Рассматриваем некоторые свойства функций

В данной работе рассматриваются некоторые свойства функций вида

Последовательно рассмотрим графики функций

; ; ; , выявим некоторые закономерности их свойств и докажем полученные гипотезы

Для простоты рассуждений введем понятие асимптотической системы отсчёта. Асимптотической назовём систему координат, полученную сдвигом точки O системы координат XOY в точку пересечения асимптот рассматриваемого графика.

Упрощенный вид функции y1(x) =.

Область определения функции y1(x): x ≠ 0; x ≠ -1.

Горизонтальная асимптота у = 1; вертикальная асимптота x = -1.

Центр симметрии (-1;1).

Положение относительно асимптотической системы отсчёта: во второй и четвёртой четвёртях. Вид функции в асимптотической системе отсчёта y1`(х) =.

Упрощенный вид функции y2(x) =.

Область определения функции y2 (x): x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ -

Горизонтальная асимптота у = ; вертикальная асимптота x = -;

Центр симметрии (-;).

Положение относительно асимптотической системы отсчёта: в первой и третьей четвёртях.

Вид функции асимптотической системе отсчёта y2`(х) =.

Упрощенный вид функции y3(x) =.

Область определения функции y3 (x): x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ -; х ≠ -

Горизонтальная асимптота у = ; вертикальная асимптота x = -;

Центр симметрии (-;).

Положение относительно асимптотической системы отсчёта: в второй и чётвёртой четвёртях. В асимптотической системе отсчёта вид функции y3`(х) =.

Упрощенный вид функции y4(x) = ;

Область определения функции y4 (x): x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ -; х ≠ -; х ≠ -;

Горизонтальная асимптота у = ; вертикальная асимптота x = -;

Центр симметрии (-; ); положение относительно асимптотической системы отсчёта: в первой и третьей четвёртях. В асимптотической системе отсчёта вид функции y4`(х) =.

Сводная таблица свойств функций данного вида

Упрощенный вид функции (x)= (x)= (x) = (x) =

Область определения x ≠ 0; x ≠ -1 x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ 0; x ≠ -1 ;

x ≠ - x ≠ -; х ≠ - x ≠ -; х ≠ -;

Центр симметрии (-1;1) (-;) (-;) (-; )

Вид функции в `(х) = `(х) = `(х) = `(х) =

асимптотической системе отсчёта

Расположение в 2 и 4 квадранты 1 и 3 квадранты 2 и 4 квадранты 1 и 3 квадранты асимптотической системе

Поставим задачу: для функций вида найти упрощенную «двухэтажную» формулу ( при этом область определения каждой такой функции нужно рассматривать отдельно)

Выдвинем гипотезу, что yn(x) = , где fi - i-е число последовательности Фибоначчи , а n – количество знаков (+) в функции yn(x). (при этом количество выколотых точек в области определения функции равно n+1; для каждой следующей функции область определения уменьшается ровно на одну точку – точку вида )

Преобразуем данное выражение, учитывая, что ≠ 0.

Получим: yn(x) = ( yn(x) = ( yn(x) = (

( yn(x) = ( yn(x) = ( yn(x) =

(по свойству, рассмотренному ниже), (

( yn(x) = ( yn(x) =.

Верность базиса следует из приведенной выше таблицы.

Докажем индукционный шаг.

Допустим, утверждение верно при n=k, т. е. yk(x) = , докажем, что утверждение верно при n=k+1, т. е. yk+1(x) =

Доказательство (на области задания функции).

В ходе доказательства была использована формула , приведенная в учебнике Н. Я. Виленкина и др. «Алгебра и математический анализ 10» М. «Просвещение», 1995, с. 48. Доказательство данного свойства членов последовательности Фибоначчи приводится мною методом математической индукции.

Проверим базис при n=1.

. Верно.

Индукционный шаг.

Допустим, утверждение верно при n=k, т. е. докажем, что утверждение верно при n=k+1, т. е.

Доказательство.

Аналогично рассмотрим графики функций

Сводная таблица свойств функций данного вида

Упрощенный вид функции f2(x) = 1-x f3(x) =

Область определения x ≠ 0; x ≠ -1 x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ 0; x ≠ -1 ; x ≠ 0; x ≠ -1 ;

Докажем, что fk = fk+3 для любого натурального k.

Легко заметить, что области определения всех этих функций совпадают.