Признаки делимости

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

Д. Пойа

В настоящее время традиционный взгляд на содержание курса математики, ее роль и место в общем образовании учащихся пересматривается. Компьютеризация общества, внедрение современных информационных технологий требуют математической грамотности человека буквально во всем. Это и конкретные математические знания, и определенный стиль мышления, вырабатываемый математикой.

Еще в древности одним из важнейших достоинств человека считали владение математическими знаниями. В Индии, например, только тот юноша считался подготовленным к жизни, кто овладевал искусством решения задач, физических упражнений и стихосложений.

Казалось бы, в математике все изучено и доказано давно. Но мир не стоит на месте, а, значит, даже хорошо знакомые темы математики предстают, меняются по-новому.

Сегодняшнему школьнику предстоит сдавать Единый Государственный Экзамен, который требует прочной математической базы знаний, предусматривает решение учащимися интересных, нестандартных задач из курса алгебры, геометрии. Я уверена, что на экзамене может присутствовать задачи, связанные с моей темой. Но, к сожалению, в школьной программе совсем мало времени уделяется столь интересной теме. Следовательно, тема «Признаки делимости», выбранная мною для исследования, является актуальной, так как представляет широкое поле деятельности, неординарный подход, много вариантов в поисках решений.

О происхождении математики

Математика, как и все другие науки, возникла из потребностей практической деятельности человека. На очень ранней ступени развития у человека возникла необходимость подсчитать количество добычи или урожая, измерять земельные участки, определять вместимость сосудов, вести счет времени. Для удовлетворения этих практических потребностей возникли примитивные способы счета и измерения, т. е. начала арифметики и геометрии.

При дальнейшем развитии общества усложнялась практическая деятельность человека, а вместе с ней росли потребности в усовершенствованных приемах счета и измерений. Первоначальный счет по пальцам и измерения при помощи размеров частей человеческого тела (пядь, локоть) не могли удовлетворять потребностям жизни. Возникла необходимость в более быстрых и более точных приемах счета и измерений. Продолжительный опыт привел человека к установлению некоторых общих правил, дающих возможность при счете конкретных предметов не прибегать в каждом отдельном случае к непосредственному перечислению и перекладыванию этих предметов. Постепенно человек приобрел способность отвлечения, абстрагирования от конкретного счета.

Определение простых чисел

Интерес к изучению простых чисел у людей возник в глубокой древности. И вызван был он не только практической необходимостью. Привлекала их необычайная магическая сила. Числа, которыми можно было выразить количество предметов. Неожиданные и в то же время естественные свойства натуральных чисел, обнаруженные древними математиками, удивляли их своей замечательной красотой и вдохновляли их на новые исследования.

Должно быть. Одним из первых свойств чисел, открытых человеком, было то, что многие из них были разложены на два или более множителя, например

6 = 2 · 3 9 = 3 · 3 30 =2 · 15 =3 · 10

Простым называется число, которое делится только само на себя или на единицу.

Единица, имеет только один делитель, а к простым числам не относится. Не относится она и к составным числам. Единица занимает особое положение в числовом ряду. Пифагорейцы учили, что единица- матерь всех чисел, дух, из которого происходит весь видимый мир, она есть разум, добро, гармония.

В Казанском университете профессор Никольский с помощью единицы пытался доказать о существовании Бога. Он говорил: « Как не может быть числа без единицы, так и Вселенная не может существовать без единого Владыки».

Единица и в самом деле – число уникальное по свойствам: она делится сама на себя и любое число на неё делится без остатка – любая её степень равна тому же самому числу – единице!

После деление любого числа на единицу число не изменится, а поделить любое число на само себя получится опять же единица! Не удивительно ли это? Поразмыслив над этим, Эйлер заявил: «Нужно исключить единицу из последовательности простых чисел, она не является ни простым, ни составным».

Это было уже важное упорядочивание в темном и сложном вопросе о простых числах.

Простые и составные числа

Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно делится только на 1 и на само себя. Натуральное число называется составным, если оно имеет более двух различных делителей.

Принято считать, что единица не относится ни к простым, ни к составным числам.

Отсюда следует, что множество натуральных чисел можно разделить на такие три подмножества: множество простых чисел, множество составных чисел и множество, содержащее единичный элемент 1.

Справедлива следующая теорема.

Любое натуральное число, большее 1, можно и притом единичным образом представить в виде произведения простых чисел.

Заслуги Эйлера

Эйлер, как и многие его предшественники, искал магическую формулу, которая позволяла бы выделить простые числа из бесконечного множества чисел натурального ряда, т. е. из всех чисел, какие можно себе представить. Эйлер написал более ста сочинений по теории чисел.

Доказано, например, что число простых чисел неограниченно, т. е. : 1) нет самого большого простого числа; 2) нет последнего простого числа, после которого все числа были бы составными. Первое доказательство этого положения принадлежит ученым Древней Греции (5 – 3 вв. до н. э. ), второе доказательство – Эйлеру (1708 – 1783).

Простые числа Мерсенна

В течение нескольких столетий шла погоня за простыми числами. Многие математики боролись за честь стать открывателями самого большого из известных простых чисел.

Простые числа Мерсенна являются простыми числами специального вида

Мр = 2p – 1, где р – другое простое число.

Эти числа вошли в математику давно, они появляются ещё в евклидовых размышлениях о современных числах. Свое название они получили в честь французского монаха Марена Мерсенна (1589 – 1648), который долго занимался проблемой современных чисел.

Если вычислять числа по этой формуле, то получим:

M2 = 22 – 1 = 3 – простое;

М3 = 23 – 1 = 7 – простое;

М5 = 25 – 1 = 31 – простое;

М7 = 27 – 1 = 127 – простое;

М11 = 211 – 1 = 2089 = 23 · 89.

Общий способ нахождения больших простых чисел Мерсенна состоит в проверки всех чисел Мр для различных простых чисел р.

Эти числа очень быстро увеличиваются и столь же быстро увеличиваются затраты труда для их нахождения.

В исследовании чисел Мерсена можно выделить раннюю стадию, достигшую своей кульминации в 1750г. , когда Эйлер установил, что число М является простым числом. К тому времени было найдено восемь простых чисел Мерсена: p = 2, p = 3, p = 5, p = 7, p = 13, p = 17, p = 19, p = 31.

Эйлерово число М оставалось самым большим из известных простых чисел более ста лет.

В 1876г. Французский математик Лукас установил, что огромное число М127 – с 39 цифрами. 12 простых чисел Мерсена были вычислены с помощью только карандаша и бумаги, а для вычисления следующих уже использовались механические настольные счетные машины.

Появление вычислительных машин с электрическим приводом позволило продолжить поиск, доведя их до р = 257.

Однако результаты были неутешительными, среди них не оказалось простых чисел Мерсена.

Простые числа Ферма

Существует ещё один тип простых чисел с большой и интересной историей. Они были впервые введены французским юристом Пьером Ферма (1601 – 1665), который прославился своими выдающимися математическими работами.

Первыми простыми числами Ферма были числа, которые удовлетворяли формуле Fn = 22n + 1.

F0 = 220 + 1 = 3;

F1 = 221 + 1 = 5;

F2 = 222 + 1 = 17;

F3 = 223 + 1 = 257;

F4 = 224 + 1 = 65537.

Однако это предположение было сдано в архив неоправдавшихся математических гипотез, но после того, как Леонард Эйлер сделал ещё один шаг и показал, что следующее число Ферма F5 = 641 · 67 000417 является составным.

Четные и нечетные числа

Современный человек уже в ранние годы жизни легко приобретает способность считать, называя числа один, два, три, четыре и т. д. Этот числовой ряд мы называем натуральным, элементы его – натуральными числами.

Обычно четные и нечетные числа связывают только с натуральными числами. Здесь распространим их на любые целые числа. Целое число называется четным, если оно делится на 2, и нечетным, если на 2 не делится.

Например, число 6 – четное, число 0 – четное, 5 – нечетное, число 1 – тоже.

Любое четное число можно представить в виде 2а, а любое нечетное – в виде 2а + 1 (или 2а – 1), где число а – целое.

Деление чисел на четные и нечетные приписывается пифагорейцам. Платон заявлял: «Арифметика есть учение о четных и нечетных числах». Различие этих двух видов чисел имеется уже у египтян (1850 – 1700 до н. э. )

Два числа называются числами одинаковой четности, если они оба четны или оба нечетны. Два числа называются числами разной четности, если одно из них четно, а другое - нечетно.

Рассмотрим свойства четных и нечетных чисел, важные для решения задач.

1. Если хотя бы один множитель произведения двух (или нескольких) чисел четен, то и все произведение четно.

2. Если каждый множитель произведения двух (или нескольких) чисел нечетен, то и произведение нечетно.

3. Сумма любого количества четных чисел есть число четное.

4. Сумма четного и нечетного чисел есть число нечетное.

5. Сумма любого количества нечетных чисел есть число четное, если число слагаемых четно, и нечетно, если число слагаемых нечетно.

Как убедиться в справедливости этих свойств? Например, для свойства 4 это можно сделать так:

2а + (2b + 1) = (2a + 2b) + 1.

Но число 2а + 2b - четно, сумма двух четных чисел (свойство 3), а тогда вся сумма есть число нечетное, так как на 2 не делится.

Признаки делимости

Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка.

Вспомним известное из школьного курса математики определение: говорят, что целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует такое целое число т, что a = bm.

Число а называется делимым, число b – делителем, число т – частным.

В этом случае говорят, что число a кратно числу b.

Тот факт, что число а делится на число b, будем обозначать так: a: b.

А теперь вспомним признаки делимости натуральных чисел, а также добавим к ним некоторые новые.

Признак делимости на 10: для того чтобы некоторое число делилось на 10, необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра этого числа была равна нулю.

Например, число 567890 делится на 10, а число 123456 не делится.

Признак делимости на 5: для того чтобы число делилось на 5, необходимо и достаточно, чтобы последняя была 0 или 5.

Признак делимости на 2: необходимо и достаточно, чтобы последняя цифра была четной.

Похожим образом формулируются признаки делимости на 100, на 4, на 25.

Признак делимости на 3: для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 9: для того чтобы число делилось на 9, необходимо и достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на 9.

Признак делимости на 11: для того чтобы число делилось на 11, необходимо и достаточно, чтобы разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делилась на 11.

Признак делимости на 15: для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т. е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 6: для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т. е. чтобы его последняя цифра была четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Свойства делимости, связанные с теоремой Ферма

Рассмотрим некоторые свойства делимости целых чисел, которые нам понадобятся в дальнейшем.

1. Если целые числа а и b делятся на целое число с, то их сумма и разность делятся на с.

Это свойство можно обобщить на сумму любого количества целых чисел, причем допускается, что в сумме перед некоторыми числами вместо знак плюс стоит минус.

2. Если в сумме нескольких чисел все слагаемые, кроме одного числа, делятся на целое число b, а это слагаемое не делится на b, то вся сумма не делится на b.

3. Если целое число а делится на целое число b, аb делится на целое число с, то а делится на с.

4. Если целое число а делится на целое число b, то при любом целом произведение а делится на b.

5. Если целое число а делится на целое число k , целое число b делится на целое число п, то произведение аb делится на произведение kп.

6. Если произведение нескольких целых чисел делится на простое число, то, по меньшей мере, одно из этих чисел делится на простое число.

7. Если целое число а делится на каждое из двух взаимно простых и натуральных чисел ,b и с, то а делится на произведение bс.

Как эти свойства доказать? Докажем, например, первое свойство.

Так как a и b делятся на число с, то существует такие целые числа k и n, что a = ck, b = cn.

Сложим и вычтем почленно записанные равенства: a + b = ck + cn = c (k + n), a – b = ck – cn = c (k – n).

Отсюда и следует, что сумма a + b и разность a – b делятся на c.

8. Свойства делимости, связанные с разложением выражений ап + bn на множители

Мы с вами знакомы с формулами разности квадратов, суммы и разности кубов двух чисел. А как, например, выглядит формула суммы пятых степеней двух чисел? Главное, какие общие формулы стоят за тремя перечисленными?

Справедливы следующие тождества: an – bn = (a – b) (an – 1+ an – 2b + an – 3b2 +. + bn – 1) (n є N) (1) an + bn = (a+ b) (an – 1 – an – 2b + an – 3b2 - + bn – 1) (n є N, n – нечетно) (2) an – bn = (a + b) (an – 1 – an – 2b + an – 3b2 - - bn – 1) (n є N, n – четно) (3)

Формула (1) является обобщением формул разности квадратов и разности кубов, формула (2) – обобщением формулы суммы квадратов, наконец, формула (3) – формулы разности квадратов.

Полезно знать, что сумма, стоящая во вторых скобках в правой части каждой из формул (1), (2) и (3), содержит п слагаемых, так как при переходе от каждого слагаемого суммы к следующему показателю буквы b пробегает п значений – от 0 до п – 1.

Как доказать эти формулы? Докажем, например, формулу (1).

Для этой цели перемножим суммы в скобках в правой части формулы:

(a – b)(an – 1 + an – 2b + an – 3b2 + + bn – 1) =

= an + an – 1b + an – 2b2 + + abn – 1 – an – 2b2 - - abn – 1 – bn = an – bn.

Формулы (1) – (3) широко используются в алгебре. Здесь мы ограничимся только их применениями к задачам на делимость.

При решении задач эти тождества обычно используются не в полном объёме, а в более слабой формуле. Пусть n – натуральное, a и b – целые числа. Тогда из тождеств (1) – (2) следует, что:

1. разность ап – bп делится на разность а – b оснований степени (а ? b).

2. При нечетном п сумма ап + bп делится на сумму а + b оснований степени (а? – b).

3. При четном п разность ап – bп делится на сумму а + b оснований степени (а? – b).

Метод математической индукции

Слово индукция в переводе на русский язык означает «наведение», а индуктивным называют выводы, сделанные на основе наблюдений и опытов, т. е. полученные путем рассмотрения частных случаев и последующего распространения замеченных закономерностей на обычный случай.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делают дальнейшие умозаключения. В математике индукция часто позволяет угадать формулировки теорем, а в ряде случаев и наметить путь доказательства.

Метод перебора конечного числа случаев, исчерпывающих все возможности, называется полной индукцией. Он используется в математике довольно часто.

Иногда общий результат удается угадать после рассмотрения не всех, а достаточно большого числа частных случаев – это так называемая неполная индукция. Результат, полученный неполной математической индукцией, остается, однако, лишь гипотезой, пока он не доказан точным математическим рассуждением. Иными словами, неполная математическая индукция в математике не считается методом строго доказательства, но является мощным эвристическим методом открытия новых истин.

Полная индукция имеет в математике ограниченное применение. Многие интересные математические предположения охватывают бесконечное множество частных случаев, а провести проверку для бесконечного множества случаев человек не может (примером такого предположения служит любое утверждение, относящееся ко всем натуральным числам).

Во многих случаях выход из этого затруднения находится в обращении к особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции.

Доказательство по методу математической индукции проводится следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется при п = 1. Эту часть доказательства называют базисом индукции. Если при п = 1 предположение истинно, то переходят ко второй части доказательства, называемой индукционным шагом. В этой части доказывается справедливость утверждения для п = k + 1 в предположении справедливости утверждения для п = k (предположение индукции).

Задания «Четность и нечетность чисел»

№1. В пятиэтажном доме с четырьмя подъездами подсчитали число жителей на каждом этаже, кроме того, в каждом подъезде. Могут ли все полученные 9 чисел быть нечетными?

Решение:

Обозначим число жителей на этажах соответственно через а1, а2, а3, а4, а5, а число жителей в подъездах – соответственно через b1, b2, b3, b4. Тогда общее число жителей дома можно подсчитать двумя способами – по этажам и по подъездам: a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = b1 + b2 + b4.

Если бы все эти 9 чисел были нечетными, то сумма в левой части записанного равенства была бы нечетной, а сумма в правой части была бы четной. Следовательно, это невозможно.

Ответ: не могут.

№2. Четно или нечетно произведение

(7а + х + 2с + 1)(3а – 5х + 4с + 10), где а, с, х – целые числа.

Решение:

Можно перебирать случае, связанные с четностью или нечетностью чисел а, с, и х (8 случаев!), но проще поступить иначе. Сложим множители:

(7а + х + 2с + 1) + (3а – 5х + 4с + 10) = 10а – 4х + 2с +11

Так как полученная сумма нечетна, то один из множителей данного произведения четен, а другой нечетен. Следовательно, само произведение четно.

Ответ: четно.

№3. Четно или нечетно число 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + + 993?

Решение:

Разность 1 – 2 имеет ту же четность, что и сумма 1 + 2, разность 3 – 4 – ту же четность, что и сумма 3 + 4, и т. д. Поэтому данная сумма имеет ту же четность, что и сумма

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + + 993.

Из 993 слагаемых последней суммы 496 четных и 497 нечетных, следовательно, эта сумма нечетна.

Ответ: нечетно.

№4. В шести коробках лежат шарики: в первой – 1, во второй – 2, в третьей – 3, в четвертой – 4, в пятой – 5, в шестой – 6. За один ход разрешается в любые две коробки прибавить по одному шарику. Можно ли за несколько ходов уровнять количество шариков во всех коробках?

Решение:

Всего шариков в коробках первоначально

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21, а после k ходов их станет 21 + 2k. С другой стороны, общее количество шариков в коробках в тот момент, когда во всех коробках станет шариков поровну, равно 6n, где n – число шариков в одной коробке. Отсюда

21 + 2k = 6n.

Но равенство невозможно при натуральных k и n, так как его правая часть четна, а левая – нечетна.

Ответ: нельзя.

Задания на простые и составные числа

№1. Докажите, что любое число вида а =101010 101

(п нулей, п + 1 единица, п > 1) – составное.

Решение:

Преобразуем число а, учитывая, что всего у него 2п + 1 цифр, а, следовательно, первая единица – разряда 2п: а = 101010 101 = 102п + 102п – 2 + 102п – 4 + + 102 + 1 =

= ——— (102 – 1) (102п + 102п – 2 + + 102 + 1) =

102 – 1

= ——(102п + 2 – 1) = — ((10п + 1)2 – 1) =

= — (10п + 1 + 1) (10п + 1 – 1).

Здесь применилось свойство (1) из 6.

Теперь рассмотрим два случая.

1. Пусть п четно.

Тогда сумма 10п + 1 + 1 делится на 11 (см. 6, третья делимость), причем частное от такого деления больше 1, так как 10п + 1 + > 11; разность 10п + 1 – 1 делится на 9, причем частное также больше 1. Получилось составное число

10п + 1 + 1 10п + 1 – 1 а = ———— · ————.

2. Пусть п нечетно.

В этом случае разность 10п + 1 – 1 делится на 102 – 1 = 99 и частное больше 1, поскольку 10п + 1 – 1 > 99.

3. Задания «Признаки делимость»

№1. Докажите, что остаток деления натурального числа на 3 (на 9) совпадает с остатком от деления суммы его цифр на 3 (на 9).

Решение:

Возьмем четырехзначное число ‘abcd’ и представим следующим образом:

‘abcd’ = 1000a + 100b + 10c + d =

(999a + a) + (99b + b) + (9c + c) + d = (999a + 99b + 9c) + (a + b + c + d).

Число 999a + 99b + 9c делится на 3 и на 9. Поэтому остаток от деления числа ‘abcd’ на 3 и на 9 совпадает с остатком от деления на 3 (на 9) числа а + b + c + d – суммы его цифр.

Хотя доказательство дано для частного случая, когда число четырехзначно, оно носит общий характер, т. е. применимо без существенных изменений к натуральному числу с любым количеством цифр.

№2. К числу 43 приписать слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 45. Найти все решения.

Решение:

Обозначим неизвестные числа через а и b. Тогда четырехзначное число можно записать в таком виде ‘a43b’.

По признаку делимости на 5 b = 0 или b = 5. Рассмотрим оба случая.

1. Пусть b = 0.

Полученное число ‘a430’ делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, равная a + 7, делится на 9.

Отсюда a = 2.

2. Пусть b = 5.

Аналогично находим, что a = 6.

Ответ: четырехзначное число равно 2430 или 6435.

№3. К числу 41 приписать слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное четырехзначное число делилось на 36. Найти все решения.

Решение:

Обозначим неизвестные цифры через x и y. Применим к числу ‘x41y’ признак делимости на 4:

‘1·y’ : 4.

Тогда y = 2 или y = 6. Рассмотрим оба случая.

1. Пусть y = 2.

Получим число ‘x412’. На основании признака делимости на 9

(x + 4 + 1 + 2) : 9, (x + 7) : 9.

Отсюда x = 2.

2. Пусть y = 6. Тогда

‘x416’ : 9, (x + 4 + 1 + 6) : 9, (x + 11) : 9.

Следовательно, x = 7.

Ответ: четырехзначное число равно 2412 или 7416.

№4. Докажите, что делимость натурального числа на 11 равносильна делимости на 11 разности между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах (другими словами – делимости на 11 знакочередующейся суммы его цифр).

Решение:

Возьмем пятизначное число и представим его в следующем виде:

‘abcde’ = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e =

= (9999 + 1) a + (1001 – 1) b + (99 + 1) c + (11 – 1) d + e =

= 9999a + a + 1001b – b + 99c + c + 11d – d + e =

= (9999a + 1001b + 99c + 11d) + (a – b + c – d + e).

Сумма в первых скобках делится на 11, так как ее каждое слагаемое делится на 11. Получаем, что число ‘abcde’ делится на 11 в том и только в том случае, когда сумма во вторых скобках делится на 11. Но эта сумма есть разность между суммой a + c + e цифр числа, стоящих на нечетных местах, и суммой b + d цифр, стоящих на четных местах, или знакочередующаяся сумма a – b + c – d + e всех цифр числа.

Мы провели доказательство признака делимости на 11 для пятизначного числа; примерно оно так же проводится для числа с любым количеством цифр.

Приведем пример к признаку делимости на 11. Число 924385 делится на 11, так как сумма

9 – 2 + 4 – 3 + 8 – 5 = 21 – 10 = 11 делится на 11.

№5. Найти все значения цифры а, если ‘a719’ делится на 11.

Решение:

Делимость этого числа на 11 равносильна делимости на 11 знакочередующейся суммы его цифр а – 7 + 1 – 9 = а – 15.

Разность а – 15 делится на 11 только при а = 4.

Ответ: 4.

№6. Найти все значения цифр а и b, при которых число ‘53ab213’ делится на 99.

Решение:

По условию это число делится на 9 и на 11. Применим признак делимости на 9:

(5 + 3 + a + b + 2 + 1 + 3) : 9, (14 + a + b) : 9, (9 + (5 + a + b)) : 9, (5 + a + b) : 9.

Отсюда a + b = 4 или a + b = 13.

Теперь используем признак делимости на 11:

(5 – 3 + a – b + 2 – 1 + 3) : 11, (6 + a – b) : 11.

Тогда a – b = 5 или a – b = -6.

Казалось бы, здесь нужно комбинировать каждое значение a + b с каждым значением a – b, после чего получаются четыре случая решения. Но можно сэкономить время: вспомним, что сумма и разность любых чисел имеют одинаковую четность, поэтому достаточно рассмотреть два случая.

1. Пусть a + b = 4 a – b = -6.

Складывая уравнения этой системы, найдем а: а = -1. Но последнее невозможно.

2. Пусть a + b = 13 a – b = 5.

Отсюда a = 9, b = 4.

Ответ: a = 9, b = 4.

№7. Найти наименьшее натуральное число, которое записывается одинаковыми цифрами и делится на 18.

Решение:

Обозначим искомое число через ‘аааа’ (n цифр).

Так как оно делится на 18, а следовательно, и на 2, то а – цифра четная.

Применим признак делимости на 9:

(а + а + а + + а) : 9, na : 9.

Поскольку а – четная цифра, то число na четно.

1. Пусть na = 18.

Отсюда минимально возможное значение n есть n = 3, откуда а = 6.

2. Пусть теперь na равно 36, или 54 или 72 и т. д.

Если и здесь взять n = 3, то а соответственно равно 12, 18, 24 и т. д. , а это невозможно. Брать значения n, большие 3, не имеет смысла.

Следовательно, искомым числом является то число, которое получилось в первом случае.

Ответ: 666.

№8. Пятизначное число делится на 72, причем три его цифры – единицы. Найти все такие числа.

Решение:

Обозначим две неизвестные цифры пятизначного числа через х и у. Одна из них, например, у стоит на последнем месте, так как 1 не может быть последней цифрой четного числа.

Применим признак делимости на 9:

(1 + 1 + 1 + х + у) : 9, (3 + х + у) : 9.

Отсюда х + у = 6 или х + у = 15.

Возникает проблема с местом другой неизвестной цифры х: она может занимать первое, второе, третье или четвертое место. Разберем все четыре случая.

1. Пусть цифра х стоит на первом месте в числе. Тогда число принимает вид ‘x111y’.

По признаку делимости на 8 число ‘11y’ делится на 8, откуда у = 2.

Так как х + у = 6 или х + у = 15, то соответственно х = 4 или х = 13. Но вторая возможность отпадает.

2. Пусть цифра х стоит на втором месте.

Рассуждения из первого случая сохраняются и здесь, поэтому у = 2, х = 4.

3. Пусть цифра х занимает третье место. Тогда число имеет вид ‘11x1y’.

По признаку делимости на 8 число ‘x1y’ делится на 8. Преобразуем это трехзначное число:

‘х1у’ = 100х + 10 + у = (8 ·12х + 4х) + (8 + 2) + у = (8 ·12х + 8) + (4х + у + 2) =

(8 ·12х + 8) + (х + у) + (3х + 2)

(здесь выделено слагаемое, равное х + у).

Если х + у = 6, то

(6 + (3х + 2)) : 8, (17 + 3х) : 8, (8 + 3х) : 8, 3х : 8, х : 8.

Следовательно, х = 0 или х = 8. При х = 0 у = 6, а при х = 8 у = -2, что невозможно.

Если х + у = 15, то

(15 + (3х + 2)) : 8, (16 + (3х + 1)) : 8, (3х + 1) : 8.

Тогда х = 5, откуда у = 10, а это также невозможно.

4. Пусть цифра х занимает в числе четвертое место. Число принимает вид ‘111xy’.

Число ‘1xy’ должно делится на 8. Проделаем с ним такие же преобразования, как и в предыдущем случае:

‘1xy’ = 100 + 10х + у = (8 12 + 4) + (8х + 2у) + у = (8 12 + 8х) + (2х + у + 4) =

=(8 12 + 8х) + (х + у) + (х + 4).

Если х + у = 6, то

(6 + х + 4) : 8, (х + 10) : 8, ((х + 2) + 8) : 8, (х + 2) : 8.

Отсюда х = 6, у = 0.

Если х + у = 15, то

(15 + х + 4) : 8, (х + 19) : 8, (х + 3) : 8.

Тогда х = 5, у = 10, а это невозможно.

Ответ: 41112, 14112, 11016, 11160.

№9. Использовав цифры от 1 до 9 по одному разу, составьте наименьшее девятизначное число, делящееся на 11.

Решение:

Сумма всех цифр искомого числа равна

1 + 2 + 3 + + 9 = 45.

Обозначим сумму цифр числа, стоящих на нечетных местах, через S1, а сумму цифр на четных местах – через S2. Тогда S1 + S2 = 45.

Разность S1 – S2 по признаку делимости на 11 делится на 11. Кроме того, она нечетна, поскольку сумма S1 + S2 нечетна, а сумма и разность двух целых чисел имеют одинаковую четность. Следовательно, эта разность может принимать значения 11, -11, 33 и -33. Рассмотрим четыре случая.

1. Пусть S1 – S2 = 11. Из системы уравнений

S1 + S2 = 45

S1 – S2 = 11

Находим, что S1 = 28, S2 = 17.

2. Пусть S1 – S2 = -11.

S1 + S2 = 45

S1 – S2 = -11 откуда S1 = 17, S2 = 28.

3. Пусть S1 – S2 = 33. Из системы уравнений

S1 + S2 = 45

S1 – S2 = 33.

Получаем, что S1 = 39, S2 = 6. Однако равенство S2 = 6 невозможно, так как если эта сумма состоит даже из 4 (а не из 5) слагаемых a, b, c и d, то

S2 = a + b + c + d ≥ 1 + 2 + 3 + 4 >6.

4. Пусть S1 – S2 = -33.

Аналогичным способом устанавливаем, что этот случай также невозможен. Итак, для S1 и S2, остаются только значения 18 и 17 (в том или ином порядке).

Попробуем начать искомое девятизначное число так: 12345; ведь нам требуется наименьшее число, делящееся на 11. Четыре оставшееся цифры обозначим в последовательном порядке через k, l, m и n. Получим число ‘12345klmn’.

Если сумму 1 + 3 + 5 = 9 дополнить с помощью цифр l и n, то l + n = 28 – 9 = 19, что невозможно.

Если сумму 2 + 4 = 6 дополнить до 28 с помощью цифр k и m, то k + m = 22, а это также невозможно.

Следовательно, начать искомое число пятизначным числом 12345 нельзя, так как тогда ни сумма S1, ни сумма S2 не может быть равной 28.

Попробуем начать искомое число четырехзначным числом 1234, а само число обозначим через ‘1234abcde’. Так как 1 + 3 = 4, 2 + 4 = 6,то a + c + e = 28 – 4 = 24, b + d = 17 – 6 = 11 или a + c + e = 17 – 4 = 13, b + d = 28 – 6 = 22.

Но второй вариант сразу отпадает. Остается первый: a + c + e = 24 b + d = 11.

При этом цифры a, b, c, d и e принимают разные значения из множества {5; 6; 7; 8; 9}.

Цифра а должна быть, возможно, меньше. Но значения а = 5, как мы уже видели, невозможно; значения а = 6 – тоже, так как тогда с + е = 18, откуда цифры с и е равны: с = е = 9. Попробуем а = 7. В этом случае с + е = 17 b + d = 11.

Из первого уравнения c = 8, e = 9 (но не с = 9, е = 8), а из второго – b = 5, d = 6.

Ответ: 123475869.

Задания «Свойства делимости»

№1. Докажите, что если сумма a2 + b2, где a и b – целые числа, делится на 3, то каждое из чисел a и b делится на 3.

Решение:

Из делимости a2 + b2 : 3 следует, что числа a и b или оба делятся, и оба не делятся на 3.

Рассмотрим вторую возможность. Тогда каждое из чисел a2 и b2 при делении на 3 дает в остатке 1: a2 = 3k + 1, b2 = 3l + 1, где k и l – целые неотрицательные числа. Сложим эти равенства почленно: a2 + b2 = 3(k + l) + 2.

Получилось, что сумма a2 + b2 не делится на 3. Но это противоречит условию.

Остается первая возможность: числа a и b делятся на 3.

№2. Докажите, что при любом целом а разность а5 – а делится на 5.

Решение:

Разложим данную разность на множители: а5 – а = а (а4 – 1) = а(а2 – 1)(а2 + 1) = а (а – 1)(а + 1)(а2 + 1).

Теперь можно рассмотреть пять случаев: а = 5k, а = 5k + 1, а = 5k + 2, а = 5k + 3, а = 5k + 4 (k є Z), но это длинновато. Давайте посмотрим, нельзя ли здесь получить произведение пяти последовательных чисел – от а – 2 до а + 2? Для этого множить а2 + 1 представим в таком виде: а2 + 1 = (а2 – 4) + 5.

Получаем: а5 – а = а (а – 1)(а + 1)((а2 – 4) + 5) = а (а – 1)(а + 1)(а – 2)(а + 2) + 5а (а – 1)(а + 1).

Первое слагаемое этой делится на 5, как произведение пяти последовательных целых чисел; второе – также делится на 5. Следовательно, и вся сумма, т. е. а5 – а делится на 5.

№3. Докажите, что сумма 9а5 – 5а3 – 4а при любом целом а делится на 15.

Решение:

Нужно доказать, что данная сумма делится на 3 и на 5.

1. Для доказательства делимости суммы на 3 достаточно доказать, что 5а3 + 4а делится на 3 (поскольку 9а5 делится на 3). Имеем:

5а3 + 4а = (5а3 – 5а) + (5а + 4а) = 5(а3 – а) + 9а.

Каждое из слагаемых полученной суммы делится на 3, поэтому и вся сумма делится на 3.

2. Для доказательства делимости исходной суммы на 5 достаточно доказать, что 9а5 – 4а делится на 5. Преобразуем эту разность:

9а5 – 4а = (9а5 – 9а) + (9а – 4а) = 9(а5 – а) + 5а.

Полученная сумма действительно делится на 5.

5. Задания

№1. Докажите, что разность 26п – 7п при любом натуральном п делится на 19.

Решение:

На основании первой делимости эта разность делится на разность основной степени, т. е. на 26 – 7 = 19.

№2. Делится ли разность 1715 – 315 на 4?

Решение:

Разность оснований степени 17 – 3 = 14 делится на 2, но не делится на 4. Это еще не значит, что данная разность 1715 – 315 не делится на 4. Разложим ее на множители, применяя формулу (1):

1715 – 315 = 14 (1714 + 1713·3 + 1712·32 + + 314).

В скобках стоят только нечетные слагаемые. Сколько их? Вспомним, что при разложении на множители разность ап – bп число слагаемых у второго множителя равно 15. Здесь п = 15, поэтому и число слагаемых записанной суммы равно 15. Следовательно, эта сумма нечетна.

Ответ: не делится.

№3. Докажите, что число 2·7п + 1 при любом натуральном п делится на 3.

Решение:

Преобразуем данную сумму следующим образом:

2·7п + 1 = 2·7п + 3 – 2 = 2 (7п – 1) + 3.

Так как разность 7п – 1 делится на 6, а значит и на 3, то и вся сумма делится на 3.

Другой вариант решения: так как разность 7п – 1 делится на 6, то

7п – 1 = 6k, 7п = 6k+ 1 (k ∫ N), откуда

2·7п + 1 = 2 (6k + 1) + 1 = 12k+ 3.

Получилось число, делящееся на 3.

№4. Найти все натуральные п, при которых сумма 2п + 1 делится на 3.

Решение:

Очевидно, подойдут все нечетные п, так как в этом случае сумма 2п + 1 делится на 2 + 1, т. е. на 3. Ну а если п четно?

Пусть п четно: п = 2k (k є N ). Преобразуем данную сумму:

2п + 1 = 22k + 1 = (22k – 1) + (1 + 1) = (4k – 1) + 2.

Поскольку 4k – 1 делится на 3, а 2 – не делится, то вся сумма не делится на 3.

Ответ: при всех нечетных п.

№5. Докажите, что сумма 2п + 2 3п + 5п – 4 при любом натуральном п делится на 25.

Решение:

Преобразуем сумму:

2п + 2 3п + 5п – 4 = 4 2п 3п – 4 + 5п = 4 (6п – 1) + 5п =

= 5 (4 (6п -1 + 6п – 2 + + 6 + 1) + п) = 5 (4 6п – 1 + 4 6п – 2 + + 4 6 + 4 – 4п + 5п) =

= 5 (4 (6п – 1 – 1) + 4 (6п – 2 – 1) + + 4 (6 – 1) + 5п).

(Здесь в ходе выкладок слагаемое п представлено в виде -4п + 5п, затем -4п представлено в виде суммы п слагаемых, каждое из которых равно -4, и выделены разности 4·6п – 1 – 4, 4·6п – 2 – 4, , 4·6 – 4. )

Получилось, что каждое из слагаемых последней суммы, стоящей в скобках, делится на 5. Следовательно, все произведение делится на 25.

№6. Докажите, что сумма 11п + 2 + 122п + 1 при любом натуральном п делится на 133.

Решение:

Преобразуем сумму:

11п + 2 + 122п + 2 = 112·11п + 12·122п = 121·11п + 12·144п.

А теперь обратим внимание, что

121 + 12 = 133, 144 – 11 = 133.

Но как это использовать?

Преодолеем следующие преобразования:

12·144п + 121·11п = (12·144п – 12 11п) + (12·11п + 121·11п) = 12 (144п – 11п) + 133·11п.

Отсюда следует, что данная сумма делится на 133 при любом натуральном п.

№7. Делится ли сумма 1919 + 6969 на 44?

Решение:

Так как 44 = 4·11, где числа 4 и 11 – взаимно простые числа, то достаточно проверить, делится ли эта сумма на 4 и 11.

С делимостью на 4 дело обстоит просто: используем прием «плюс-минус», прибавляя и отнимая 1. Получаем:

1919 + 6969 = (1919 + 1) + (6969 – 1).

Число в каждой из скобок делится на 4, поэтому и вся сумма делится на 4.

А вот как быть с делимостью на 11? Та же операция – прибавить и отнять 1 – здесь не проходит. Если мы с вами не придумаем ничего хорошего, то придется 19 возвести в19-ю степень, 69 – в 69-ю, сложить полученные числа и разделить сумму на 11.

К счастью, имеется возможность избежать столь тяжелой участи, хотя и не очень простая. Используем тот же прием «плюс-минус», прибавляя и отнимая не 1, а 6919. Почему именно эту степень? Уже потому, что сумма 1919 + 6919 делится на 88, а, следовательно, и на 11. Будем иметь:

1919 + 6969 = (1919 + 6969) + (6969 – 6919) = (1919 + 6919) + 6919 (6950 – 1).

Делится ли разность 6950 – 1 на 11? Эта разность делится на 692 – 1, но последняя разность не делится на 11, так как она разлагается на множители, не делящиеся на 11:

692 – 1 = (69 – 1) (69 + 1) = 70 68.

Но разность 6950 – 1 делится еще на 695 – 1. Может быть, эта новая разность на 11? Преобразуем ее, представляя 69 в виде 66 + 3, с тем, чтобы воспользоваться делимостью 66 на 11:

695 – 1 = (66 + 3)5 – 1 = (66 + 3)(66 + 3)(66 + 3)(66 + 3)(66 + 3) – 1 = 66k + 35 – 1.

(Если перемножить пять сумм, каждая, из которой равна 66 + 3, то все члены получающегося разложения, кроме одного, равного 35, делятся на 66; их сумма и обозначена через 66k, где k – натуральное. )

35 – 1 = 243 – 1 = 242 делится на 11. Тогда на 11 делится разность 695 – 1, а значит, и разность 6950 – 1. Следовательно, на 11 делится и данная сумма 1919 + 6969.

Ответ: делится.

№8. Найдите все натуральные п, при которых разность 2п – 1 делится на 7.

Решение:

Выполним перебор, придавая п значения 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Получается, что разность 2п – 1 делится на 7 только при п = 3 и п = 6. Видимо эта разность делится на 7 лишь при п, делящемся на 3. Проверим свою гипотезу. Для этого рассмотрим три случая.

1. Пусть п делится на 3: п = 3k (k I N). Тогда

2п – 1 = 23k – 1 = 8k – 1, а 8k – 1 делится на 7 при любом натуральном k.

2. Пусть п при делении на 3 дает в остатке 1: п = 3k + 1 (k = 0, 1, 2, ).

Получаем:

2п – 1 = 23k+ 1 – 1 = 2 23k – 1 = 2 8k – 1 = 2((8k – 1) + 1) – 1 = 2(8k – 1) + 1.

Первое слагаемое полученной суммы при любом целом неотрицательном k делится на 7, второе – не делится, поэтому вся сумма не делится на 7.

3. Пусть п при делении на 3 дает в остатке 2: п = 3k + 2 (k = 0, 1, 2, ).

Аналогично предыдущему доказывается, что в этом случае разность 2п – 1 не делится на 7.

Ответ: все п, делящиеся на 3.

№9. Верно ли, что если сумма а2 + b2 (а и b натуральные) делится на 11, то числа а и b делятся на 11?

Решение:

Давайте посмотрим, какие остатки может давать квадрат натурального числа при делении на 11. Результат вычислений можно оформить в виде таблицы:

Остаток от деления а на 11 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Остаток от деления а2 на 11 0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1 Заполняется она таким образом. Если натуральное число а при делении на 11 дает в остатке r: а = 11k + r (k и r – целые неотрицательные, r < 11), то а2 = (11k + r)2 = (121k2 + 22kr) + r2.

Следовательно, достаточно выяснить, какой остаток даст r2 при делении на 11 (в случае, если r2 > 11, нужно r2 разделить на 11 с остатком и записать в таблицу полученный остаток).

А теперь присмотримся к таблице: когда сумма остатков от деления на 11 квадратов двух натуральных чисел а и b равна 0 или 11? Только в одном случае – когда оба эти остатка равны нулю, т. е. когда и число а, и число b делятся на 11.

Ответ: верно.

№10. Найдите все двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.

Решение:

Обозначим двузначное число через ‘аb’. Тогда

‘аb’ : аb, (10а + b) : аb.

Так как сумма 10а + b делится на а и первое ее слагаемое 10а делится на а, то и второе слагаемое b делится на а : b = kа, где k – целое неотрицательное число, меньшее 10.

Аналогично, сумма 10а + b делится на b, второе ее слагаемое делится на b, следовательно, первое слагаемое делится на b:

10a : b, 10a : ka, откуда 10 : k. Тогда k может принимать только значения 1, 2 или 5. Рассмотрим все три случая.

1. Пусть k = 1.

В этом случае а = b. Делимость (10а + b) : аb превращается в делимость

11а : а2, т. е. 11 : а. Значит, а = 1, b = 1. Получаем число аb = 11.

2. Пусть k = 2.

Тогда b = 2а. Следовательно,

(10а + 2а) : 2а а, 12а : 2а2, 6 : а.

Отсюда а с {1, 2, 3, 6}. Значения а = 6 нужно сразу отбросить, так как b = 12. Если а = 1, 2 и 3, то соответственно b = 2, 4 или 6. Получаем числа 12, 24 и 36.

3. Пусть k = 5.

Тогда b = 5а. Значит,

(10а + 5а) : 5а2, 3 : а, откуда а = 1, b = 5 (случай а = 3 невозможен). Следовательно, ‘аb’ = 15.

Ответ: 11, 12, 24, 36, 15.

№11. Найдите все натуральные п > 1, для которых (п – 1)! делится на п.

Решение:

Рассмотрим две возможности.

1. Пусть число п – простое.

Но тогда число (п – 1)! – взаимно простое с п, следовательно, не может делится на п. Поэтому такой случай отпадает.

2. Пусть число п – составное.

Если при этом п разлагается на два различных множителя а и b, больших 1, то числа а и b входят в разложение

(п – 1)! = 1 2 3 (п – 1), причем на различных местах. Отсюда (п – 1)! делится на аb = п. Это значит, что все такие п удовлетворяют условия задачи.

Пусть теперь п = а2 (а > 1). При а = 2, т. е. при п = 4 получаем: 3! делится на 4, что неверно. Если же а > 2, то для того, чтобы произведение

1 2 3 (а2 – 1) делилось на п = а2, достаточно, чтобы среди множителей содержались числа а и 2а, т. е. чтобы а2 – 1 ≥ 2а, а2 – 2а – 1 ≥ 0.

Тогда а ≥ 1 + √2. Но последнее неравенство при всех а > 2 выполняется. Поэтому все п = а2, где а > 2, также подходят.

Ответ: все составные числа, отличные от 4.

№12. Запись девятизначного числа, делящегося на 37, разделили на две части и переставили эти части местами. Всегда ли полученное девятизначное число делится на 37?

Решение:

Пусть исходное число равно т = ‘а1а2а3а9’ и оно разделено на две части х = ‘а1а2 аk’, у = аk + 1аk + 2 а9 (1 ≤ к < 9).

Тогда т = х 109 – k + у.

По условию т = 37b, х 109 – k + у = 37b (b є N) откуда у = 37b – х 109 – k.

Запишем новое девятизначное число: п = аk + 1аk + 2 а9а1а2 аk = у 10k + х.

Составим разность п – т с тем, чтобы выяснить, всегда ли она делится на 37: п – т = (у·10k + х) – (х·109 – k + у) = (37b – х·109 – k) 10k + х – х·109k – 37b + х·109 – k =

= 37b·10k – 37b – х (109 – 1) = (37b – 10k – 37b) – х·999999999.

Число 999999999 делится на 111, и, следовательно, на 37.

Получилось, что разность п – т делится на 37. Кроме того, вычитаемое т делится на 37. Отсюда и уменьшаемое п делится на 37.

Ответ: всегда.

Разные задачи на делимость

Сначала рассмотрим задачи на делимость, связанные со следующими разложениями натуральных чисел на простые множители:

111 = 3 · 37, 1001 = 7 · 11 · 13, 1111 = 11· 101, 10101 = 3 · 7 · 13 · 37, 11111 = 41 ·271, 111111 = 3 · 7 · 11 · 13 · 37.

№1. Даны два трехзначных числа, сумма которых делится на 37. Эти числа записаны друг за другом. Верно ли, что полученное шестизначное число обязательно делится на 37?

Решение:

Обозначим данные трехзначные числа через a и b. Тогда их сумма а + b делится на 37.

Шестизначное число принимает вид 1000а + b. Преобразуем его, выделяя слагаемое а + b:

1000а + b = 999а + (а + b).

У полученной суммы не только второе, но и первое слагаемое делится на 37, так как 999а делится на 111, а 111 делится на 37. Поэтому и вся сумма делится на 37.

Ответ: верно.

№2. Докажите, что если шестизначное число делится на 7, или на 11, или на 13, или на 37, то и число, полученное из него после перестановки первой цифры в конец, делится на то же самое число.

Решение:

Обозначим исходное шестизначное число через ‘abcdef’. Тогда новое число, полученное из него после перестановки цифры, есть ‘bcdefa’.

Пусть ‘bcdef’ = х. Тогда начальное число равно 105 а + х, а новое – 10х + а. Почему же из делимости суммы 105 а + х, скажем, на 13, следует делимость суммы 10х + а на 13?

Умножим первое число на 10 и вычтем из полученной суммы 106 а + 10х сумму 10х + а:

(106 а + 10х) – (10х + а) = (106 – 1)а = 999999а = 9·111111 а.

Но число 111111 делится на 13, кроме того, и на 7, на 11 и на 37. Следовательно, разность двух чисел делится на любое из чисел 7, 11, 13 и 37, кроме того, уменьшаемое делится на любое из этих чисел.

Но тогда и вычитаемое 10х + а делится на каждое из этих чисел.

№3. Найдите все натуральные п, при которых число 10п – 1 делится на 101.

Решение:

Преобразуем это число:

10п – 1 = 999 9 (п девяток).

При каком числе девяток полученное число делится на 101? Перебор показывает, что числа 9, 99 и 999 не делятся на 101, а вот число 9999 делится на 101, поскольку 9999 делится на1111, а 1111 делится на 101.

По-видимому, данное число делится на 101 только тогда, когда п делится на 4. Рассмотрим два случая.

1. Пусть п делится на 4: п = 4k (k є N ). Получаем:

10п – 1 = 104k – 1 = (102)2k – 1, а последнее число делится на 102 + 1 = 101 (см. 6, третья делимость).

2. Пусть п не делится на 4. Разделим п на 4 с остатком: п = 4k + r, где k – целое неотрицательное число, r – целое число, удовлетворяющее неравенству 1 ≤ r ≤3. Преобразуем число:

10n – 1 = 104k + r – 1 = 10r 104k – 1 = 10r ((104k – 1) + 1) – 1) = 10r (104k – 1) + (10r – 1).

Первое слагаемое полученной суммы делится на 101, а второе – не делится, так как при r = 1, 2, 3 число 10r – 1 принимает соответственно значения 9, 99 и 999. Следовательно, вся сумма не делится на 101.

Ответ: все п, делящиеся на 4.

№4. Докажите, что если все трехзначные числа от 111 до 999 записать в произвольном порядке, то полученное многозначное число делится на 37.

Решение:

Всего таких трехзначных чисел 999 – 110 = 889. Запишем само число в виде

S = a1 + a2103 + a3106 + + a888 102661 + a889 102664? где а1, а2, , а889 – указанные в условии различные трехзначные числа.

Преобразуем эту сумму, прибавляя и отнимая число а1 + а2 + + а889 (прием «плюс-минус»)

S = (a1 + a2 + + a889) + a2 (103 – 1) + a3 (106 – 1) + + a889 (102664 -1).

Все слагаемые последней суммы, начиная со второго делятся на 103 – 1 = 999 делится на 111, а 111 делится на 37. Что касается первого слагаемого, то а1 + а2 + + а889 = = 111 + 112 + + 999.

Будем складывать слагаемые последней суммы попарно: первое – с последним, второе – с предпоследним и т. д. Каждая из сумм

111 + 999, 112 + 998, 113 + 99 и т. д. равна 1110, и, следовательно, делится на 37. Но одному, среднему слагаемому нет пары. Нетрудно подсчитать, оно имеет номер 445 и равно 555, а значит, тоже делится на 37.

Мы получили, что сумма а1 + а2 + + а889 делится на 37. Но тогда и вся сумма S делится на 37.

№5. Какие три цифры нужно приписать к числу 456 для того, чтобы полученное шестизначное число делилось на 504? Найдите все решения.

Решение:

Обозначим неизвестные цифры в последовательном порядке через х, у и z. Тогда шестизначное число принимает вид ‘456xyz’.

Так как 504 = 7 8 9, то, казалось бы, нужно использовать признаки делимости на 8 и 9. Но поскольку цифры х, у и z стоят рядом, то проще искать сразу число ‘хуz’. Для этого поступим следующим образом:

Разделим 456000 на 504 с остатком:

456000 = 504904 + 384.

‘456xyz’ = 504904 + 384 + ‘xyz’.

Сумма 384 + ‘хуz’ должна делится на 504. Она может равняться 504:

384 + ‘xyz’ = 504, откуда

‘хуz’ = 504 – 384 = 120.

Она может равняться также 504 2 = 1008:

384 + ‘xyz’ = 1008, откуда

‘xyz’ = 1008 – 384 = 624.

Ответ: цифра составляют число 120 или 624.

№6. Сколько натуральных чисел, делящихся на 3 и 7, имеется среди натуральных чисел от 1 до 500?

Решение:

Сначала подсчитаем, сколько натуральных чисел от 1 до 500 делятся на 3. Выпишем все такие числа:

3, 6 = 3 2, 9 = 3 · 3, 12 = 3 4, , 498 = 3 · 166.

Отсюда видно, что количество таких чисел равно 166.

Теперь найдем, сколько натуральных чисел, заключенных в тех же границах, делится на 7. Выпишем их:

7, 14 = 7 · 2, 21 = 3 · 7, , 497 = 7 · 71.

Следовательно, количество этих чисел равно 71.

Но это еще не все: среди тех и других чисел, которые делятся на 3, и на 7, а, значит, и на 21. Поскольку эти числа входят и в 166 чисел, делящихся на 3, и в 71 число, делящихся на 7, то они входят в 166 + 71 = 237 чисел дважды. Подсчитаем, сколько их. Выпишем числа от 1 до 500, делящихся на 21:

21, 42 = 21 · 2, 63 = 21 · 3, , 481 = 21 · 23.

Следовательно, таких чисел 23. Тогда общее количество чисел, делящихся на 3 или на 7, равно 237 – 23 = 214.

Ответ: 214.

№7. Докажите, что при любом нечетном а разность а2 – 1 делится на 8.

Решение:

Так как а2 – 1 = (а – 1) (а + 1) и числа а + 1 и а – 1 при нечетном а четны, то разность а2 -1 делится на 4. Но почему же она делится не только на 4, но и на 8?

Положим а = 2k + 1, где k – целое число, и преобразуем эту разность: а2 – 1 = (2k + 1)2 – 1 = 4k2 + 4k + 1 – 1 = 4k2 + 4k = 4k (k + 1).

Из двух последовательных целых чисел k и k + 1 одно является четным, поэтому полученное произведение делится на 8.

№8. Докажите, что при любом целом п число п5 – 5п3 + 4п делится на 120.

Решение:

Разложим число 120 на простые множители:

120 = 23 3 5.

Кроме того, выражение п5 – 5п3 + 4п разложим на множители: п5 – 5п3 + 4п = п (п4 – 5п2 + 4) = п (п2 – 4) (п2 – 1) = (п – 2) (п – 1) п (п + 1) (п + 2).

Достаточно доказать делимость последнего произведения на 3, 5 и 8.

Делимость на 3 и на 5 доказать легко: из трех последовательных чисел, скажем, п, п + 1 и п + 2 одно делится на 3; из пяти последовательных целых чисел одно делится на 5. А как доказать делимость на 8?

Если п четно, то произведение трех четных чисел п – 2, п и п + 2 делится на 8.

Если п нечетно, то произведение

(п – 1) (п + 1) = п2 – 1 делится на 8 на основании утверждения задачи №7.

Задания «метод математической индукции»

№1. Доказать, что (11п+2 + 122п+1) : 133.

Решение:

При п = 1 имеем:

113 + 123 = (11 + 12)(112 – 11·12 + 122) = 23·133.

Но (23·133) : 133, а это означает истинность нашего утверждения при п = 1.

Предположим, что это утверждение истинно при п = k, т. е. что

(11k+2 + 122k+1) : 133.

Докажем, что тогда оно будет истинно и при п = k + 1, т. е. что

(11(k+1) +2 + 122(k+1) +1) : 133, или 11k+3 + 122k+3 : 133.

Действительно,

11k +3 + 122k+3 = 11·1k+2 + 122·122k+1 = 11·11k+2 + 11·122k+1 + 133·122k+1=

= 11 (11k+2 + 12k+1) + 133·122k+1.

Полученная сумма делится на 133, т. е. утверждение истинно и п = k + 1.

По принципу математической индукции наше утверждение доказано для всех п є N.

Доказано.

Историческая справка

Леонард Эйлер (1707 - 1783)

Швейцарский ученый, долгое время работавший в России. Автор большого числа работ по математическому анализу, дифференциальности геометрии, теории чисел, приближенным вычислениям. Оказал огромное влияние на развитие математики.

Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времен. В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Он был не только математиком, но и физиком, и астрономом. Его труды оказали огромное влияние на развитие этих наук. Эйлер родился в Швейцарии в городе Базеле, слушал лекции великого математика Иоганна Бернулли, который взялся лично руководить развитием таланта молодого математика. Ученую степень магистра Эйлер получил в возрасте 16 лет. Спустя четыре года он, по приглашению Петербургской Академии Наук, выехал в Россию, где стал членом Академии и руководил кафедрой физиологии. С этого момента начинается быстрое развитие его научной деятельности. Стимулом в развитии тех и других отраслей математики становились для Эйлера в значительной мере естественные науки, в особенности механика и техника. Первые его труды касались навигации, но позднее он целиком посвятил себя математике. Журнал Академии («Комментарии») из номера в номер печатает его математические работы. Эйлер известен необыкновенным трудолюбием, что, в конце концов, привело его к потере зрения в одном глазу. Это, однако, не помешало его творчеству. Он работал над составлением карты России, написал теорию музыки, позднее издал большой труд о навигации, за который получил 6 тысяч фунтов премии от французского правительства. Мировое признание принесли Эйлеру его труды по механике (1736 г. ). Вскоре после этого вместе с Даниилом Бернулли и Маклореном он получил премию от Парижской Академии Наук за работу о морских приливах и отливах. К сожалению, напряженный научный труд ухудшил состояние его здоровье, что потребовало изменения климата. Поэтому Эйлер выехал в Берлин. Из года в год Эйлер печатает новые труды о движении планет и комет, о теории магнетизма, по баллистике. В 1748 году в Лозанне он издал свое главное произведение в трех томах «Введение в анализ бесконечно малых», в котором он собрал все свои прежние математические труды и статьи, написанные на протяжении многих лет. Это произведение укрепило позицию Эйлера как наиболее выдающегося математика.

Эйлер является также автором известной теоремы о том, что число ребер многогранника на 2 меньше числа его вершин и граней.

В 1766 году Эйлер возвратился в Россию. Екатерина Вторая назначила ему постоянное жалование из собственных средств. «Я надеюсь, - сказала она, - что моя Академия возродится из пепла, когда к ней вернулся великий человек». К сожалению, вскоре после приезда в Петербург Эйлер заболел и потерял второй глаз. Но его математический гений и великолепная память позволили ему продолжить работу. Формулы он писал мелом на доске, а своим друзьям диктовал новые работы. Таким образом, появилась алгебра Эйлера, затем плод его тридцатилетнего труда – произведение на тему диоптрики и много других. Характерно, что гений и творчество Эйлера развивались вплоть до поздней старости, о чем свидетельствуют непрерывно растущее количество написанных им трудов. Эйлер написал свыше 800 работ, в том числе 60% по математике. Еще в день своей смерти он вел оживленный спор со своими сотрудниками.

Эйлер был похоронен на Смоленском кладбище в Петербурге, ныне его прах перенесен в Ленинградский Некрополь.

Один из сотрудников Эйлера говорил: «Математические формулы у Эйлера жили своей собственной жизнью и рассказывали ему важные и существенные данные о природе вещей. Ему было достаточно только коснуться их, как они из немых букв преображались в красноречивые фразы, дающие глубокий и значительный ответ на различные вопросы».

Великий французский математик Лаплас сказал о работах Эйлера: «Читайте, читайте Эйлера – он наш великий учитель».

Пьер Ферма (1601 - 1665)

Французский математик, один из создателей аналитической геометрии и теории чисел (теоремы Ферма). Труды по теории вероятности, исчислению бесконечно малых.

Французский математик, юрист по профессии, Пьер Ферма родился в Бомон-де-Ломань близ Бомон в 1601 году, в мещанской семье. Окончил юридический факультет университета в Тулузе, после чего, начиная с 1631 года, был советником парламента в этом городе. Хотя Ферма посвящал математике только свободнее от остальных занятий время, он превосходно изучил не только совершенную математику, но и творения древних. Ферма получил известность благодаря своим трудам по теории чисел. В 1638 году открыл метод нахождения экстремумов алгебраических функций. Ферма – один из видных предшественников Ньютона и Лейбница в области дифференциального и интегрального исчислений. В 1636 году Ферма в своей работе, которую он не печатал, так как не любил этого делать, ввел прямоугольную систему координат.

Труды Ферма по аналитической геометрии были следствием интереса, проявленного Ферма к работам древних математиков, в частности, к работам Аполлония о геометрическом месте точек.

В 1621 году были переведены на латинский язык труды Диофанта, одного из творцов древнегреческой теории чисел. Ферма, как утверждают, занимался чтением математических книг для развлечения и привык писать свои замечания на полях. Он поместил на полях многих книг ряд своих собственных теорем, не заботясь об их доказательстве. После смерти Ферма, его сын в 1670 году напечатал заметки и письма своего отца.

Ферма наряду с Паскалем положил начало математической теории вероятности. Этому помог, в частности, некий Шевалье Де-Мере, посвятивший множество времени азартным играм; желая найти лучший метод игры, Шевалье Де-Мере обратился за помощью к Паскалю по вопросу “problem des pointes”. В корреспонденции с Ферма Паскаль затронул этот вопрос, и, таким образом, началось сотрудничество двух великих ученых в развитии теории вероятностей, закончившееся установлением в 1654 году ее основ.

Ферма интересовался применением дифференциального исчисления для решения задач по оптике. Известен принцип Ферма, согласно которому действительный путь распространения света из одной точки, например, А в другую В есть тот путь, для прохождения которого свету требуется минимальное время. Этот принцип имеет большое значение при подборе системы линз. Этим вопросом занимался полторы тысячи лет тому назад Герон из Александрии, но Ферма дополнил его исследованиями и привел доказательства.

Кроме того, Ферма занимался вопросом нахождения некоего общего принципа, объединяющего законы Вселенной.

Умер Ферма в Кастре в 1665 году.

Марен Мерсенн (1589 – 1648)

В эпоху, когда не существовало научных журналов, такая лихорадочная активность математиков находила свое выражение в оживленной переписке ученых и в деятельности дискуссионных кружков. Основной заслугой иных ученых было то, что они являлись как бы центрами научных связей. Более всего известен в этом отношении Марен Мерсенн, чье имя как математика сохранилось в термине «числа Мерсенна». В переписке с ним состояли Декарт, Ферма, Дезарг, Паскаль и многие другие ученые.