на модернизацию.
В калькуляторы уже встроено все необходимое программное обеспечение, которое невозможно удалить в отличие от персонального и карманного компьютера.
В своей работе я рассмотрела возможность графического калькулятора Casio для исследования функции и построение графиков. Возможность работы в различных режимах: TABLE, GRAPH.
Таким образом, я пришла к выводу, что Casio обладает огромными возможностями.
С помощью малых средств информатизации упрощается вычислительная работа, сокращается время на построения графиков функций и изучение их свойств. Исследование графиков проще и точнее.
Моя работа имеет практическое значение для учащихся средних школ и учителей математике, физики, химии, географии, биологии.
Комментарии