Решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

МОДУЛЬ ЧИСЛА

Из курса математики в 6-ом классе известно:

Модулем числа a называют расстояние ( в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а). Поэтому модуль не может быть отрицательным: Для положительного числа и нуля он равен самому числу: для отрицательного – противоположному числу: Противоположные числа имеют равные модули:

Определение модуля:

В учебниках по математики для обычных 6-7 классов заданий на решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля очень мало. Однако в задачниках по математике для старших классов встречаются такие задания, которые по силам и ученикам 6-7-х классов. Рассмотрим решение линейных уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Чтобы решить уравнение, надо освободиться от знака модуля, используя его определение.

УРАВНЕНИЯ ВИДА

В уравнении , линейная функция, а – число. Уравнение: а) не имеет корней, если , так как модуль не может быть отрицательным числом; б) имеет один или два корня, если

Примеры:

1. ; 2. 3. 4.

Ответ: -5; 5. Ответ: 0. Ответ: нет корней.

Ответ: 3; 9.

Ответ: -6; -2; 2.

6. уравнение с параметром

А) Если < 0, то уравнение не имеет корней.

Б) Если = 0, то

В) Если > 0, то

Ответ: при < 0 корней нет; при = 0 один корень х = ─ 8; при > 0 два корня – 8 и –– 8.

7. уравнение с параметром

Ответ: при = 0 нет корней; при ≠ 0 два корня.

УРАВНЕНИЯ ВИДА

В уравнении линейные функции. Так как модуль числа всегда неотрицательное число, то , значит уравнение равносильно совокупности систем:

Примеры:

3,6 ≤ 6; 2 ≤ 6 — верно.

Ответ: 2; 3,6.

Ответ: нет корней.

Уравнения вида

В уравнении линейные функции, их значения могут быть любыми. Значит уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

Примеры:

Ответ: -2; 1.

МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ

Для решения других линейных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модулей, применяется метод интервалов.

Алгоритм.

1) найти нули подмодульных выражений (критические точки);

2) разбить числовое множество на промежутки, в которых каждое подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно;

3) на каждом из найденных промежутков решить уравнение без знака модуля.

Совокупность решений на найденных промежутках и составит все решения рассматриваемого уравнения.

Пример 1.

1) Критические точки (нули подмодульных выражений) находятся после решения уравнений:

2) Числа - 4 и 3 разбивают числовое множество на три промежутка: (- ∞; - 4); [- 4; 3]; (3; + ∞), в каждом из которых подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно:

x < - 4 - 4 ≤ x ≤ 3 x > 3

x + 4 ─ + +

x - 3 ─ ─ +

Определить знак выражения на промежутке можно, взяв из промежутка число и подставив его в подмодульное выражение. Применяя определение модуля, освободим левую часть уравнения от знака модуля:

А) Если x < - 4 , то данное уравнение примет вид:

- (x + 4) – (x – 3) = 7,

- x – 4 – x + 3 =7,

- 2 x = 8, x = - 4,

- 4 не удовлетворяет условию x < - 4, значит при x < - 4 данное уравнение не имеет корней.

Б) Если – 4 ≤ x ≤ 3, то данное уравнение примет вид:

( x + 4) – (x – 3) = 7, x + 4 – x + 3 = 7,

7 = 7, верно для любого значения х из взятого промежутка. Значит данное уравнение верно для всех х, удовлетворяющих условию – 4 ≤ x ≤ 3.

В) Если х > 3, то данное уравнение примет вид:

(х + 4) + (х – 3) = 7,

2 х + 1 = 7,

2 х = 6, х = 3,

3 не удовлетворяет условию х > 3, значит, при x > 3 данное уравнение не имеет корней.

Ответ: - 4 ≤ х ≤ 3.

Пример 2.

1) Критические точки (нули подмодульных выражений) находятся после решения уравнений: х = 0; х - 1=0, х - 2 = 0, х = 1; х = 2.

2) Числа 0; 1 и 2 разбивают числовое множество на четыре промежутка: (─ ∞; 0); [0; 1]; (1; 2); [2; + ∞), в каждом из которых подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно:

x < 0 0 ≤ x ≤ 1 1 < x < 2 x ≥ 2

x ─ + + +

x - 1 ─ ─ + +

x - 2 ─ ─ ─ +

Определить знак выражения на промежутке можно, взяв из промежутка число и подставив его в подмодульное выражение. Применяя определение модуля, освободим левую часть уравнения от знака модуля:

А) Если x < 0, то уравнение примет вид

- х – (х – 1) – (х – 2) = 6,

- х – х + 1 – х + 2 = 6,

- 3 х = 3, х = -1.

Число - 1 удовлетворяет условию х < 0, значит, -1 является корнем уравнения.

Б) Если 0 ≤ х ≤ 1, то данное уравнение примет вид: х – (х -1) – (х – 2) = 6, х – х + 1 – х + 2 = 6,

- х + 3 = 6, Ответ: -1, 3.

- х = 3, х = - 3.

Число -3 не удовлетворяет условию 0 ≤ х ≤ 1, значит, данное уравнение при этом условии не имеет корней.

В) Если 1 < x < 2, то данное уравнение примет вид: х + (х – 1) – (х – 2) = 6, х + х – 1 – х + 2 = 6, х + 1 = 6, х = 5.

Число 5 не удовлетворяет условию 1 < x < 2, и данное уравнение не имеет корней при этом условии.

Г) Если х ≥ 2, то данное уравнение примет вид: х + (х – 1) + (х – 2) = 6, х + х – 1 + х – 2 = 6,

3 х – 3 = 6,

3х = 9, х = 3.

Число 3 удовлетворяет условию х ≥ 2 и является корнем уравнения.

Ответ: -1, 3.

Пример 3. При каких значениях и уравнение имеет более шести корней?

1) Критические точки (нули подмодульных выражений) находятся после решения уравнений:

2) Числа 1 и 2 разбивают числовое множество на три промежутка: (─ ∞; 1); [1;2]; (2; +∞), в каждом из которых подмодульное выражение либо положительно, либо отрицательно:

x < 1 1 ≤ x ≤ 2 x > 2

x - 1 ─ + +

x - 2 ─ ─ +

Определить знак выражения на промежутке можно, взяв из промежутка число и подставив его в подмодульное выражение. Применяя определение модуля, освободим левую часть уравнения от знака модуля:

А) Если x < 1, то уравнение примет вид:

- (х – 1) – (х – 2) =

- х + 1 – х +2 =

- 2 х - =

- х( 2 +) =

Если = - 2 и = 3, то уравнение примет вид , такое уравнение имеет бесконечно много корней, то есть более шести.

Б) Если 1 ≤ x ≤ 2, то уравнение примет вид:

+(х – 1) – (х – 2) = х – 1 – х + 2 =

Если = 0 и = 1, то уравнение примет вид , такое уравнение имеет бесконечно много корней, то есть более шести.

В) Если x > 2, то уравнение примет вид:

(х - 1) + (х – 2) =

2 х – 3 =

2 х - = х(2 - ) =

Если = 2 и = - 3, то уравнение примет вид , такое уравнение имеет бесконечно много корней, то есть более шести.

Ответ: уравнение имеет более шести корней в трёх случаях:

▪ если = - 2 и = 3;

▪ если = 0 и = 1;

▪ если = 2 и = - 3.