Решение алгебраических уравнений

В школьных учебниках имеется множество уравнений, для решения которых применимы необычные для обычного школьника рассуждения. В своей работе я привела некоторые примеры именно нестандартных методов решений уравнений.

Цели работы:

- познакомить школьников с различными методами решения уравнений

- проиллюстрировать широкие возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний.

Алгебраические уравнения. Что же это такое?

В школе на уроках математики мы не раз встречались с таким понятием, как уравнения, алгебраические уравнения. Видеть их на страницах учебника, решать их на уроке – все это стало для нас привычным и каждодневным занятием. Но что же такое – уравнения?

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой. Выражение, стоящее слева от знака равенства, называется левой частью уравнения, а выражение, стоящее справа от знака равенства, - правое частью уравнения. Каждое слагаемое левой и правой части уравнения называется членом уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или установить, что их нет. Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство. При решении уравнений могут быть использованы следующие свойства уравнения:

- любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его на противоположный.

- обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

Очень часто уравнения используют при решении текстовых задач. Уравнения можно решать графическим и аналитическим способами. При решении уравнений полезными бывают формулы сокращенного умножения:

Виды уравнений

Разобравшись, что представляют собой уравнения, мы можем перейти к рассмотрению различных видов уравнений.

Уравнения бывают с одной переменной (неизвестной), с двумя переменными или с несколькими.

Уравнения с одной переменной подразделяются на:

• линейные - ax=b, где x – неизвестное, a и b – некоторые числа.

• квадратные – ax2 +bx+c=0, где x – неизвестное, a,b,c – действительные числа, a≠0.

• дробно-рациональные – f(x)=g(x), где f(x) и g(x) являются рациональными выражениями.

Уравнения с двумя переменными имеют бесконечно много пар чисел – решений, поэтому их часто называют неопределенными. Такие уравнения чаще всего образуют систему уравнений.

Решить систему уравнений – значит найти множество всех пар чисел (x,y), таких, что при подстановке чисел получаются верные числовые равенства. Если решение системы уравнений – пустое множество, то ее называют несовместимой.

Аналогично можно определить систему уравнений с тремя и большим числом переменных.

Способы решения алгебраических уравнений

Разложение многочлена на множители

Разложить многочлен на множители – это значит представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.

Пример 1. Разложить многочлен на множители и решить уравнение: x + y =xy.

Решение. Первым действием перенесем все слагаемые в одну часть: xy – x – y = 0, далее, чтобы разложить пример на множители обычно к каждой из частей добавляют удобное целое число. В нашем примере постараемся получить произведение (x – 1)(y – 1), добавив к каждой из частей уравнения 1, то есть xy – x – y + 1=1. Разложив на множители, получим (x – 1)(y – 1)=1, откуда x=0, y=0 или x=2, y=2.

Пример 2. Разложить многочлен на множители и решить уравнение: 3x2 + 4xy – 7y2 = 13.

Решение. Разложением на множители получим

(x – y)(3x + 7y) = 13, но в данном случае мы ничего не прибавляли к обеим частям уравнения. Так как число 13 – это 13*1, 1*13, -13*(-1), -1*(-13), то мы получаем совокупность четырех систем:

Решая системы, получаем, что системы (2) и (3) решений в целых числах не имеют, а ответами систем (1) и (4) являются соответственно х=2, у=1 и х=-2, у=-1.

Вынесение общего множителя

Если все члены многочлена имеют общий множитель, то, вынося его за скобки, получим разложение многочлена на множители.

Применение формул сокращенного умножения

Выделение полного квадрата

Иногда многочлен можно разложить на множители, если сначала воспользоваться методом выделения полного квадрата, а затем формулой разности квадратов.

Группировка

Этот способ применяется чаще всего в сочетании со способом вынесения за скобки общего множителя. Суть его состоит в перегруппировке слагаемых в многочлене и дальнейшем объединении в группы таким образом, чтобы после вынесения общего множителя из каждого слагаемого в данной группе в скобке получилось выражение, являющееся в свою очередь общим множителем уже для каждой группы.

Метод неопределенных коэффициентовh

Суть этого метода состоит в том, что заранее предполагается вид множителей – многочленов, на которые разлагается данный многочлен. Этот метод опирается на следующие утверждения:

Метод введения параметра.

Иногда при разложении многочлена на множители помогает метод введения параметра. Суть этого метода поясним на следующем примере.

Комбинирование различных методов

Часто при разложении многочлена на множители приходится применять последовательно несколько из рассмотренных выше методов.

Простейшие способы решения алгебраических уравнений

Если многочлен записан в виде произведения многочленов первой и второй степени, то уравнение равносильно совокупности соответствующих уравнений первой и второй степени.

Если многочлен имеет большую степень, чем 2, и не разложен на множители первой и второй степени, то его сначала надо каким-либо способом разложить на такие множители, а затем заменить уравнение равносильной ему совокупностью уравнений.

Симметрические уравнения

Уравнения вида называются симметрическими уравнениями третьей степени. Поскольку то уравнение равносильно совокупности уравнений которое довольно просто решить.

Некоторые искусственные способы решения алгебраических уравнений.

Умножение уравнения на функцию

Иногда решение алгебраического уравнения облегчается, если умножить обе части его уравнения на функцию. Но при этом надо помнить, что умножать надо на многочлен, не имеющий корней или на многочлен, имеющий корни, но тогда каждый из таких корней надо обязательно подставить в первое уравнение и установить, является ли это число его корнем.

Угадывание корня уравнения.

Иногда внешний вид уравнения подсказывает, какое число является корнем этого уравнения.

Использование симметричности уравнения

Иногда внешний вид уравнения – некоторая его симметричность – подсказывает способ решения уравнения.

Очень многие считают математику и другие точные науки скучными и неинтересными. Я, если честно, то же так раньше думала, и именно с целью опровергнуть это суждение, я создала этот проект. В данном проекте я рассмотрела лишь некоторые способы и примеры решений алгебраических уравнений, ведь на самом деле их великое множество!

Создавая этот проект, я хотела, чтобы каждый ученик понял, что даже в таком, казалось бы, не увлекательном на первый взгляд занятии – решении уравнений, тоже можно проявить безграничную фантазию и показать свою эрудицию! Это, как безграничная чаша. Ведь каждый день можно пробовать решить привычные для тебя уравнения новыми, более интересными и удобными способами!

На последок хочу пожелать всем юным любителям математики увлекательных задачек, всевозможных открытий и заслуженных успехов!

Спасибо за внимание!