Применение фрактальной геометрии в естественных науках

Цель данной работы – принять участие в исследовательской деятельности по вопросам, связанным с математической базой, обеспечивающей плодотворную работу учёных-естествоиспытателей. В данном случае была выбрана фрактальная геометрия, являющаяся достаточно новой и к тому же очень перспективной областью математики. Новизной в работе являются авторские подходы, связанные с авторскими моделями описания структуры льда, строения Вселенной, но особенно инновационным можно считать привлечение фрактальной геометрии при рассмотрении контактирующих в процессе трения поверхностей, тем более, что вопросы о трении далеки от своего решения и с точки зрения физики, и математики. Практическая значимость работы: она может использоваться для элективных и факультативных занятий со школьниками.

Общие сведения о фрактальной геометрии

Слово «фрактал» (от латинского «fractus» - ломанный, разбитый или англ. «fraction» - доля) введено в 1975 году математиком Бенуа Мандельбротом. Сопоставляя классическую геометрию с новой – фрактальной геометрией он увидел, что природа демонстрирует совсем другой уровень сложности: контуры гор, береговых линий, облака и т. д. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Первые примеры множеств с дробной размерностью привел в 1919 году Ф. Хаусдорф. А Б. Мандельброт выделил интересное свойство фракталов - самоподобие - сколь угодно малая часть фрактала оказывается просто уменьшенной копией целого. Перед введением фрактальных моделей для различных естественнонаучных дисциплин рассмотрим вначале множество с дробной размерностью – кривую Коха. Кривая состоит из 4 равных частей, каждая из которых подобна всей кривой, с коэффициентом подобия 1/3. Ломаная состоит из 4ⁿ отрезков длины 1/3ⁿ и ее периметр равен (4/3)ⁿ. То есть длина кривой Коха и любого её кусочка бесконечна, а хаусдорфова размерность по формуле Мандельброта будет вычислена как D =ln4 ∕ ln3≈1,2. В 1925 году П. С. Александров сформулировал теорему о размерности множества: размерность множества можно найти, сравнивая множество с n-мерном кубом. Сравнение осуществляют геометрически, покрывая множество n-мерными кубиками.

ln N(ε)

В общем виде формула выглядит: D = lim_.

ε→0 ln ( 1/ε) , где N(ε) – минимальное число клеток (отрезков), покрывающих множество А со стороной ε.

Примеры фракталов

1. Канторово множество. Вырезают 1/3 в середине отрезка. D=ln2: ln3≈0,63, рис. 2а.

2. Канторова пыль на квадрате. Это множество вполне несвязно. Оно получается при построении: из исходного единичного квадрата путём удаления «креста» получают 4 новых квадрата со сторонами r, где 0

D = lim_. При этом 0

n→∞ ln (1/rn )

3. Ковёр Серпинского: D = ln8: ln3=2,0794:1,0986= 1,893 (рис. 2 в). Это и следующее, также замкнутое множество, называется связным. Салфетка Серпинского: D=ln3:ln2=1,0986:0,6931=1,585 (для вычисления её метрической размерности плоскость надо делить на ячейки не квадратной формы, а в форме правильных треугольников). Природные объекты, не являются фракталами в точном смысле слова. Однако для расчётов можно подобрать соответствующий фрактал.

Использование фрактальной геометрии

Фракталы в географии

Используя теорему П С. Александрова участок береговой линии на карте, покрывают сеткой, из квадратов. Подсчитывают число квадратов, через которые проходит кривая. Уменьшая масштаб сетки, пересчитывают новые квадраты. Потом с использованием логарифмических координат строят зависимость числа квадратов от длины их сторон «а» и по углу наклона полученной прямой определяют фрактальную размерность.

Практическая часть (авторские исследования)

В результате самостоятельных измерений по картам и рисункам, а также построения соответствующих графиков в двойных логарифмических координатах были получены фрактальные размерности для участков береговых линий Чёрного и Каспийских морей, границ Северной и Южной Осетий, контуров гор, участков рек.

ВЫВОДЫ: Для этих линий фрактальная размерность D>1. Означает, что линия пытается заполнить плоскость, размерность которой, как известно − 2. То есть, фрактальная геометрия позволяет моделировать и изучать природные объекты.

Фракталы в химии

Дендриты часто образуются при кристаллизации металлов, так как граница растущего кристалла характеризуется наличием выступов. Нередко дендриты являются продуктом электролиза. Например, дендриты цинка фрактальной размерностью 1,7 удалось вырастить при электролизе раствора ZnSO4 на границе раздела с n- бутилацетатом.

Фракталы в биологии

В динамике функций мозга, сердца и электрически активных клеток, регистрируемых электрическими методами, обнаружены хаотические аттракторы – тоже фракталы – (аттракторы – это геометрические структуры, характеризующие поведение в фазовом пространстве по прошествии длительного времени). Фрактальны по своей структуре кровеносная система, нервная система, корневая система растений.

Фракталы в физике

Искровой разряд

Форму дендритов с размерностью от 1,3 до 1,6 имеет след электрического пробоя в композитах на основе эпоксидной смолы. Образовавшаяся фигура названа в честь ее первооткрывателя немецкого физика 18 века Георга Лихтенберга. Самым мелким масштабом такой самоподобной фигуры будет молекулярный уровень.

Фрактальная проводимость

Если квадрат из проводника разделить на 2 части, а затем рассмотреть диэлектрическую предканторову перегородку, то сопротивление границы будет нарастать, но при этом оно отлично от нуля, так как есть хотя бы 2 точки соприкосновения разделённых частей пластины, рис. 5. С точки зрения физики –ограничения вызваны размерами электронов (авторское замечание).

Диффузия через фрактальную щель

Рассмотрим единичный куб с веществом подчинённым закону диффузии. На среднем сечении куба рассмотрим перегородку на основе предканторовой пыли. Объединение крестов - непроницаемая стенка. При r ≤ ¼ и n→∞ стенка становится непроницаемой.

Конденсированные среды с фрактальной структурой

Формирование фрактальных агрегатов и диффузия частиц: простая модель предложена в 1981 году Т. Виттеном и Л. Сандерсом. Пусть ограниченное двумерное пространство разделено на множество квадратных ячеек. В одну из них помещается зародыш фрактальной структуры. В математическом смысле это точка, в физическом – атом, молекула или кластер, состоящий из 10² - 104 атомов. Затем в случайно выбранную ячейку помещается другая частица. Оказавшись рядом с первой, она останавливается. Процесс повторяют. Ячеистая структура фрактального агрегата может быть получена в газовой среде (рис. 6) или при возрастании деформации в металле.

Вода как фрактал (авторское рассмотрение)

Ажурностью и пористостью обладает кристаллическая решетка обычного водяного льда. Внутри этих ячеек могут находиться молекулы других веществ. Образование дендритов различного порядка и размерности, то есть снежинок и ледяных узоров на окнах, прекрасный пример моделирования поведения фракталов.

Трение с точки зрения фрактальной геометрии (авторская модель)

Фрактальные кривые силы трения

При рассмотрении трения контактирующие поверхности можно сравнить с горными системами, которые, сминая вершины гор, движутся одна по другой. То есть геометрическое трение нужно исследовать с точки зрения фрактальной геометрии. Вычисление хаусдорфовой размерности всегда требует некоторой изобретательности, так как её строгое вычисление довольно громоздко. Поэтому при возможности отдают предпочтение более наглядным формулам, но они иногда могут давать числа, превышающие «истинную» размерность. Проведём исследование связи коэффициента трения, обусловленного геометрическим трением, с фрактальной размерностью исследуемых поверхностей. То есть подберём фракталы, наиболее полно удовлетворяющие состоянию поверхностей, находящихся в зоне трения. При вычислениях анализировалось число элементов (выступов) на фрактальных кривых силы трения и шагов при построении этих кривых.

2)Фазовый портрет линейного осциллятора имеет фрактальный характер.

5. Вселенная как фрактал (астрономия, авторское рассмотрение)

При рассмотрении строения Вселенной как фрактальной структуры можно применить губку Менгера. D=ln20:ln3≈2,73. Или объемный вариант ковра Серпинского D = ln26/ln3. Это значение близко к 3.

6. Авторские предложения. 6. 1. Фрактальная анизотропия

К фракталам можно применить понятие анизотропии, как в физике для кристаллов.

6. 2. Авторские фракталы, рис. 8. Вращение относительно центра с изменением масштаба и изменением шага кривой Коха приводит или к разворачиванию по всей плоскости или, наоборот, скручиванию в точку.

Язык математики открывает безграничные возможности для решения многих вопросов. А изучение фракталов представляет большой интерес для исследователя и автору преставилась возможность попытаться выполнить свои разработки, используя различную литературу и рисунки из Интернета.