Язык и логика
И в жизни, и в математике с отрицаниями приходится сталкиваться на каждом шагу, поэтому очень важно научится формулировать отрицание любого заданного предложения. Для этого достаточно в начале данного высказывания приписать слова « Неверно, что». Например, отрицание предложения «У меня есть брат», можно сформулировать как «Неверно, что у меня есть брат». В формулировке отрицаний различных предложений запись данного предложения «в отрицательной форме» - это и есть формулировка отрицаний.
Для формулировки отрицаний действуют как бы в приема: «мысленно» присоединяют к предложению слова «Неверно, что», а затем «обрабатывают полученное отрицание так, чтобы оно хорошо звучало на русском языке- можно сказать переводят с русского языка на русский.
№ Предложение Понимание Формулировка отрицания отрицания
1. На столе ничего нет. Неверно, что на столе ничего нет. На столе что-то есть.
2. Мы ещё не дожили до XXI века. Неверно, что мы ещё не дожили до XXI века. Мы уже дожили до XXI века.
3. Число 11111 простое. Неверно, что число 11111 простое. Число 11111 не является простым.
4. Число, делящееся на 24, делится на 9. Неверно, что число, делящееся на 24, делится наЧисло, делящееся на 24, может не 9. делится на 9.
5. Братья Агафоновы учатся в одном классе. Неверно, что братья Агафоновы учатся в одном Братья Агафоновы учатся в разных классе. классах.
6. У Серёжи есть не то овчарка, не т о Неверно, что у Серёжи есть не то овчарка, не тоУ Серёжи нет ни овчарки, ни таксы.
такса. такса.
7. Число 56431 делится на 13 и на 17. Неверно, что число 56431 делится на 13 и на17. Число 56431 не делится хотя бы на одно из чисел 13 и 17.
Таким образом, задача формулировки отрицания – это задача из грамматики языка, и для её решения даже задумываться не надо о том, истинно или ложно то предложение, которое мы отрицаем! Например, мы не проверяли, является ли число 11111 простым и берёт плату Сбербанк за совершение операций. Более того, часто можно даже и не понимать, о чем именно идёт речь в предложении, но вполне грамотно сформулировать его отрицание. Главное состоит в том, что если одно предложение истинно, то его отрицание ложно, и наоборот, если данное предложение ложно, то его отрицание истин но. Одно из двух предложений обязательно истинно – либо данное утверждение, либо его отрицание. Этот факт представляет собой ЗАКОН ЛОГИКИ, и он имеет специальное название- Закон исключенного третьего: истинно либо само утверждение, либо его отрицание (а третьего не дано).
Предлагаю вам несколько заданий на формулирование отрицаний:
Задание №1.
Построй отрицания высказываний с помощью слов «Неверно, что», а затем перефразируй их в более простой форме. Убедись в выполнении для них закона исключённого третьего.
№ Предложение Понимание отрицания Формулировка отрицания
1. Луна – спутник Земли. Неверно, что Луна спутник Земли. Луна не спутник Земли.
2. На Марсе нет Жизни. Неверно, что на Марсе нет жизни. На Марсе есть жизнь.
3. Мухомор – несъедобный гриб. Неверно, что мухомор несъедобный гриб. Мухомор – съедобный гриб.
4. Амазонка длиннее Нила. Неверно, что Амазонка длиннее Нила. Амазонка не длиннее Нила.
5. Джомолунгма ниже Эвереста. Неверно, что Джомолунгма ниже Эвереста. Джомолунгма выше Эвереста.
6. В Москве – реке водятся крокодилы. Неверно, что в Москве – реке водятся В Москве – реке не водятся крокодилы.
крокодилы.
7. На земле 7 или 8 материков. Неверно, что на Зеле 7 или 8 материков. На Земле ни 7 и ни 8 материков.
8. Арбуз – это овощ или фрукт. Неверно, что арбуз это овощ или фрукт. Арбуз – это овощ.
9. В среду по расписанию есть физика и химия. Неверно, что в среду по расписанию естьВ среду нет ни физики, ни химии.
физика и химия.
10. Неправильная дробь меньше единицы. Неверно, что неправильная дробь меньше Неправильная дробь не может быть меньше единицы. единицы.
11. Число 0 является натуральным. Неверно, что число 0 является 0 не натуральное число.
натуральным.
Для обозначения отрицания используется похожий на минус символ- ¬. Например А отрицание предложения ¬ А. Иногда используется иная запись отрицания – черта над этой буквой: А и Ã. Иногда вместо отрицания равенства пишут ≠.
Задание №2.
Проверь по диаграмме Венна истинность высказываний. Для ложных высказываний построй отрицания и запиши их на математическом языке: а) 8,2€А; б) 3 € С; в) 8,2 € В; г) 3 € В;
Отрицание общих высказываний
Особую важность для математики представляет отрицание общих высказываний и высказываний о существовании. При этом формулировка отрицания должна быть не только грамотной с точки зрения русского языка, но и удобна для дальнейшего использования в рассуждении.
В результате использования общего приёма – поставить впереди данного предложения слова «Неверно, что» - получается предложение «Неверно, что все натуральные числа делятся на 3». Это предложение означает, что не все натуральные числа делятся на 3 или, что тоже самое, что некоторые натуральные числа не делятся на 3. Мы получили высказывание о существовании: «Существует натуральное число, которое не делится на 3». Это и есть отрицание данного высказывания. Точно также отрицанием высказывания «Все мужчины носят бороду» является высказывание «Есть мужчины, которые не носят бороды».
Общие высказывания могут иметь и другие формы выражения в языке. Приведу несколько приёмов, давая различные «допустимые» варианты формулировки отрицаний.
При этом одни варианты более близки к естественному языку, другие более полезны в математике, поскольку более удобны для рассуждений.
№ высказывание отрицание
1 Число, оканчивающееся цифрой 4, обязательно делится на 4. Число, оканчивающееся цифрой 4, не всегда делится на 4.
Существуют числа, которые оканчиваются цифрой 4, но не делятся на 4.
Существует хотя бы одно число, которое оканчивается цифрой 4, но не делится на 4.
2 Сумма двух чисел, делящихся на 7, всегда делится на 7. Сумма двух чисел, делящихся на 7, не всегда делится на 7.
Существуют два числа, делящихся на 7, сумма которых не делится на 7.
3 Сумма двух правильных дробей также должна быть правильной Сумма двух правильных дробей может не быть правильной дробью.
дробью. Существуют две правильные дроби, сумма которых не является правильной дробью.
Существуют две правильные дроби, сумма которых является неправильной дробью.
4 Натуральное число, записанное с помощью трёх единиц 100 Натуральное число, записанное с помощью трёх единиц 100 нулей, может нулей, не может делиться на 2. делиться на 2.
Существует натуральное число, записанное с помощью трёх единиц и 100
нулей, которое делится на 2.
5 Натуральное число, записанное с помощью трёх единиц и 100 Натуральное число, записанное с помощью трёх единиц и 100 нулей, нулей, не может быть составным. может не быть составным.
Существует натуральное число записанное с помощью трёх единиц и 100
нулей, которое не является составным.
Рассмотрим ещё один пример, когда исходное общее высказывание имеет более сложную форму: «Ни один медведь не умеет плавать». Оно означает то же самое, что «Все медведи не умеют плавать». А его отрицание «Неверно, что все медведи не умеют плавать» означает, что некоторые медведи всё же плавать умеют. И снова получили высказывание о существовании: «Есть медведи, которые умеют плавать.
Отрицание общего высказывания есть высказывание о существовании
Действительно, в общем высказывании утверждается, что все рассматриваемые предметы обладают некоторым свойством. Поэтому его отрицание означает, что не все предметы обладают этим свойством, то есть существуют предметы, которые этим свойством не обладают.
Комментарии