Многочлены и уравнения высших порядков

Математика воспитывает в человеке интеллектуальную честность , объективность , стремление к постижению истины , а также способность к эстетическому восприятию мира , красоте интеллектуальных достижений , познание радости человеческого труда. (Дагодькина Н.) Человечеству предстоит решать столь трудные проблемы , что без широкого слоя образованных и культурных людей не справиться ,поэтому каждый человек должен быть заинтересован в приобретении новых знаний

Многие великие математики работали над этой важной темой. Азарт решить , стремление достичь цели становилось и становится всепоглощающей. Теория многочленов и уравнений высших порядков занимает важное место в алгебре и математике в целом. Многие задания математических олимпиад содержат многочлены и уравнения.

Уравнения высших степеней , решаются с помощью формул, элементарных функций, а так же с помощью схемы Горнера и теоремы Безу.

В учебниках мы знакомимся с многочленами , действиями над ними , разложениями многочленов , с несколькими видами уравнений, и отрабатываем решение по формулам. Вместе с тем, современные научно – методические исследования показывают, что использование разнообразных методов и способов позволяет значительно повысить познавательный интерес и эффективность изучения многочленов и решений уравнений высших степеней.

Каждый ученик должен уметь верно и рационально выполнять действия над многочленами и решать уравнения высших порядков. Так как в некоторых случаях можно их решать с помощью схем , только для этого необходимо помнить алгоритм составления схем и его применение Это может пригодиться на экзамене ЕГЭ , при поступлении в ВУЗы.

Таким образом, возникает необходимость изучения этих дополнительных способов решения. Все сказанное выше определяет актуальность темы выполненной работы.

Проблема исследования заключается в умении решать сложные уравнения используя схему Горнера , теорему Безу и различные методы.

Цель работы состоит в изучении теоретических основ и их практическое применение.

Объект исследования. Организация применения схемы Горнера и теоремы Безу для решении уравнений при изучение математики в школе.

Предмет исследования уравнения высших порядков.

ЗАДАЧИ СТАТЬИ

1. Произвести анализ учебно – методической литературы по решению уравнений высших степеней.

2. Произвести анализ схемы Горнера и теоремы Безу при решении уравнений высших степеней

3. Изучить схему Горнера и теорему Безу при решении уравнений высших степеней и апробировать материал на практике.

Многочленом (полиномом) n-й степени относительно переменной величины х называется выражением вида

P(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + + an-1x + an, где n – неотрицательное целое число; a0, a1, a2, , an-1, an – коэффициенты многочлена, причем коэффициент a0, называемый старшим коэффициентом, считается не равным нулю.

Особое место в теории многочленов занимает деление одного многочлена на другой. С делимостью многочленов тесно связано решение алгебраических уравнений высших степеней. Рассмотрим на примере способ деления уголком.

делимое

10х2 – 7х – 12 5х + 4 - делитель

10х2 + 8х 2х – 3 - частное

-15х – 12 - первый остаток

-15х – 12

0 - остаток

Остаток равен нулю, поэтому многочлен Р(х) разделился на многочлен Q(x) нацело.

Вообще, если многочлен Р(х) степени n ≥ 1 делится нацело на нулевой многочлен Q(x), и в результате деления получается многочлен М(х), то справедливо тождественное равенство

Р(х) = М(х) • Q(x).

Это равенство называют формулой деления многочленов. Рассмотрим следующий пример:

3х4 + 2х2 – 1 х2 + х

3х4 + 3х2 3х2 – 3х + 5

3х3 + 2х2 – 1

3х3 – 3х2

5х2 – 1

5х2 + 5х

-5х – 1

Итак, чтобы разделить многочлен Р(х) на многочлен Q(x), нужно;

1. разложить делимое и делитель по убывающим степеням х;

2. разделить старший член делимого на старший член делителя; полученный одночлен сделать первым членом частного;

3. первый член частного разделить на делитель, результат вычисть из делимого; полученная разность является первым остатком;

4. чтобы получить следующий член частного, нужно с первым остатком поступить так, как поступили с белимым и делителем в пунктах 2 и 3.

Это следует продолжать до тех пор, пока не будет получен остаток, степень которого меньше степени делителя. (Колягин Ю. №5-c. 27)

Английский математик Вильям Джордж Горнер (1786-1837) изобрел простую схему деления многочлена на двучлен x + b. Посмотрим, как работает эта схема при делении многочлена из примера.

2 0 -3 5

4 2 8 29 121

Р(х) = (х – 4)(2х2 + 8х + 29) + 121.

В первой строке этой схемы записаны последовательно коэффициенты многочлена Р(х), начиная с первого.

Слева, в нижней строке стоит число b, а далее записаны коэффициенты многочлена - частного и остаток.

Вычисления по схеме Горнера проходят так:

1. под первым коэффициентом делимого a0 (в нашем случае a0=2) пишется еще раз этот коэффициент;

2. под коэффициентом делимого a1 (в нашем случае 0) пишется число b1 = a0b + a1 (в нашем случае 8 = 2 ∙ 4 + 0);

3. под коэффициентом а2 (в нашем случае -3) пишется число b2 = b1b + а2 (в нашем случае 29 = 8 ∙ 4 – 3); под коэффициентом а3 (в нашем случае 5 – свободный член) пишется число b3 = b2b + а3 (в нашем случае 121 = 29 ∙ 4 + 5); b3= R – остаток.

Теорема Безу: Остаток от деления многочлена Р(х) на двучлен х – а равен значению этого многочлена при х = а:

Р(а) = R.

Доказательство. Запишем формулу деления многочленов с остатком:

Р(х) = (х – а)Q(х) + R.

Заметим, что остаток R не содержит х, так как делитель х – а – многочлен первой степени. При х = а из равенства получаем

Р(а) = (а – а)Q(а) + R или Р(а) = 0 ∙ Q(а) + R, то есть R = Р(а).

Разложение многочленов будет необходимо при решении уравнений.

Уравнение вида axn + a xn-1 + + + а1 x + a,=0, где a , а1, ,, a- действительные числа ( коэффициенты ), п-натуральное число , а х – искомая неизвестная величина , при a≠0 уравнение называется алгебраическим уравнением п-го порядка

Алгоритм решения

• при п=1 –линейное уравнение

• при п=2 – квадратное

• при п=3 уравнение третьего порядка

• при п=4 уравнение четвертого порядка

• при п>5 уравнение высших порядков

Абель Н. Х. доказал ,что не существует единой формулы , которая бы выражала корни любого алгебраического уравнения п –го порядка через его коэффициенты при помощи конечного количества арифметических операций.

Существует несколько методов решения алгебраических уравнений

• метод разложения на множители

• метод подстановки

• метод строгой монотонности

• метод сравнения множеств значений

• метод перебора и др.

Хотелось рассказать о методе перебора ,так как я считаю он удобен и доступен

Пример х³ + 9х² + 11х – 21 = 0.

Все коэффициенты данного уравнения целые, при чем n = 3 и а= 1. Поэтому достаточно проверить только делители свободного члена а = -21. Число -21 имеет 8 (целых) делителей: ±1, ±3, ±7, ±21.

Поочередно перебираем данные делители подставляя в уравнение Из них уравнению удовлетворяют х = -7, х = -3, х = 1. Поскольку у кубического уравнения не может быть более трех корней, найдены все корни.

{-7; -3; 1}.

Проведя эксперимент в 9 классе , я убедился ,что этот метод перебора дает возможность даже слабым учащимся решать такие сложные уравнения

Второй эксперимент в 7 классе показал , что учащиеся с большим желанием освоили этот метод перебора и настолько заинтересовались , что просили дать такие уравнения для решения на дом.

В результате выполнения работы «Многочлены и уравнения высших степеней» , можно сделать следующие выводы :

1) Изучение научно-методической литературы, опыт учителей показали, что использование Схемы Горнера , теоремы Безу и различные методы вычисления Уравнений высших степеней в школе является важным и интересным при обучении математики.

2) Изучение уравнений высших степеней на различных этапах изучения определенного по характеру математического материала является эффективным средством математической активизации учебной деятельности школьников , положительно влияющих на повышение качества знаний, умений и навыков учащихся, развитие умственной деятельности.

3) Основным при решении уравнений высших степеней является желание изучить углубленнее математический материал.

4)Работа над темой дала мне возможность коснуться изучения высшей математики , что в будущем мне будет необходимо.

И в заключении хотелось бы сказать , что если изучить эту тему глубже , то можно понять на сколько она важна, интересна и понятна для восприятия. Появляется желание найти окончательное правильное решение.

Развивается заинтересованность к самоусовершенствованию и я думаю , что люди которые постоянно работают над собой становятся достойными гражданами России.