Исследование научной деятельности Карла Гаусса

Прежде чем перейти непосредственно к самой деятельности Гаусса, необходимо представить вашему вниманию небольшую предысторию.

Общие методы решения уравнений 3-ей и 4-ой степени стали первыми математическими результатами нового времени после многовекового застоя. А неприводимый случай для кубического уравнения привлёк внимание ученых к квадратным корням отрицательных чисел.

Конечно, с такими корнями математики сталкивались не впервые- ведь они часто возникают при решении квадратных уравнений. Правда, от этой неприятной ситуации античные математики были защищены диоризмами - так в Древней Греции называли ограничения, накладываемые на условия задачи.

Например, для уравнения вида х2 – рх + b2 = 0 они полагали, что сторона b квадрата не превосходит половины отрезка р. И при нахождении решения по известному правилу х1;2 = р / 2 ± √ (р / 2)2 – b2 под знаком корня получали неотрицательное число.

Таким образом, от квадратных корней из отрицательных чисел можно «отмахнуться»: если они вдруг появлялись, значит, коэффициенты шагнули через границу дозволенной области и уравнение просто не имеет действительных корней. Но для кубических уравнений такие рассуждения не проходят. В неприводимом случае решение по формуле Кердано – Тартальи содержит квадратный корень из отрицательного числа, тем не менее, уравнение имеет корни – полный набор, и все действительные.

Здесь скрывалась какая-то непостижимая связь между действительными числами и удивительными корнями из отрицательных чисел.

Разобрался в проблеме корней кубического уравнения итальянский математик и инженер Рафаэль Бомбелли. Он начал действовать с корнями из отрицательных чисел так, как оперируют обычными числами, учитывая (√-1)2 = -1. При таком подходе формула Кердано – Тартальи давала действительный корень для любого кубического уравнения. В результате работ ученого математики оказались перед загадочным фактом. Хотя квадратные корни из отрицательных чисел не имели никакого смысла и, по мнению большинства ученых, просто не существовали, применение их приводило к правильным результатам. Пришлось допустить такие корни в науку. Но, поскольку они не имели никакого реального истолкования, их стали называть мнимыми числами.

Введем некоторые понятия и обозначения. Обозначим через i число особого вида, обладающего тем свойством, что i2 = -1. Так как мы не хотим отказываться от обычных чисел, нам придется иметь дело с произведениями bi и с суммами вида а + bi , где а и b –действительные числа. В такой сумме есть действительная часть а и чисто мнимая часть bi. Поэтому, числа вида а + bi называют комплексными.

Исторически полные права и реальное содержание комплексные числа обрели после выхода в свет в 1831 году работы Гаусса, где он предложил интерпретировать их как точки плоскости. Правда, работа Гаусса не была первой в этой области. К. Вессель и Ж. Арган до него изложили свои открытия, но они не были замечены. Хотя работа Гаусса была опубликована позднее работ Весселя и Аргана, исследование его записных книжек показывает, что Гаусс пришёл к геометрической интерпретации комплексных чисел уже в конце XVIII века.

В чем же состоит эта интерпретация? Первый её шаг очень прост: каждому комплексному числу а + bi ставится в соответствие точка М (а, b) на плоскости, имеющая координаты а и b. Наряду с этой точкой можно рассматривать и вектор ОМ, идущий из начала координат О в точку М. Но сопоставить числу точку или вектор – это пол дела. Надо еще изобразить арифметические операции над комплексными числами. Что касается сложения и вычитания чисел а + bi и c + di , то достаточно сложить или вычесть соответствующие векторы.

Для изображения умножения и деления познакомимся с другой записью комплексных чисел. Обозначим через r длину вектора ОМ, а через φ угол, образованный вектором ОМ с положительным направлением оси Ох. Обычно r называют модулем числа z = a + bi, а φ – его аргументом. Замечу, что аргумент ненулевого комплексного числа имеет бесконечно много значений, отличающихся друг от друга на число, кратное 2π.

Очевидно, r = z = √a2+b2, а = r cos φ, b = r sin φ, поэтому имеет место равенство z = a + bi = r (cos φ + i sin φ)

Запись комплексного числа z в таком виде называют тригонометрической формой, в отличие от записи z = a + bi, которую называют алгебраической формой.