Решение задач различными способами

Часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.

У. Соейр

Цель проведение исследовательской работы:

Изучить различные способы решения рациональных уравнений.

Задачи, поставленные для выполнения исследовательской работы:

1. Решение рациональных уравнений различными стандартными способами.

2. Познакомиться с нестандартными способами решения уравнений.

3. Рассмотреть различные способы решения геометрических задач.

Актуальность: В сборниках заданий ЕГЭ по математике встречаются уравнения, которые можно решать различными способами, но не имея навыка работы, трудно сразу выбрать нужный наиболее рациональный способ решения уравнения или геометрической задачи.

Гипотеза: Я думаю, что существует гораздо больше способов решения задач, чем тот арсенал, которым владею я.

Методы, которыми я пользовался при выполнении этой работы:

> Поисковый метод с использованием научной и учебной литературы;

> Практический метод решения уравнений и геометрических задач;

> Исследовательский метод при решении уравнений графическими способами и решения геометрических задач;

> Анализ полученных в ходе исследования данных.

В своей работе я рассмотрел стандартные способы рациональных уравнений, руководствуясь словами У. Соейра: <<>>Часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя способами, чем решить три четыре различные задачи, так как, решая задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее>>.

Решая уравнения графическим способом я понял, что их очень много: можно использовать все виды элементарных функций, пройденных на уроке алгебры, и решить любое рациональное уравнение.

Решая уравнения разложением на множители, я мобилизовал все виды разложения: вынесение за скобки общего множителя, группировку несколькими способами, использование формул сокращенного умножения.

Для разложения на множители я использовал и деление многочлена на двучлен.

При решении квадратных уравнений я часто пользовался общей формулой корней квадратного уравнения, теоремой Виета и выделением полного квадрата.

Работая с разной литературой, я познакомился и освоил нестандартные способы решения уравнений: <<Метод переброски старшего коэффициента>>, <<Приведение к виду [f(x)][2]=[g(x)][2]>>, <<Геометрический>> с применением теоремы Пифагора.

В ходе работы я понял, что мне интересно решать и геометрические задачи различными способами. У меня при этом появлялась возможность полнее исследовать свойства геометрической фигуры и выявить наиболее простое решение.

Решая геометрические задачи, я пришел к выводу, что для успешного их решения необходимо знание всего теоретического материала.

Я понял, что каждая решенная задача - это некоторый поиск и, пусть небольшое, открытие. Не зря Г. Х. Лихтенберг сказал: <<То, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость!>>.

Введение

Однажды на уроке алгебры нам провели самостоятельную работу по 4 вариантам. Необходимо было графически решить следующие уравнения:

I вариант: Х[2]=-Х+2

II вариант: Х[2]+Х=2

III вариант: Х[2]+Х-2=0

IV вариант: Х[2]-2=-Х

Я выполнил задание II варианта:

Х[2]+Х=2 а) У=Х[2]+Х - квадратичная функция, графиком является парабола.

Координаты вершины параболы:

Х0=-в/2а=-1/2=-0,5

У0=0,25-0,5=-0,25

(-0,5;-0,25) - вершина параболы б) У=2 - прямая, параллельная оси 0Х

Х1=-2, Х2=1

Выполнив своё задание, я заглянул в тетрадь соседки и увидел почти то же самое:

Х[2]+Х-2=0 а)У= Х[2]+Х-2- квадратичная функция, графиком является парабола.

Х0=-в/2а=-1/2=-0,5

У0=(-0,5)[2]-0,5-2=-2,25

(-0,5;-2,25)- вершина параболы б) У=0 - ось 0Х

Х1=-2, Х2=1

Во время проверки самостоятельной работы я понял, что у всех вариантов одинаковые ответы Х1=-2, Х2=1. Присмотревшись я догадался, что все 4 варианта заданий были различными способами графического решения уравнения Х[2]+Х-2=0.

Придя домой, я прорешал задания I и IV варианта и убедился, что моя догадка была правильной:

Х[2]=-Х+2 а) У=Х[2]- квадратичная функция, графиком является парабола.

б)У=-Х+2- линейная функция, графиком является прямая.

Х1=-2, Х2=1

Х[2]-2=-Х а) У=Х[2]-2- квадратичная функция, графиком является парабола, с вершиной ниже начала координат на 2 единицы.

б) У=-Х - линейная функция, графиком является прямая

Х1=-2, Х2=1

Оказывается, одно и то же уравнение графически можно решить различными способами. Мне это показалось очень интересным и я попробовал квадратичные уравнения которые мы проходили на уроке алгебры, порешать всеми мне известными способами.

Я взял учебник алгебры и решил несколько уравнений

1)3х[2]+2х-1=0

I способ - выделение полного квадрата.

3Х[2]+2Х-1=0 I :3

3(х[2]+2/3Х-1/3)=0

Х[2]+2/3Х-1/3=0

Х[2]+2xХx1/3+1/9-1/9-1/3=0

(Х+1/3)[2]-4/9=0

(Х+1/3)[2]-(2/3)[2]=0

(Х+1/3-2/3)(Х+1/3+2/3)=0

(Х-1/3)(Х+1)=0

Х-1/3=0 или Х+1=0

Х=1/3 или Х=-1

II способ - разложение на множители способом группировки:

3Х[2]+2Х-1=0

3Х[2]+3Х-Х-1=0

(3Х[2]+3Х)-(Х+1)=0

3Х(Х+1)-(Х+1)=0

(Х+1)(3Х-1)=0

Х+1=0 или 3Х-1=0

Х=-1 или 3Х-1=0

III способ - по формулам Виета:

3Х[2]+2Х-1=0, I :3

Х[2]+2/3Х-1/3=0

Х1=-1, Х2=1/3

IV способ - уменьшение степени уравнения

3Х[2]+2Х-1=0

Подбором находим, что Х=-1 - корень данного уравнения

Разделим 3Х[2]+2Х-1=0 на (Х+1):

Значит, 3Х[2]+2Х-1=(Х+1)(3Х-1) и (Х+1)(3Х-1)=0

Х+1=0 или 3Х-1=0

Х=-1 или 3Х=1

V способ - графический

3Х[2]+2Х-1=0

3Х[2]=-2Х+1

Х1=-1, Х2=1/3

VI способ - по общей формуле корней квадратного уравнения.

3Х[2]+2Х-1=0 д=в[2]-4ас=4-4x3x(-1)=16

Х1=(-в-д)/2а=(-2-4)/2x3=-1

Х2=(-в+д)/2а=(-2+4)/2x3=1/3

2)Решить уравнение Х[2]-2Х-8=0

I способ - по формуле корней квадратного уравнения:

Х[2]-2Х-8=0

Д=4-4x1x(-8)=36

Х1=(2-6)/2=(-4)/2=-2

Х2=(2+6)/2=4

II способ - графический.

Х[2]-2Х-8=0 а)У=Х[2]-2Х-8

Х0=-в/2а=2/2=1

У0=1[2]-2-8=1-10=-9

(1;-9) - вершина параболы

Х1=-2, Х2=4

III способ - графический

Х[2]-2Х-8=0

Х[2]=2Х+8

Х1=-2, Х2=4

IV способ - графический:

Х[2]-2Х-8=0

Х[2]-8=2Х

Х1=-2, Х2=4

V способ - графический

Применяя метод выделения полного квадрата преобразуем уравнение к виду:

Х[2]-2Х-8=0

Х[2]-2xХx1+1-1-8=0

(Х-1)[2]-9=0

(Х-1)[2]=9

Х1=-2, Х2=4

VI способ - графический

Х[2]-2Х-8=0

Преобразуем уравнение к виду:

Х[2]/Х-2Х/Х-8/Х=0

Х-2-8/Х=0

Х-2=8/Х

Графические способы решения квадратного уравнения красивы и приятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого квадратного уравнения.

3)Решить уравнение Х[2]-Х-3=0

I способ - по общей формуле

Х[2]-Х-3=0

Д=1-4x1x(-3)=13

Х1=(1-13 )/2

Х2=(1+13 )/2

II способ - графический

Х[2]-Х-3=0

Х[2]=Х+3

Мы видим, что уравнение имеет два корня, но точно значение корней определить не возможно.

В данном случае графическое решение уравнения , я думаю, нерационально.

4) Решить уравнение Х[3]+7Х+8=0

I способ - графический

Х[3]+7Х+8=0

Х[3]=-7Х-8

II способ - разложение на множители, используя формулу сокращенного умножения

Х[3]+7Х+8=0

Х[3]+1+7Х+7=0

(Х[3]+1)+( 7Х+7)=0

(Х+1)(Х[2]-Х+1)+7(Х+1)=0

(Х+1)(Х[2]-Х+1+7)=0

(Х+1)(Х[2]-Х+8)=0

Х+1=0 или Х[2]-Х+8=0

Х=-1 Д=1-32<0 корней нет

5)Олимпиадная задача 1994г. Решить уравнение Х=36-Х2

I способ - Возведём обе части уравнения в квадрат:

Х[2]=36-Х[2]

Х[2]+ Х[2]=36

2Х[2]=36

Х[2]=18

Х[2]-18=0

(Х-18 )(Х+18 )=0

Х-18 =0 или Х+18 =0

Х=18 Х=-18 - не удовлетворяет.

Х=18 =32

II способ:

У=36-Х2 - полуокружность с центром в начале координат и радиусом R=6

6)Решить уравнение Х[2]-6Х+8=0

I способ - выделение полного квадрата

Х[2]-6Х+8=0

Х[2]-2xХx3+9-9+8=0

(Х[2]-6х+9)-1=0

(Х-3)[2]-1[2]=0

(Х-3-1)(Х-3+1)=0

(Х-4)(Х-2)=0

Х-4=0 или Х-2=0

Х=4 или Х=2

II способ - разложение на множители методом подбора находил один из корней:Х=2

Значит, Х[2]-6Х+8=(Х-2)(Х-4)

(Х-2)(Х-4)=0

Х-2=0 или Х-4=0

IV способ - разложение на множители:

Х[2]-6Х+8-0

Х[2]-6Х-4+12=0

(Х[2]-4)-(6Х-12)=0

(Х-2)(Х+2)-6(Х-2)=0

(Х-2)(Х+2-6)=0

Х-2=0 или Х-4=0

Х=2 или Х=4

Х=2 или Х=4

III способ - разложение на множители

Х[2]-6Х+8=0

Х[2]-4Х-2Х+8=0

(Х[2]-4Х)-(2Х-8)=0

Х(Х-4)-2(Х-4)=0

(Х-4)(Х-2)=0

Х-4=0 или Х-2=0

Х=4 или Х=2

Решая квадратные уравнения я пришел к выводу, что основными стандартными способами решения уравнений являются:

1. Разложение на множители:

-вынесением общего множителя за скобку;

-способом группировки;

-используя формулы сокращенного умножения;

-делением многочлена на двучлен.

2. Использование теоремы Виета

3. Использование общей формулы квадратного уравнения

4. Выделение полного квадрата

5. Графический способ.

Нестандартные способы решения рациональных уравнений

При работе с разными источниками я познакомился с новыми способами решения уравнений - нестандартными:

1. <<Метод переброски старшего коэффициента>>:

3Х[2]+2Х-1=0 x3

9Х[2]+6Х-3=0

(3Х)[2]+2(3Х)-3=0

Пусть 3Х=T, тогда

T[2]+2T-3=0, но а+в+с=0, значит

Т1=1; Т2=с/а=-3

3Х=1 и 3Х=-3

Х=1/3 и Х=-1

2) <<Приведение к виду [f(X)][2]=[g(X)][2]>> 3Х[2]+2Х-1=0

4Х[2]=Х[2]-2Х+1

(2Х)[2]=(Х-1)[2]

2Х=Х-1 или 2Х=1-Х

Х=-1 Х=1/3

Я познакомился с интереснейшим третьим способом решения квадратных уравнений - геометрическим

Х[2]+8Х-9=0

Построим прямоугольный ∆ АВС с катетами ВС=с= 9 =3

АС=в/2=8/2=4

Гипотенузу АВ находим по теореме Пифагора:

АВ=в2+с=16+9=25=5

Радиусом в/2=4 проведем окружность с центром в точке А, которая пересекает гипотенузу в точках Д и Е.

ДВ=Х1=1

ВЕ=Х2=9

Учитывая знаки, получим Х1=1, Х2=-9

Очень интересно решать геометрические задачи различными способами. Рассмотрим задачу.

Задача № 516 (из учебника Л. С. Атанасяна и др. <<Геометрия, 7-9>>). В треугольнике ABC ВС = 34 см. Перпендикуляр MN, проведенный из середины ВС к прямой АС, делит сторону АС на отрезки AN=25 см и NC = 15 см. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение. Способ I.

1. М - середина ВС, тогда ВМ = МС, МС =17.

2. MN ┴АС, тогда треугольник MNC - прямоугольный, значит, по теореме Пифагора находим

3. угол С - общий угол тре - угольников ABC и MNC, поэтому SMNC/SABC=МСxNC/ВСxАС, но SMNC=1/2xMNxNC, то есть SMNC=15x8/2=60. По условию АС=АN+NC,AC=40, получаем 60/ SABC=17x15/34x40, откуда SABC=320см[2].

Способ 2.

1. Проведем ВКАС и продолжим NM до пересечения с ВК. Имеем :MN┴АС, ВКАС, тогда прямаяMN┴ВК.

2. Прямоугольные треугольники ВНМ и CNM равны по гипотенузе и острому углу, тогда МН=MN, но MN=8, тогда МН=8 и NН=16.

3. ВF - высота треугольника АВС; ВF=NH=16 - как расстояния между параллельными прямыми.

4. SАВС=1/2АСxBF, SАВС=40x16/2=320см[2].

Способ 3.

1. ВF- высота треугольника АВС, тогда ВF┴АС. Имеем ВF┴АС,

ВFMN MN┴АС

2. ВМ=МС,

СN=NF=15(по теореме Фалеса).

3. Треугольник ВFС- прямоугольный, тогда BF=BC2-CF2, BF=342-302=16

4. SАВС=1/2АСxBF, SАВС=320см[2].

Способ 4.

1. Достроим треугольник АВС до параллелограмма АСРВ. Имеем,

SАВС=1/2SАСРВ, SАСРВ=АСxНN

2. MN=МС2-NC2=289-225=8

3. Треугольники ВНМ и СNМ равны, тогда МН=8 и НN=16.

4. SАСРВ=40x60=640 см[2], тогда SАВС=320 см[2].

Способ 5.

1. ВF - высота ∆АВС, тогда ВF┴АС.

2. Проведем МЕ┴ВF.

4. МЕАС, ВС - секущая, значит, угол МСN= углу ВМЕ(как соответственные углы).

5. Треугольники ВЕМ и МNC - прямоугольные, они равны по гипотенузе и острому углу, тогда

ВЕ=МN=8.

6. МЕFN- прямоугольник, тогда ЕF=MN=8.

7. ВF=BE+EF=16/

8. SАВС=1/2АСxBF=320 см

Способ 6.

1. ВF - высота, тогда ВF┴АС и треугольник ВСF - Прямоугольный.

2. МN┴АС, тогда ∆MNC- прямоугольный.

3. Треугольники MNC и BFC подобны по первому признаку подобия, тогда

МС/ВС=MN/BF или 17/34=8/BN,

Откуда BF=16.

4. SАВС=1/2АСxBF, SАВС=320см[2].

Рассмотрим ещё одну задачу.

Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

1-й способ. Так как

= <4 и <1 =<2; следовательно,<2 = <3 и ВМ ║АС.

2-й способ. Так как

Смежные, а BD и ВК - биссектрисы этих углов, то ВК⊥BD. Но ВК⊥АС и, значит, BD║AC.

3-й способ. Продолжим АВ на BE = АВ и соеди - ним Е с С. Так как BD - биссектриса

DE = DC. Значит, BD - средняя линия ∆АЕС, т. е. BD║ АС

4-й способ продолжим АВ на ВЕ=АВ и соединим Е с С.

Так как ВС - медиана ∆АСЕ и ВС= 0,5 АЕ, то ∆АЕС - прямоугольный. Имеем BD⊥CE и АС⊥СЕ, откуда ВD║АС.

5-й способ. Проведем BD║АС и полу - чим четырехугольник ABDC. Так как <1 = <3

(Накрест лежащие при АВ║CD и секущей ВD) и <1= <2 (по условию), To <2=<3;поэтому ВС = СD = АВ.

Итак, АВ= CD и АВ║ CD; следова - тельно,

ABDC - параллелограмм и АС║ВD.

Решение одной и той же геометрической задачи различными способами дает возможность полнее исследовать свойства геометрической фигуры и выявить наиболее простое решение. Решая задачу подходящим способом, иногда удается попутно <<открыть>> свойство фигуры, о котором в задаче ничего не говорится, или получить интересное обобщение задачи.

Иногда найденный способ решения может быть в дальнейшем использован для решения более трудных задач, сходных с решенной задачей.

Решая геометрические задачи я пришел к выводу, что для успешного их решения необходимо знание всего теоретического материала.

Начиная решать задачу, надо вспомнить определения и свойства входящих в задачу данных и искомых элементов, теоремы, в которых связаны данные и искомые элементы задачи, просмотреть решения похожих задач.

При решении геометрических задач я понял, что чертеж- помощник в решении, он может подсказать правильный ход рассуждений, если выполнить его соответствующим к условиям задачи.

Но главный вывод в том, что пробрести навыки в решении задач можно лишь решив достаточно большое количество задач различной трудности. Ведь каждая решенная задача- это некоторый поиск и, пусть небольшое, открытие. Не зря Г. Х. Лихтенберг сказал <<То, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость>>.

Решение любой задачи разными способами - это различных способов решения этой задачи.

При решении одной задачи различными способами у меня появляется возможность найти свой способ решения, то есть способ, который мне понятен, в котором я могу максимально выразиться. У меня появляется возможность действовать так, как я этого хочу.

Решение задачи различными способами помогает восполнить пробелы в ранее изученных темах.

Иногда - это соломинка для спасения в трудном мире математики, которая все же помогает найти свой, понятный путь решения задачи.

Иногда - это открытие мира красоты и изящества любимого предмета.

А иногда - это путь к пониманию в общении с одноклассниками и учителем.

При разборе различных способов решения одной и той же задачи я могу оценить все плюсы и минусы каждого способа и выбрать наиболее удачный, более рациональный в данный момент изучения учебного материала.