Нестандартные тригонометрические уравнения

Разбор вариантов решения тригонометрических уравнений. Анализ типичных ошибок при нахождении корней тригонометрических уравнений. Изучение данной работы полезно старшеклассникам для подготовки к ЕГЭ по математике.

Математические знания могут применяться умело и с пользой лишь в том случае, если они усвоены творчески, так, что учащийся видит сам, как можно было бы прийти к ним самостоятельно.

А. Н. Колмогоров

Решения тригонометрических уравнений сводятся к решению элементарных уравнений посредством преобразования, разложения на множители, замены неизвестного. Ведущий принцип – не терять корни. Это означает, что при переходе к следующему уравнению не нужно опасаться лишних корней, а заботиться лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение являлось следствием предыдущего.

Пример 1: Основной прием решения нестандартных тригонометрических уравнений – это домножение обеих частей уравнения.

а) cos x·cos2x·cos4x·cos8x = (cos15x

Решение: умножим обе части уравнения на 16sinx

16sinx ≠ 0 x ≠ πn; n є z

8·(2sinx·cosx)·cos2x·cos4x·cos8x = 2cos15x·sinx

4·(2sin2x·cos2x)·cos4x·cos8x = 2cos15x·sinx

2·(2sin4x·cos4x)·cos8x = 2cos15x·sinx

2sin8x·cos8x = 2cos15x·sinx sin16x = 2cos15x·sinx

Используя формулу cosα·sinß = ((sin(ß-α)+sin(ß+α)) получаем: sin16x = -sin14x + sin16x sin14x = 0

14x = πk; k є z x = ; k є zт. к. sinx ≠ 0 x ≠ πk; k є z k ≠ 14n; где n, k є z

Ответ: x = ; k ≠ 14n; n, k є z.

б) cosx + cos3x = (

Решение: умножим обе части уравнения на sinx sinx≠0 x≠πn; n є z

Имеем: sinx·cosx + sinx·cos3x = (sinx

( (2sinx·cosx) + sinx·cosx = (sinx

(sin2x + sinx·cos3x = (sinx

Используя формулу cosα·sinß = ( (sin(ß-α)+sin(ß+α)) получаем:

(sin2x + (sin4x - (sin2x = (sinx

( (sin4x – sinx) = 0

При помощи формулы разности синусов получаем:

(·2sin ·cos = 0 sin = 0илиcos = 0 x= ; n є zx= + ; k є z n ≠ 3mk ≠ 5t + 2

Ответ: ; n є z; + ; k є z; n, k є z; n ≠ 3m; k ≠ 5t + 2

Пример 2: Возведение в квадрат обеих частей уравнения.

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат

Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Основная схема отбора состоит в следующем: находится наименьший общий период всех тригонометрических функций, входящих в уравнение, на этом периоде отбираются корни. В частности, если период равен 2π, то нужно «обойти» тригонометрический круг.

Проведём отбор корней уравнения , удовлетворяющих условию

(не удовлетворяет условию)

Пример 3:Решение уравнений методом оценки левой и правой части.

cos3x + cos = 2

Решение: т. к. cos3x ≤ 1 и cos ≤ 1, то данное уравнение эквивалентно системе уравнений: cos3x = 1 cos = 1

3x = 2πn; n є z

= 2πk; k є z x = ; x = ;

5πn = 6πk

5n = 6k n = 6; k = 5

Ответ: x = 4πm;

Пример 4: Решение уравнений методом понижения степени.

sin2x+cos2x=

Решение:

(sin²2x)+(cos²2x)=

Используя формулы половинного аргумента, имеем:

Домножим обе части уравнения на 16:

Применяя формулу a + b = (a² + b²)² – 2a²b²

Находим:

- домножаем уравнение на 8

Пусть k= -64

- не удовлетворяет условию

Пример 5: Решение уравнений, содержащих модуль.

Решение:

Получаем совокупность двух смещенных систем:

Ответ: б)

Решение: возведём обе части уравнения в квадрат:

Пример 6: Решение уравнений с параметрами

При каких значениях параметра a уравнение не имеет корней?

Решение:

Оценим значения

Уравнениене имеет корней, если a +5 < -6 a +5 > 10 a < -11 a > 5

Ответ: уравнение не имеет корней при a, принадлежащем промежутку.

Основные принципы и методы решения тригонометрических уравнений, которые мною рассмотрены, носят достаточно общий характер. При решении любого уравнения важно, чтобы была соблюдена верная последовательность всех шагов решения, все тождественные преобразования были выполнены верно, получен правильный ответ. Тригонометрия относится к сложным разделам математики. Углубленное изучение этой темы способствовало расширению кругозора, улучшению навыков решения тригонометрических уравнений.