Модуль числа
В школьном курсе математики для шестого класса имеется тема «Противоположные числа модуль», где рассматриваются упражнения, содержащие знак абсолютной величины. В данную работу включен материал, рассчитанный для рассмотрения в шестом классе на уроках или факультативных занятиях.
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера». Это многозначное слово (омоним), которое имеет множество значений и применяется не только в математике, но и в архитектуре, физике, технике, программировании и других точных науках. В математике модуль имеет несколько значений, но в данной исследовательской работе модуль рассматривается как абсолютная величина числа, равная расстоянию от начала отсчета до точки на числовой прямой. Рассматриваемые в настоящей работе примеры, содержащие знак модуля, а также решения уравнений и неравенств, содержащих модули в школьной программе изучается недостаточно, но предлагается на школьных экзаменах и на вступительных экзаменах в вузы. Поэтому актуальность темы исследования обусловлена этими факторами.
Цель исследования – изучать теоретические основы и дать некоторые рекомендации к решению уравнений и неравенств, содержащих модули.
Понятие модуля рационального числа
Число, которое отличается от данного только знаком, называется противоположным данному. Например: -4 и 4. Единственность числа, противоположного к данному, позволяет ввести для противоположного числа специальный символ. Число, противоположное к а, обозначается символом -а. Взаимно противоположные числа расположены на координатной прямой по разные стороны от 0 на одинаковом расстоянии от него. Например: числа -2 и 2 оба расположены на расстоянии 2 единиц от 0.
2 единицы 2единицы
Расстояние от начала отсчета до точки, обозначающей данное число, называется модулем этого числа. Иногда вместо «модуль» говорят абсолютная величина. Модуль числа а обозначается символом.
1. Противоположные числа находятся на одинаковом расстоянии от начала отсчёта, то их модули равны:
2. Модуль числа 0 считается равным 0: это число находится на «нулевом расстоянии» от самого себя:
3. Как и любое расстояние между двумя точками, модуль не может быть отрицательным. Значит, для любого числа а выполняется неравенство:
Но геометрическое определение бывает не всегда удобно. Сформирую то же самое определение в буквенном виде. Я заметила, что модуль положительного числа а – само число, модуль отрицательного числа – противоположное ему число –а, модуль числа 0 – само число 0. Наглядно эту ситуацию можно представить в виде блок-схемы:
Модулем (абсолютной величиной) рационального числа a называется само это число, если а ≥ 0, и противоположное число -а, если а < 0. Модуль числа a обозначается a. Итак,
Например: , так как 2>0
, так как -3<0
Формула расстояния между двумя точками на координатной прямой
Если a и b - две точки на координатной прямой, то расстояние между ними p(a; b) выражается формулой p(a; b)=a − b. Ясно, что p(a; b)= p(b; a). Например, p (− 2; 5) = − 7= − (− 7) = 7.
Примеры, содержащие знак модуля
Пример 1 Отметить числа на координатной прямой, если известно, что:
1. а>0; b<0; ;
Решение: Расстояние от 0 до а должно быть больше расстояния от 0 до b.
b a b 0 a
2. a<0; b>0; ;
Решение: Расстояние от 0 до а должно быть меньше расстояния от 0 до b.
Пример 2 Определи, истинно или ложно высказывание. Если высказывание ложно, то построй его отрицание
Ответ: Высказывание ложно. Отрицание:
Пример 3 Найди модули чисел и напиши соответствующие равенства. Расположи числа в порядке возрастания модулей, и вы узнаете город, в котором я живу.
-600; +24,6; -105,03 +59,5; -234; +79,9; -10,01. -172 -0,75
Ответ: Советский.
Пример 4. Выполните действия и вы узнаете мою фамилию:
Уравнения с модулем
Пример 5. Решите уравнение: =5
Решение.
Пользуясь понятием «расстояние», =5 означает расстояние от 0 до х равно 5. Значит, х = 5; х = -5 5 5
Ответ: 5 и -5
Пример 6. Решите уравнение: = -3
Решение: Расстояние не может быть отрицательным
Ответ: Нет решений.
Пример 7. Решите уравнение =5
Решение:
Чтобы решить уравнение, содержащее переменную под знаком модуля, надо освободиться от знака модуля, используя его определение:
Для этого:
1. находятся критические точки, т. е. значения переменной, при которых выражения, стоящие под знаком модуля, обращаются в нуль;
2. разбивают область допустимых значений переменной на промежутки, на каждом из которых выражения, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак;
3. на каждом из найденных промежутков решают уравнение без знака модуля.
4. Совокупность (объединение) решений указанных промежутков и составляет все решения рассматриваемого уравнения.
Покажем это на примере:
Критическая точка находится после решения уравнения: х+1=0, откуда х = -1
1. При х< - 1, получаем уравнение -(х+1)=5, х+1= -5 х = -6. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.
2. При х -1, получаем уравнение: х+1=5, откуда х=4. Найденное значение входит в рассматриваемый промежуток.
Ответ: -6 и 4
Неравенства с модулем
I. Рассмотрим неравенства, которые решаются с помощью понятия «расстояние».
Пример 8. Найдите множество целых чисел, удовлетворяющих неравенству: а) <3
Решение: Расстояние от 0 до х меньше 3.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Ответ: б) 2< <5
Решение: Расстояние от 0 до х меньше 5, но больше 2.
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
Ответ:.
II. Рассмотрим неравенства, содержащие переменную под знаком модуля. Решения неравенств находится аналогично решению уравнений подобного рода Рассмотрим это на примере.
Пример 9. Решить неравенство x + 4 ≥ 1.
Решение.
1) Критическая точка находится решением уравнения x + 4 = 0, откуда x = − 4.
2) Рассмотрим промежуток x < − 4. На нем исходное неравенство принимает вид −( x + 4) ≥ 1.
Решая это неравенство, найдем x ≤ − 5. Так как x < − 4 и x ≤ − 5, то решением исходного неравенства будет промежуток x ≤ − 5
3) Рассмотрим промежуток x > − 4. На нем исходное неравенство принимает вид x + 4 ≥ 1, откуда x ≥ − 3.
Так как x > − 4 и x ≥ − 3, то решением исходного неравенства будет промежуток x ≥ − 3.
4) Учитывая случаи 2) и 3), окончательно имеем x ≤ − 5 и x ≥ − 3.
Ответ. x ≤ − 5 и x ≥ − 3.
7. Уравнения с параметром.
а) Решить в зависимости от а уравнение: x+3 = a
Решение.
1. Рассмотрим случай, когда а<0. Как и любое расстояние между двумя точками, модуль не может быть отрицательным. Для любого числа а выполняется неравенство:
Значит, уравнение не имеет решений.
2. Рассмотрим случай, когда а = 0. Тогда получим уравнение x+3 = 0. Используя определение модуля числа , решим уравнение х+3=0 Значит, х= -3.
3. Рассмотрим случай, когда а > 0. Также используя определение модуля числа, получим два уравнения: x+3 = а и x+3 = - а. Тогда, х = а – 3 и х = - а – 3
Ответ: при a < 0 уравнение не имеет решений.
при a = 0 x = - 3.
при a > 0 x = а – 3, x = - а – 3.
Приложение
Числа всякие нужны,
Числа всякие важны.
Научитесь вы ребята
Их сложить и вычитать,
Разделить и умножать,
И их модули вычислять!
Комментарии