Решение уравнений, содержащих модуль

№п/п Виды Решение уравнений Примеры

1. f(х) = а, где а По определению абсолютной

0. величины данное уравнение распадается на совокупность двух уравнений: f(х)= а, f(х) = -а. 1. Решение на основе геометрической интерпретации.

Записывается это так:

Уравнения вида │f(x)│=а, где а≥0. По определениюх абсолютной вылечены данное уравнение -1 3 7

распадается на совокупность двух уравнений :

f(x)=a f(x)=-a.

Записывается так: На расстоянии 4 от точки 3 лежат две точки -1и 7 , а 2х есть одна из них.

f(x)=a Следовательно , f(x)=-a 2х=-1 или 2х=7

х=-0,5 х=3,5

Ответ 0,5 и 3,5

2. │x-8│=5

По определению модуля имеем совокупность уравнений:

х-8=-5 Откуда: х=13, х=-13.

2. f(х) = а. По определению абсолютной x²-│x│-6=0 данное уравнение равносильно совокупности двух величины данное уравнение распадается на систем:

совокупность двух систем:

Решим первую систему уравнений:

х≥0, х=3

х=3; х=-2

Решим вторую систему уравнений:

х=-3; х=2 х=-3

Ответ :-3;3

3. f(х) = q(х). Данное уравнение равносильно совокупности двух │3x-10│=x-2 Данное уравнение равносильно совокупности двух систем: систем:

4. f(х) =q(х). Данное уравнение равносильно совокупности │x-2│=│3-x│

│2х-3│=-(2х-3)

f(x)=g(x) 2х-3≤0, х ≤ 3/2

f(x)=-g(x) Ответ (-∞,3/2]

5. f(х) + f(х) + 1. Решают каждое из уравнений f(х)= 0, f(х)= 0, 2│x-2│-3│x+4│=1

+f(х) = q(х). f(х)= 0.

2. Вся координатная ось разбивается на некоторое 1. х=-15

число промежутков. 2 x=-1,8 3

3. На каждом таком промежутке уравнение (

заменяется на другое уравнение, не содержащее знаков модуля и равносильное исходному уравнению на этом промежутке.

4. На каждом промежутке отыскиваются корни того уравнения, которое на этом промежутке получается

5. Отбираются те корни, которые принадлежат данному промежутку. Они и будут корнями исходного уравнения на рассматриваемом промежутке.

6. Все корни уравнения f(x) получают, объединяя все корни, найденные на всех промежутках.