Нахождение площади трапеции

Отвлекаясь от физических свойств предметов, изучая лишь их размеры, форму и положение, человек пришел к отвлеченным понятиям геометрического тела и геометрической фигуры: линии, точки, прямой, плоскости, отрезка и т. д.

Геометрические фигуры встречаются в самых древних дошедших до нас математических документах: в Московском папирусе, в папирусе Ахмеса и в древневавилонских клинописных текстах, написанных около 4000 лет назад. В этих документах содержатся задачи, в которых выступает на главный план вычисление площадей отдельных фигур.

Общий метод для нахождения площади произвольного многоугольника состоит в том, что его надо разбить на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты. Иногда многоугольник представляют как сумму и разность треугольников.

Трапеция, с моей точки зрения, является идеальной фигурой для демонстрации нахождения площади многоугольника методом разбиения его на треугольники.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Цель моей работы состоит в том, чтобы, используя метод разбиения трапеции на треугольники, доказать различными способами теорему о площади трапеции.

Теорема: Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Доказательство № 1.

ABCD – трапеция, B C

AD = a,

BC = b,

BH – высота,

BH = h.

Доказать:

SABCD = h

Доказательство:

SABCD = SABD + SCDB,

SABCD = ADBH + BCBH,

SABCD = ah + bh,

SABCD = h (a + b),

SABCD = h.

Доказательство № 2.

ABCD – трапеция, B C

BC = b,

BH – высота,

BH = h,

AH = a – b – x,

MD = x.

Доказать:

SABCD = h А H M D

Доказательство:

SABCD = SABH + SBHMC + SMCD,

SBHMC = bh,

SCMD = hx,

SAHB = h (a – b – x),

SABCD = bh + hx +h(a – b – x),

SABCD = bh + hx +ha –hb – hx = h.

Доказательство № 3.

ABCD – трапеция, K B C M

AD = a,

BC = b,

BH – высота,

BH = h, KB = x, CM = y.

Доказать:

SABCD = h

Доказательство:

SABCD = SAKMD - SAKB - SCMD,

SABCD = ah - xh - yh = h(a - x - y) = h(a + a - x - y ) =

= h(a + a (a – x – y)) = h.

Доказательство № 4.

ABCD – трапеция, B C

AD = a,

BC = b,

AK = c,

BH – высота,

BH = h,

Доказать:

SABCD = h A H K D

Доказательство:

BKDC – параллелограмм (по определению),

Значит, KD = BC = b,

SABCD = SABK +SKBCD,

SAHB = AKh + KDh = ch + bh = h(c + b) = h(a - b + b) =

= h(a +b ) = h (a + b) = h.

Доказательство № 5.

ABCD – трапеция,

AD = a,

BC = b,

BH – высота,

BH = h, CK = a – b.

Доказать:

SABCD = h

Доказательство:

SABCD = SABDK - SCKD,

SABCD = ah - (a – b) h = h(a - a + b) = h(a + b) = h.

Доказательство № 6.

ADCD – трапеция, B C

AD = a,

BC = b,

BM – высота, N

BM = h,

N – Середина CD

A M D E

Доказать:

SABCD = h

Доказательство:

1. Дополнительные построения:

Проведем BE через N – середину CD.

2. SABCD = SABND + SBCN,

SABE = SABND + SNDE,

3. BCN = DNE (По II признаку равенства треугольников), т. к.

CN = ND (По условию),

< DNE = < CND (Как вертикальные),

< BCN = < NDE (Как накрестлежащие при BC AE секущей CD),

Значит, SBCN = SDNE (По свойству площадей).

DE = BC = b,

SABCD = SABE (По свойству площадей).

SABE = AEh = (a + b) = h

SABCD = h

Доказательство № 7.

ABCD – трапеция, B C

AD = a,

BH – высота,

BH = h,

Доказать: A H N D

SABCD = h

Доказательство:

1. SABCD = SABN + SBNC + SCND,

2. SABN = ANh,

SBNC = BCh,

SCND = NDh,

3. SABCD = ANh + BCh + NDh = h(AN + BC +ND) = h((AN + ND) +BC) =

= h(AD +BC) = h.

Доказательство № 8.

ABCD – трапеция, B M C

AD = a,

BH – высота,

BH = h,

A H N L D

Доказать:

SABCD = h

Доказательство:

1. SABCD = SABN + SBNM + SNML+ SMLC + SLCD,

2. SABN = ANh,

SBNM = BMh,

SNML = NLh,

SMLC = MCh,

SLCD = LDh,

3. SABCD = ANh + BMh + NLh + MCh + LDh =

= h(AN + BM + NL + MC + LD) = h(a + b) = h

Доказательство № 9.

ABCD – трапеция, N H B C

AD = a,

BC = b,

MH – высота,

MH = h.

Доказать:

SABCD = h M A D

Доказательство:

1. Построим 2 равные трапеции ABCD = MNBA

MNCD – параллелограмм (По признаку).

2. SMNCD = SABCD + SMNBA,

SABCD = с (по условию),

3. SABCD = SMNCD,

4. SMNCD = MDh = (a + b)h,

5. SABCD = h

Доказательство № 10.

K A H D P

ABCD – трапеция,

AD = a,

BC = b,

BH – высота,

BH = h,

AL = LB,

CN = ND.

Доказать:

SABCD = h

Доказательство:

1. Проведем KM через L и MP через N.

2. SABCD = SALMND + SLBM + SMCN,

SKMP = SALMND + SALK + SPND,

3. KLA = BLM (По II признаку), т. к.

BL = LA (По условию),

< KLA = < BLM (как вертикальные),

< KAL = < MBL (как накрестлежащие при BC AD и секущей MK),

4. PND = CNM (По II признаку), т. к.

CN = ND (По условию),

< PND = < CNM (как вертикальные),

< NDP = < MCN (как накрестлежащие при BC KP и секущей CD),

Значит, SPND = SCNM (по свойству площадей),

5. SABCD = SKMP (по свойству площадей),

6. SKMP = KPh,

KP = AK + AD + DP,

AK = BM,

По доказанному выше.

DP = MC,

KP = AD + (BM + MC) = AD + BC,

SKMP = SABCD = h

Доказательство № 11.

ABCD – трапеция, F B C L

AD = a,

BC = b,

BH = h,

BH – высота,

AM = MB, M K

CK = KD.

Доказать:

SABCD = h A P H N D

Доказательство:

1. Проведем PF через M и LN через K,

PFLN – прямоугольник,

2. SPFLN = PNLN,

SPFLN = SMFB + SPMBCKN + SCLK,

SABCD = SAMP + SPMBCKN + SKND,

3. AMP и FMB – прямоугольные

AMP = FMB (по гипотенузе и острому углу), т. к. AM = MB (по условию).

< FMB = < AMP (как вертикальные).

Значит, SAMP = SFMB (по свойству площадей).

4. NKD и LKC – прямоугольные

NKD = LKC (по гипотенузе и острому углу), т. к. KD = CK (по условию).

< CKL = < NKD (как вертикальные).

Значит, SNKD = SLKC (по свойству площадей).

5. SABCD = SPFLN (по свойству площадей).

6. Пусть FB = x, тогда AP = x, CL = y, тогда ND = y.

7. SPFLN = FLPF,

FL = b + x + y = b + (x + y);

FL = a – (x + y).

Значит, b + (x + y) = a – (x + y);

(x + y) + (x + y) = a – b;

2 (x + y) = a – b; x + y =.

8. SPFLN= SABCD = (b +)h = h = h.

Доказательство № 12.

K B C M

ABCD – трапеция,

AD = a,

BC = b,

BH – высота,

BH = h,

KX = x,

CM = y.

Доказать:

SABCD = h

Доказательство:

1. Построим 2 равные трапеции вместе рядом.

2. SAPLD = SABCD + SPBLC + SABP + SDCL,

Т. к. ABCD = PBCL (по построению),

То SABCD = SPBCL (по свойству площадей).

3. SAPLD = 2SABCD + SABP + SDCL,

SABCD = (SAPLD - SABP - SDCL),

SAPLD = 2ah,

4. SABCD = DLCM = 2hy = hy,

5. SABP = APKB = 2hx = hx,

6. SABCD = = = = h

Итак, используя метод для нахождения площади произвольного многоугольника, состощий в разбиении на треугольники, я доказал теорему о площади трапеции двенадцатью различными способами.

Первый способ заключается в разбиении трапеции на два треугольника.

Второй способ – в разбиении трапеции на два прямоугольных треугольника и треугольник.

Третий способ заключается в достраивании трапеции до прямоугольника.

Четвертый способ – в разбиении трапеции на параллелограмм и треугольники.

Пятый способ – в достраивании трапеции до параллелограмма.

Шестой способ – в построении треугольника, площадь которого равна площади трапеции.

Седьмой способ – в разбиении трапеции на три треугольника.

Восьмой способ – в разбиении трапеции на пять треугольников.

Девятый способ – в достраивании трапеции до параллелограмма путем построения двух равных трапеций.

Десятый способ – в построении треугольника, площадь которого равна площади трапеции.

Одиннадцатый способ – в построении прямоугольника, площадь которого равна площади трапеции.

Двенадцатый способ – в построении равной трапеции и достраивании 2х равных трапеций до прямоугольника.