Случайные события и вероятность

Теория вероятностей - математическая наука, позволяющая по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий, связанных каким-либо образом с первыми.

Задачи, которые вы решаете на уроках физики и математики, обычно предусматривают однозначный результат действия. Например, если выпустить камень из рук, то от начинает падать с постоянным ускорением. Положение камня может быть вычислено в любой момент времени. Но есть большой круг задач, начинающих играть все большее и большее значение в самых разных науках и их хозяйственных и технических приложениях, в которых результат действия не определен однозначно. Рассмотрим простейший пример. Если подбросить монету, то нельзя точно сказать, какой стороной она ляжет вверх – гербом или цифрой. Здесь результат действия – броска монеты – не определен однозначно. Может показаться, что в подобных задачах вообще ничего определенного сказать нельзя. Однако даже обычная игровая практика показывает обратное: при большом числе бросков примерно в половине случаев выпадет герб, а в половине – цифра. И это уже некоторая закономерность. Именно такие закономерности и изучаются в теории вероятностей. При этом изменятся сама постановка задачи. Нас будет интересовать не результат отдельного опыта, а результат, полученный после многократного его повторения. Коротко говорят, что в теории вероятностей изучаются закономерности массовых случайных событий.

Мы привели пример с подбрасыванием монеты, поскольку это самая простая и всем хорошо знакомая ситуация, в которой результат действия не определен однозначно. Но не следует думать, что только такие игровые задачи рассматриваются в теории вероятностей.

Суда, совершающие дальние рейсы, не могут выдерживать точного расписания. Поэтому приход судов в порт тоже относится к категории случайных событий. И планирование оборудования порта должно строиться в соответствии с выводами из теории вероятностей. Если оборудования мало, то суда будут долго стоять под разгрузкой и в очереди на нее, а за это приходится платить большие деньги. Если же оборудования очень много, то очереди на разгрузку не будет, и разгрузка будет проходить быстро. Но при этом большая часть портового оборудования будет простаивать, т. е. в затратах на оборудование порта окажется допущен перерасход средств.

Еще один пример вероятностной задачи. Представьте себе, что в школе организовано соревнование между классами, и вы хотите определить, какой класс написал городскую контрольную работу по алгебре лучше. Для этого достаточно вывести для каждого из классов среднюю оценку и сравнить их. Тогда места в соревновании распределятся в соответствии с полученными средними оценками. Спрашивается, сколько знаков после запятой правомерно учитывать при таком соревновании? Оказывается, что для классов в 30-40 человек правомерно учитывать только десятые, т. е. средние по классу оценки надо брать с точностью до 0,1. Ну а если аналогичное сравнение захотят сделать по школам, т. е. сравнить, какая школа написала городскую контрольную по математике лучше, опираясь на средний балл за контрольную по школе? Сколько тогда правомерно брать знаков при вычислении среднего балла? Оказывается, что для того, чтобы можно было уже учитывать и сотые доли, необходимо, чтобы число принимаемых во внимание контрольных работ доходило до 2500.

Большое число вероятности задач возникает при постановке экспериментов и планировании. Например, сколько опытов надо поставить, чтобы выводы из них были достоверны? Если опытов слишком мало, то, естественно возникает сомнение: может, результаты опытов – это случайное совпадение? Конечно, чем больше опытов, тем надежнее сделанные из них выводы. Но на каком-то числе опытов надо и остановиться – их нельзя делать до бесконечности. Ведь каждый опыт – это затраченные деньги, и здесь тоже не должно быть неоправданного перерасхода. Теория вероятностей и здесь приходит на помощь. Имеется целый ряд рекомендаций, касающихся необходимого числа опытов для получения достаточно надежных выводов из экспериментов.

Подобных задач вскрывается все больше и больше. Их решение требует большой теоретической подготовки. Поэтому мы их касаться не будем. Наши задачи будут иметь более игровой характер, поскольку в них гораздо проще обнаружить вероятностные закономерности, они привычнее. Но уже на них важно будет проследить за основными вероятностными закономерностями и спецификой постановки и решения вероятностных задач.

В эпиграф вынесено определение теории вероятностей. В этом определении есть целый ряд понятий: случайное событие, вероятность случайного события, связь между случайными событиями. Все они нуждаются в определении и разъяснении. К этому мы и переходим.

Случайные события

В теории вероятностей (как и в любой другой науке) жизнь изучается не во всей ее сложности, а только с одной определенной ее стороны. При этом строится некоторая схема (или модель), которая более или менее полно отражает интересующую нас сторону жизни. Эта схема и изучается. Например, в геометрии изучаются свойства фигур: точек, прямых и т. п. В реальной жизни таких фигур нет. Поэтому мы имеем дело с моделями, полученными как результат моделирования, схематизирования, абстрагирования определенной стороны реальной жизни. В физике рассматривается материальная точка, идеальный газ и т. п. Это тоже модельной представление определенных сторон реальной жизни – в природе материальных точек и идеального газа нет.

В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: делается опыт (испытание), в результате происходят случайные события (часто говорят просто – события). Например, бросили монету и посмотрели, что выпало, - это опыт. В результате этого опыта может выпасть герб - это одно событие, а может выпасть цифра – это другое событие. Поскольку выпадение герба зависит от случая, то это случайное событие. События принято обозначать большими буквами: А, В, С и т. п. Например, в опыте с броском монеты событие «выпал герб» естественно обозначить буквой Г. При этом пишут: Г=»выпал герб». Аналогично событие «выпала цифра» обозначают буквой Ц.

Рассмотрим еще один опыт, несколько более богатый событиями, чем опыт с бросанием монеты, - бросание игральной кости. Этот опыт состоит в следующем. Игральную кость (кубик, на сторонах которого указаны точки: 1, 2, 3, 4, 5 и 6, соответствующие количеству очков) бросают на стол и смотрят (на верхней грани), сколько выпало очков. При этом могут произойти следующие события:

Q1 = «выпало 1 очко», Q 4 = «выпало 4 очка»,

Q2 = «выпало 2 Очка», Q 5 = «выпало 5 очков»,

Q3 = «выпало 3 очка», Q6 = «выпало 6 очков».

Но можно рассматривать и другие события, связанные с опытом бросания игральной кости:

Qпр = «число выпавших очков простое»,

Qк = «число выпавших очков делится на 3»,

Qч = “число выпавших очков четно»,

Qн = «число выпавших очков нечетно».

Уже на этих простых опытах мы можем заметить, что события Qч и Qн не могут произойти одновременно. Такую особую связь между событиями можно наблюдать в любом опыте, и она носит определенно название.

Определение. Два события называются несовместными, если они в рассматриваемом опыте не могут произойти одновременно. События, которые в рассматриваемом опыте могут произойти одновременно, называются совместными.

Например, в опыте с броском игральной кости события Qч и Qпр совместны. Действительно, пусть выпало 2 очка. Число 2 четное, следовательно, произошло событие Qпр. Аналогично события Qз и Qпр тоже совместны. Однако между совместностью пары событий Qз и Qпр и пары событий Qч и Qпр наблюдается существенная разница. Для первой пары из того, что произошло событие Qз, автоматически следует, что произошло и событие Qпр. Для второй же пары этого нет. В самом деле, предположим, что выпало 4 очка, т. е. произошло событие Qч. А событие Qпр при этом не произошло, так как 4 не является простым числом. Таким образом, для второй пары из того, что произошло одно из совместных событий, еще не следует, что автоматически произошло и другое.

Определение. Событие а благоприятствует событию В (пишут А ЗНАК В), если из того, что произошло событие А, еще не следует, что произошло событие В, то событие А не благоприятствует событию В ( пишут А ЗНАК В).

Так в опыте с броском играной кости Qз Qпр, Qч Qпр.

Заметим еще одно существенно-важное обстоятельство. В опыте с броском игральной кости события Q1, Q2,, Q6 как бы играют особую роль для этого опыта. Сущность этой особой роли состоит в том, что в результате опыта одно из этих событий обязательно происходит, а любые два их них несовместны.

Определение. Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из них обязательно несовместны, называется множеством элементарных событий (или исходов) этого опыта, а каждое событие из этого множества называется элементарным событием рассматриваемого опыта или его исходом.

Так, в опыте с броском игральной кости события Q1, Q2,,Q8 образуют множество исходов этого опыта. Подчеркнем, что для одного и того же опыта можно рассматривать разные множества исходов. Например, для опыта с броском игральной кости можно рассматривать множества из двух исходов - Qч и Qн. В самом деле, эти события несовместны, и в результате опыта (броска игральной кости) одно из них обязательно происходит. От того, как выбрано множество элементарных событий опыта, зависит большая или меньшая сложность решения поставленной вероятностной задачи: при удачном выборе решение сильно упрощается, а при неудачном или усложняется, или вообще не может быть найдено.

Классическое определение вероятности события

«Вероятность математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определенного события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». (Колмогоров А. Н. БСЭ. 3-е изд. , т. 4, с. 544) В энциклопедии дано описательное определение вероятности события. Дать математически корректное определение можно только на основе глубокого знания современной математики. Однако в приведенном определении отражены все существенные стороны этого понятия. Обратим внимание на одно место в определении: опыт (т. е. определенные условия, в которых появляется рассматриваемое событие) может повторяться неограниченное число раз (по крайней мере, теоретически). В том случае, если опыт не может быть повторен неограниченное число раз, нельзя говорить о вероятностях событий, происходящих в этом опыте. Это связано с объяснением первой части определения. Что значит «степень возможности появления» события в данном опыте? Что значит, что эта «степень» характеризуется числом р? Это значит следующее: если опыт повторен п раз, то частота появления события – число тдел. на п р и точность этого равенства будет тем больше, чем больше п. Иначе говоря, связь которая существует между опытом и событием и характеризуется числом р – вероятностью события в рассматриваемом опыте, выявляется только при многократном повторении этого опыта.

Изучение понятия вероятности события обычно начинается с самого простого частного случая – так называемого классического определения. Оно опирается на понятие равновероятности событий.

Начнем с примеров. В опыте с броском монеты Г = «выпал герб» и Ц = «выпала цифра» очевидно равновероятны. Это утверждение основано на том, что монета симметрична и однородна. В опыте с броском игральной кости события Q1, Q2,, Q6 тоже, очевидно, равновероятны. Это следует из однородности материала кости и ее симметричной формы. Таким образом, равновероятность событий обычно устанавливается исходя из того, что условия опыта симметричны относительно рассматриваемых событий. При этом симметрия понимается в широком смысле этого слова: и геометрическая симметрия, и физическая симметрия (например, однородность материала, из которого сделана кость или монета) и т. д. На первый взгляд может показаться странным, что при введении понятия равновероятности событий мы как бы отступаем от математической терминологии и обращаемся к описаниям и примерам. Посмотрим еще раз на определение теории вероятностей, данное в эпиграфе. В нем сказано: « по вероятностям одних случайных событий находить вероятности других случайных событий». То есть для того, чтобы можно было начать решение задачи средствами теории вероятностей, необходимо, чтобы вероятности некоторых событий в задаче уже были указаны. Откуда же эти вероятности берутся? Их дают те конкретные науки, в рамках которых возникла решаемая вероятностная задача. При этом зачастую основную роль играют соображения не математические, а той науки, в рамках которой возникла задача. Понятие равновероятности событий – это есть одна из форм указания начальных вероятностей.

Теперь можно дать классическое определение вероятности случайного события.

Определение. Пусть множество исходов опыта состоит из п равновероятных исходов. Если т из них благоприятствуют событию А, то вероятностью события А называется число

P (A) = m/n

Пример 1. Какова вероятность того, что при броске игральной кости выпадет четное число очков?

Решение. Сразу напрашивается множество исходов, состоящих из трех событий (здесь опыт – бросок двух монет): «на обеих монетах выпал герб» = Г, «на обеих монетах выпала цифра» = Ц и «на одной монете выпал герб, а на другой монете выпала цифра =А. Но интуитивно ясно, что это не равновероятные события – событие А имеет больше шансов появиться. Чтобы получить равновероятные, внесем в этот опыт некоторое дополнение, которое не изменит вероятностной структуры задачи. Именно, возьмем одну монету медную, а другую серебряную. Это позволит выделить равновероятные исходы испытания. Ими будут события Г, Ц, А, = «на серебряной монете выпал герб, на медной сонете выпала цифра» и А2 = «на серебряной монете выпала цифра, на медной монете выпал герб». Эти четыре события уде равновероятны, поскольку условия опыта относительно них симметричны. Они также образуют множество исходов рассматриваемого опыта. Теперь все подготовленное для того, чтобы можно было обратиться к теории вероятностей (до сих пор мы пользовались условиями задачи для выяснения некоторых основных, исходных вероятностей: в нашем случае это сводилось к выявлению равновероятных исходов испытания). Равновероятных исходов испытания 4, т. е. п = 4. Нас интересует вероятность события Г. Ему благоприятствует только один исход, т. е. т = 1. Следовательно, исходная вероятность

P (Г) = 1/4

Пример 3. Из семи одинаковых билетов один выигрышный. Семь человек по очереди и наугад берут (и не возвращают обратно) по одному билету. Зависит ли вероятность взять выигрышный билет от номера в очереди?

Решение. Опишем математическую модель этого примера. Перенумеруем все билеты, начиная с выигрышного. В результате опыта билеты оказываются распределенными между людьми, которые занимали определенные места в очереди. Этим упорядочивается множество из семи билетов: на первом месте оказывается билет, взятый человеком, стоявшим в очереди первым, и т. д. Таким образом, исходом опыта является получение некоторой постановки из 7 билетов, их число п = 71. Поскольку билеты берутся наугад, то все эти исходы равновероятны. Нас интересует вероятность события А = «человек, стоявший в очереди на k-месте, взял выигрышный билет». Этому событию благоприятствуют исходы, при которых получаются перестановки, имеющие на k-м месте выигрышный билет, а остальные 6 мест заняты произвольной перестановкой из оставшихся шести выигрышных билетов, их число m = 6! Следовательно,

P (A) = 6!/7!=1/7

Видим, что вероятность взять выигрышный билет не зависит о номера очереди.

Пример 4. Бросили две игральные кости и сосчитали сумму выпавших очков. Что вероятнее получить в сумме: 7 или 8?

Решение. В этой задаче опят состоит в том, что бросают две игральные кости и берут сумму выпавших очков. Исходы этого опыта таковы: «в сумме выпало2», «в сумме выпало3» и т. д. , «в сумме выпало 12». Но это не равновероятные исходы. Действительно, в сумме может получиться 2 только одним способом: 2= 1+1,а в сумме может получиться 4 двумя способами: 4=1+3 и4=2+2, т. е. шансов на то, что в сумме получится 4, больше. Теперь попробуем уточнить выбор исходов опыта и рассмотрим такие события: 2на одной кости выпало k очков, а на другой – р»: k=1,2,3,4,5,6 и р=1,2,3,4. 5,6. Но это тоже не равновероятные исходы опыта: интуиция подсказывает, что выпадение одинакового числа очков менее вероятно, чем разного. Чтобы получить равновероятные исходы, внесем в эту задачу некоторый дополнительный элемент, который не меняет вероятностную сторону задачи. Именно, окрасим кости в разные цвета – красный и синий. Но этот элемент позволит нам, наконец, выявить равновероятные исходы рассматриваемого опыта. Это будут следующие события: «на красной кости выпало k очков, а на синей – р очков = (k; р). Поскольку кости отличаются только цветом, то ясно, что указанные события равновероятны и, кроме того, они образуют множество исходов, благоприятствующих рассматриваемым событиям. Событию «сумма выпавших очков равна семи» = А благоприятствуют следующие 6 исходов: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2) и (6; 1). Следовательно,

P (A) = 6/36

Событию «сумма выпавших очков равна 8» = В благоприятствуют следующие 5 исходов: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Следовательно,

P (B) = 5/36

Мы видим, что сумма очков 7 есть более вероятное событие, чем сумма очков 8.

Интересно отметить, что этот факт был замечен игроками в кости. Попытки его объяснить (и решение ряда задач по страхованию и т. п. ) привели к созданию математической теории – начал теории вероятностей.

Пример. В ящике лежит 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимают шар и смотрят его цвет. Сразу напрашивается множество исходов, состоящее из двух событий: Ч = «вынутый шар черный» и Б =»вынутый шар белый». Но эти исходы не равновероятны, так как белых шаров больше и шансов вынуть белый шар больше. Для выявления в этом опыте множества равновероятных исходов внесем в опыт дополнительный элемент, не нарушающий вероятностной структуры задачи, а именно, пронумеруем все шары. Белым шарам поставим в соответствие номера с 1 по 12, а черным – номера с 13 по 20. События «вынут шар с номером k» = А, уже равновероятны, так как на ощупь шары неотличимы и вынимаются наугад. Кроме того, эти 20 событий образуют множество исходов нашего опыта. Следовательно, n = 20, а интересующему нас событию В благоприятствуют первые 12 исходов, т. е. m = 12. Следовательно,

P (B) = 12/20 = 0,6

Такой смысл выражения «наугад вынимается шар» состоит в том, что введенные события Аk равновероятны.

Пример 6. В ящике лежат 20 одинаковых на ощупь шаров. Из них 12 белых и 8 черных. Наугад вынимаются 2два шара. Какова вероятность того, что оба они белые, что они разного цвета?

Решение. Как и раньше, для выявления равновероятных исходов перенумеруем все шары номерами с 1 по 20. События «вынутые шары имеют номера k и р» = (k, р), очевидно, равновероятны и являются исходами нашего опыта. Число этих событий есть число двухэлементных подмножеств множества из 20 элементов, т. е. т. е. п = С 2 20. Событию В = «оба шара белые» благоприятствуют исходы, для которых k и р изменяются от 1 до 12, и различные, т. е. это число двухэлементных подмножеств множества из двадцати элементов, т. е. п = С 2 20. Событию В =»оба шара белые» благоприятствуют исходы, для которых k и р изменяются от 1 до 12, и различные, т. е. это число двухэлементных подмножеств множества, состоящих из 12 элементов, - m = С212.

Следовательно, ответ на первый вопрос задачи такой:

P (B) = C/C = 12*11*1*2/1*2*20*19 = 33/95 ≈ 0,35

При решении второй части задачи мы рассматриваем те же исходы. Событию А = «вынуты цветы разного цвета» благоприятствуют исходы, для которых один номер k может быть любым от 1 до 12, а другой номер р может быть любым от 13 до 20. Любое из возможных 12 значений k может комбинироваться с любым из 8 значений р. Следовательно, число благоприятствующих событию А исходов есть m = 12х8, а

P (A) = 12*8*1*2/20*19 = 48/95 ≈ 0,5

Из решения приведенных примеров видно, что для выявления множества равновероятных исходов опыта часто приходится вносить в рассматриваемый опыт дополнительный элемент, который не изменяет вероятностную структуру этого опыта. От того, насколько удачно сделано это дополнение, зависит сложность решения задачи.

При решении примеров мы подсчитывали число исходов опыта, благоприятствующих рассматриваемому событию. При этом нам приходилось пользоваться принципом произведения в комбинаторике. Сформулируем и докажем этот принцип.

Принцип произведения. Пусть даны два множества:

A = {a1;a2;;ak} и B = {b1;b1;;bs},

Содержащие k и s элементов соответственно. Тогда множество, состоящее из всех различных пар, ВСТАВКА содержит ks элементов.

Для доказательства разобьем все множество рассматриваемых пар на непересекающиеся подмножества. В первое подмножество соберем все пары с элементом ВСТ. Число этих пар тоже s. Всех подмножеств будет k (по числу элементов ВСТ. Следовательно, всех пар ks (k подмножеств по s пар в каждом подмножестве). При этом подмножества не имеют общих пар, так как они отличаются элементами множества А, и все рассматриваемые пары при этом учтены. Действительно, возьмем произвольную пару из рассматриваемых. В нее входит элемент ВСТ. Следовательно, эта пара входит в подмножество с номером i.

Пример 7. В одном ящике лежат 8 белых и 12 красных шаров, в другом – 15 синих и 5 черных шаров. Из каждого ящика вынимают наугад по одному шару. Какова вероятность того, что вынули красный и черный шары?

Решение. Перенумеруем все шары: а1, а2, , а8 – белые, а9, а10,, а20 – красные (в первом ящике), b1, b2,,b15 – синие и b16,b17,, b20 – черные (во втором ящике). В результате опыта получаются события (ВСТ. ) = «вынут шар аВСТ и вынут шар bВСТ. ». Эти события образуют множество исходов проводимого опыта. Так как шары вынимаются наугад, то эти события равновероятны. По принципу произведения число этих событий n =20х20 = 400. Интересующему нас событию благоприятствуют исходы опыта, для которых выполнены неравенства:ВСТ. Их число (в силу принципа произведения) m = 12х5 = 60. Следовательно, вероятность интересующего нас события будет равна: m/n = 60/400 = 3/20 = 0,15

Пример 8. На пяти одинаковых на ощупь карточках написаны буквы: на двух карточках – буква Л и на трех карточках буква И. Выкладываем наугад эти карточки подряд. Какова вероятность того, что выложится слово ЛИЛИИ?

Решение. Опыт в этой задаче состоит в получении наугад некоторого «слова» из имеющихся пяти букв. Нас интересует вероятность события С = «получено слово ЛИЛИИ». Для выявления равновероятных исходов перенумеруем буквы так: Л1, Л2, И1, И2, И3. Теперь в результате опыта мы будем получать слово из нумерованных букв. События «получено слово Л1И2Л1И2И3» и «получено слово Л1И1Л2И2И3» разные, хотя и в том и другом случае получено слово ЛИЛИИ, т. е. произошло интересующее нас событие С. Выписанные события благоприятствуют событию С. Ясно, что события, выписанные выше,, и все возможные аналогичные есть равновероятные исходы нашего опыта. Число их равно числу перестановок в множестве из пяти элементов, т. е. n = 5! =120. Подсчитаем с помощью принципа произведения число исходов, благоприятствующих событию С.

Рассмотрим множество В = ВСТ(Л1Л2); (Л2Л1) ВСТ, состоящее из двух возможных перестановок нумерованных букв Л, и множество А, состоящее из шести перестановок нумерованных букв И1И2И3. Каждый исход, благоприятствующий событию С, можно получить так: берем элемент множества В и ставим буквы Л (сохраняя их порядок) на первое и третье места в слове. Оставшиеся места занимаем каким-нибудь элементом множества А (не изменяя порядка нумерованных букв И. Таким образом, каждый исход получается как пара: элемент из В и элемент из А. В силу принципа произведения число таких исходов m = 2х6 = 12. Вероятность же интересующего нас события

P (A) = 12/120 = 0,1

Принцип произведения очевидным образом обобщается на три, четыре и т. д. множества.

Пример 9. В ящике лежат 15 красных, 9 синих и 6 зеленых одинаковых на ощупь шаров. Какова вероятность того, что вынуто: 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара?

Решение. В этой задаче опыт состоит в том, что из ящика вынимают 6 шаров и отмечают, сколько шаров какого цвета. Нас интересует вероятность события А = «вынуто 1 зеленый, 2 синих и 3 красных шара». Для выявления равновероятных исходов перенумеруем все шары: красные номерами с 1 по 15, синие – номерами с 16 по 24 и зеленые – номерами с 25 по 30. От этого вероятность события А не изменится. Опыт теперь будет состоять в том, что мы вынимаем из ящика 6 шаров и записываем их номера, получается множество из 6 номеров, выбранных из множества 30 первых номеров. Ясно, что события «вынуто такое-то подмножество из шести номеров из 30 первых номеров» образуют множество вероятных исходов рассматриваемого опыта. Действительно, в результате опыта одно из этих событий обязательно происходит; эти события попарно несовместны (поскольку вынуть одновременно набор номеров , например {1;3;15;21;23;30} и {2;3;15;25;27;30}невозможно). Эти события равновероятны, так как шары вынимаются наугад и потому для каждого набора номеров шансы быть вынутыми одинаковы. Число этих исходов равно числу шестиэлементных подмножеств из 30 элементов, т. е. n =ВСТ. Событию А благоприятствуют такие наборы номеров , в которых есть три номера из первых 15 ( это номера красных шаров), два номера из следующих девяти ( с 16 по 24) номеров (это номера синих шаров) и один номер из оставшихся 6 ( с 25 по 30) номеров ( это номера зеленых шаров). Так, из выписанных выше наборов номеров первый благоприятствует событию А, а второй – нет. Три номера из 15 можно выбрать СВСТ. Один номер из шести можно выбрать 6 способами. Следовательно, в силу принципа произведения множества исходов благоприятствующих событию А, будет содержатьm = C * C *6 элементов. Интересующая же нас вероятность

P (A) = m = C * C */C =

15*14*13*9*8*6*1*2*3*4*5*6/1*2*3*1*2*30*29*28*27*26*25= =24/145≈ 0,17

Монета и игральная кость в теории вероятностей

Многие важные и нужные факты первоначально были получены с помощью очень простых опытов. Большую роль в развитии теории вероятностей как науки сыграли обычные монеты и игральные кубики.

Симметричная монета

Математическая монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством.

Монета сточки зрения теории вероятностей имеет только две стороны, одна из которых называется «орел», а другая – «решка». Монету бросают, и она падает одной из сторон вверх. Никакие другие свойства математической монете не присущи.

Название «орел» для обратной стороны (реверса) монеты происходит оттого, что на реверсе российских монет изображен герб Российского государства – двуглавый орел. Впервые орел на монетах появился при великом князе Иване III.

А название «решка» для лицевой стороны (аверса) монеты возникло потому, что рисунок на аверсе российских монет в XVIII–XIX вв. напоминал решетку, на фоне которой был написан номинал монеты (ее достоинство).

Математическая монета считается симметричной. Это означает, что брошенная на стол монета имеет равные шансы выпасть «орлом» или «решкой». При этом подразумевается, что никакой другой исход бросания монеты невозможен, - она не может потеряться, закатившись в угол, и, тем более, не может «встать на ребро».

Настоящая металлическая монета служит лишь иллюстрацией для математической монеты. Настоящая монета может быть немного вогнутой, может иметь другие дефекты, которые влияют на результаты бросания. Тем не менее, чтобы проверить на практике опыты с бросанием математической монеты, мы бросали, бросаем и будем бросать обычную монету (без явных дефектов).

Монета часто помогала людям в сложной ситуации сделать выбор, положившись на судьбу. В пьесе А. Н. Островского «Бесприданница» есть эпизод, когда купцы Кнуров и Вожеватов с помощью игры в орлянку решают, кому достанется Лариса:

ВОЖЕВАТОВ. Да вот, лучше всего. (Вынимает из кармана монету и кладет под руку. ) Орел или решетка?

КНУРОВ(в раздумье). Если скажу: орел, так проиграю; орел, конечно, вы. (Решительно. ) Решетка.

ВОЖЕВАТОВ(поднимая руку). Ваше. Значит, мне одному в Париж ехать. Я не в убытке; расходов меньше.

И до сих пор монета часто используется как средство решения споров. В начале футбольного матча арбитр бросает монету, чтобы решить, какая из команд получит право начать игру.

Игральные кости в теории вероятностей

Игральный кубик или игральная кость также служит прекрасным средством для получения случайных событий. Игральная кость имеет удивительную историю. Игра в кости – одна из древнейших. Она была известна в глубокой древности в Индии, Китае, Лидии, Египте, Греции и Риме.

Игральные кости в виде кубиков находили в Египте (XX в. до н. э. ) и в Китае (VI в. до н. э. ) при раскопках древних захоронений. Точки на гранях древнеегипетских костей часто изображались в виде птичьего глаза.

Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими и одинаково гладкими. Вершины и ребра кубиков должны иметь правильную форму. Если они скруглены, то все скругления должны быть одинаковыми. Отверстия, маркирующие очки на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину. Сумма очков на противоположных гранях правильной кости равна 7.

Математическая игральная кость, которая обсуждается в теории вероятностей, - это математический образ правильной кости. Выпадения всех граней равновозможны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера, ни веса, ни иных материальных качеств.

Игры в кости у разных народов мира

Об играх с костями животных (игры в «лодыжки», «костыги», «козули») у славян и на языческой Руси свидетельствуют многочисленные археологические находки на обширной территории. Отсюда и русское название игрального кубика – кость.

В острогах заключенные играли парой костяных кубиков с очками на гранях, называя их «быками». Выражение «быков гонять» до сих пор означает игру в кости.

Ранние упоминания о костях в древнеиндийской поэзии отражают популярность игры в кости в Древней Индии. «Гимн игрока» - первый литературный текст, упоминающий кости, - изображает их как враждебную человеку магическую стихию:

Ведь кости усеяны колючками и крючками,

Они порабощают, они мучают, испепеляют,

Одаряют, как ребенок, победителя они вновь лишают победы.

Неудачливый игрок пытается заклясть кости, заключает с ними мир:

Заключите с нами дружбу! Помилуйте нас!

В Древней Греции считалось, что игральные кости придумал Паламед во время Троянской войны. Но по версии Геродота, кости изобрели лидийцы, населявшие Малую Азию, чтобы отвлечься от голода, болезней или других напастей.

В Древнем Риме кости, вероятно пришедшие из Древней Греции, быстро приобрели популярность. В кости играли все, от рабов до императоров. Император Клавдий даже написал книгу по игре в кости. В III в. до н. э. в Риме игра в кости была запрещена и разрешалась лишь во время ежегодного празднования Сатурналий.

Запреты на игру в кости

Азартные игры в кости запрещали не только в Древнем Риме. В Древнем Китае за игру в кости можно было попасть на каторгу.

С появлением христианства кости время от времени запрещались в разных странах, поскольку, по мнению духовенства, игра эта была порождением дьявола. Человек, играющий в кости, якобы становился слугой дьявола, распространяя зло.

В другое время кости были разрешены, и игра в них даже поощрялась, при этом каждому сочетанию очков приписывалось некоторое божественное значение. Считалось, что игра в кости позволяет благочестивому человеку выявить свои христианские добродетели. Очевидно, такие крайности в отношении азартных игр свидетельствуют о том, что изжить их церковь не могла, но иногда пыталась использовать страсть к игре в своих целях.

В 1188 г. Английский король Генрих II запретил играть в кости крестоносцам.

Многочисленные королевские указы в XIII-XIV вв. запрещают игру в кости во Франции. Надо полагать, запреты эти оказались безрезультатными, поскольку королевским указом от 1396 г. запрещаются уже не сами кости, а изготовление и применение поддельных костей.

Поддельные кости

Игра в кости в самых разных проявлениях намного древнее всех прочих игр. Поэтому и жулики (шулеры), нечестным способом выигрывающие в кости, появились намного раньше карточных шулеров. Археологи находят в раскопах Древнего Китая, Греции и Рима игральные кости, у которых нарушена симметрия.

Все рассуждения о равных вероятностях выпадения различных комбинаций справедливы, если кость имеет кубическую форму и ее центр тяжести совпадает с геометрическим центром. Изменение формы или смещение центра тяжести меняет свойства кости. Кости неправильной формы – самый обычный тип шулерских костей. Иногда в кости вплавляют свинцовые шарики, в них делают замаскированные пустоты, канала, по которым переливается ртуть.

Нарушить равновозможность выпадения граней можно, сделав некоторые грани чуть выпуклыми, а другие – чуть вогнутыми. Достаточно сделать одни из граней более гладкими, чем другие. Все эти способы предназначены для изменения вероятностей выпадения очков.

Есть еще способ плутовства – нарушение разметки костей. Если сумма очков на противоположных гранях не равна 7, то искусный мошенник, определенным образом бросая кости, может добиться, что сумма выброшенных им очков будет больше, чем у неискушенного игрока.

Мы рассказали немного об истории названий «орел» и «решка» и об игральных костях. Но самое главное – в этом пункте рассказывалось, в чем разница между настоящими и математическими монетами и костями.

Как понимать вероятность?

Что может дать знание вероятности случайного события? Как эти знания можно использовать?

Частично мы ответили на этот вопрос, рассказывая о страховании автомобиля. Знать вероятность дорожно-транспортного происшествия нужно, чтобы вычислить взнос за страховой полис.

Но это не единственная польза, которую может принести знание вероятностей. Если мы знаем вероятности каких-либо событий, то часто удается вычислить вероятность явления, связанного с этими событиями. Это особенно важно при проектировании зданий и сооружений, расчете надежности систем автомобилей, самолетов и космических кораблей.

Зная вероятность события, мы можем предсказать, насколько часто это событие будет происходить в жизни.

Предположим, например, что при определенных условиях в некоторой местности вероятность урагана равна 0,25. Это значит, что при многократных повторениях упомянутых условий примерно в 25% случаев начнется ураган. Учитывая, что ураган очень опасен, можно считать, что вероятность 0,25 достаточно высока, чтобы объявить штормовое предупреждение. И неважно, что ураган может не случиться. В таком случае лучше перестраховаться.

Если какое-то событие имеет вероятность 0,99, то в среднем его следует ожидать в 99 случаях из 100, т. е. почти всякий раз. Напротив, если событие имеет вероятность 0,01, то происходит оно редко, примерно в одном случае из ста.

Говоря, что событие произойдет примерно в 25 случаях из 100, мы не утверждаем, что оно непременно случится 25 раз из 100 возможных. Оно может произойти и 22, и 23, и 24, и 25, и 26, и 27, и 28 раз. Оно даже может произойти всего 18 раз или 32 раза в какой-нибудь серии из 100 наблюдений. Но такие серии наблюдений будут встречаться довольно редко.

Если вероятность события равна 0,25, то не следует ожидать его появления, скажем, 1 или 99 раз из 100.

Маловероятные события

Мы уже говорили, что в повседневной жизни маловероятные события часто считают практически невозможными. Люди следуют правилу: в однократном опыте маловероятное событие не происходитпго следует ожидать в 99 случаях из 100, т. ачнется ураган. которой местности вероятность урагана равна 0,25. космических корабле.

Конечно, в строгом смысле, это правило неверно. На него нельзя полагаться, если от этого зависит чья-то жизнь или здоровье. Нужно помнить, что маловероятные события иногда происходят. И если оно произойдет – если обрушится здание, внезапно выйдут из строя тормоза в автомобиле, - потом будет поздно вспоминать, какая была маленькая вероятность этого события. Поэтому, чтобы предотвратить несчастье, нужно регулярно проверять тормоза, вовремя ремонтировать или сносить ветхие здания и принимать другие необходимые меры.

Есть очень меткая поговорка «незаряженное ружье стреляет один раз в жизни». Это как раз о маловероятных событиях, которые все же происходят.

К сожалению, часто люди из-за своего легкомыслия недооценивают вероятность несчастья и ничего не предпринимают, чтобы уменьшить эту вероятность или хотя бы не дать ей вырасти.

Например, вероятность столкновения «Титаника» с айсбергом была маленькой. Капитан Эдвард Смит мог ее еще уменьшить, снизив скорость судна, но не сделал этого. Сотни человек стали жертвами маловероятного события в ночь на 15 апреля 1912 г.

Если же маловероятное событие грозит лишь незначительными потерями или неприятностями, то люди обычно следуют правилу «в однократном опыте маловероятное событие не происходит».

Случайные опыты

Снова обратим ваше внимание на то, что случайное событие может осуществиться только при определенных условиях. Если таких условий нет, то нет и события.

Например, случайное событие «появление орла» возможно только в опыте с подбрасыванием монеты. Без этого действия о выпадении орла нельзя говорить. О случайном событии «электрическая лампочка прослужит более 100 часов» можно говорить, только если имеется лампочка, которую включают в сеть.

Те условия и действия, при которых может осуществиться случайное событие, принято называть случайным опытом или экспериментом.

Иногда это действительно опыт, вроде бросания игральной кости или испытания электрической лампочки. А иногда слово опыт подходит меньше. Например, гроза в определенный летний день, без сомнения, случайное событие. Но кто же создает для него условия, кто проводит опыт? Видимо, природа.

Здесь сказано о том, что случайные события происходят не сами по себе, а только при проведении случайного опыта.

Элементарные события

В результате случайного опыта могут произойти различные случайные события. Например, в результате бросания игральной кости может выпасть четверка, может выпасть четное число очков, может выпасть число, меньшее 5. Заметим, что событие «выпало четное число очков» можно разбить на три события: «выпало два очка», «выпало четыре очка», «выпало шесть очков». А событие «выпала четверка» на более простые события не разделяется.

События, которые нельзя разделить на более простые, называются элементарными событиями.

Оказывается, в каждом опыте можно выделить такие элементарные события, из которых состоят все остальные события.

В результате случайного опыта обязательно наступает только одно элементарное событие.

№1. Вероятность выпадения шестерки на игральной кости равна 1/6. Сколько раз, по вашему мнению, следует ожидать выпадение шестерки при 600 бросаниях кости?

Ответ. Вероятность выпадения шестерки на игральной кости равна 1/6, т. е. шестерка будет выпадать один раз из шести, следовательно, при 600 бросаниях кости шестерка выпадет приблизительно 100 раз.

Старинные задачи науки о случайном

Еще в глубокой древности появились различные игры. В Древней Греции и Риме широкое распространение получили игры в астрагалы (т. е. бросание костей из конечностей животных) и игральные кости (кубики с нанесенными на гранях точками). В настоящее время игральные кости иногда изготовляют в виде додекаэдров и икосаэдров. В одной из азартных (слово «азартный» происходит от арабского «азар» — трудный, т. е. редко выпадавшие комбинации костей) игр бросались одновременно четыре астрагала и фиксировался результат. Худший бросок, при котором выпадает более одной единицы, назывался «собакой». Лучшим исходом считали бросок «Венера», когда на четырех астрагалах выпадали различные грани. Позднее азартные игры распространились в средневековой Европе. В частности, в XIV в. появились игральные карты. В XVII в. азартные игры способствовали зарождению и становлению комбинаторики и науки о случайном. Ученые XV—XVII вв. много внимания уделили решению задач о дележе ставки, об игре в кости, лотереях и т. п.

ЗАДАЧИ О ДЕЛЕЖЕ СТАВКИ

“Истина одна: и в Тулузе, и в Париже. ” – Б. Паскаль

Задачи о дележе ставки в занимательных формулировках встречались уже в рукописных арифметических учебниках XIII в. и сводились к справедливому разделению ставки между двумя игроками, если игра прервана по каким-либо причинам.

Задачи Луки Пачоли

В энциклопедическом труде итальянского математика Луки Пачоли (1445 — ок. 1514) "Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности», изданном в Венеции в 1494 г. , в главе «Необычайные задачи» помещено несколько задач на справедливый раздел ставки.

Задача:

Компания играет в мяч до 60 очков и делает ставку в 22 дуката (дукат — золотая монета, которая чеканилась Венеции). В связи с некоторыми обстоятельствами игра не может быть закончена, причем одна сторона в этот момент имеет 50, другая 30 очков. Спрашивается, какую часть общей ставки должна получить каждая сторона.

В этой задаче Пачоли делит ставку пропорционально набранным очкам (или партиям) Если два игрока к моменту прекращения игры выиграли соответственно m и n партий, то ставка делилась в отношении m:n независимо от того, сколько партий им оставалось сыграть. Как видно, Пачоли лишь молчаливо предполагал равновероятность выигрыша любой партии (очка) каждым из участников игры. Такие решения ошибочно считались правильными, хотя при этом ставки делились не в соответствии с вероятностями выиграть всю ставку при продолжении игры.

В 1539 г. Джироламо Кардано (1501 —1576) в работе «Практика обшей арифметики», изданной в Милане, правильно указывал, что Пачоли, деля ставку пропорционально числу уже выигранных партий, никак не принимает в расчет то число партий, которое еще необходимо выиграть каждому из игроков. Кардано ошибочно предлагал делить ставку в отношении сумм членов двух арифметических прогрессий с разностями, равными единице, которые начинаются с единицы и продолжаются до числа недостающих партий до выигрыша, т. е. в отношении [1+2+3++(k—n)]:[l+2+3++(k—m)], где k — количество партий, до которого должна продолжаться игра по условию, а m и n — количество партий, выигранных партнерами.

Человек Средневековья жил в почти не менявшемся мире. Решения, от которых зависела его судьба, ему почти не приходилось принимать: удивительному следовало поклоняться, но изменять, а тем самым планировать и рассчитывать редко было нужно. Мир человека Нового времени стал совсем иным.

Современный человек стремится быть свободным, самостоятельно принимать решения, а тем самым нести за них ответственность. Часто это трудно, не зря же Великий инквизитор у Достоевского говорил о том, что люди сами откажутся от свободы, предпочитая ей чудо, тайну и авторитет. И все же это не так. Потому человек сегодня почти всегда стоит на распутье: какой дорогой пойти, какой выбор совершить? Далеко не все и не всегда, размышляя об ответах на эти вопросы, проводят вычисления, используя какие-либо формулы, но психологическая готовность совершать свой выбор рационально, так или иначе взвешивая и оценивая последствия совершаемого, нужна всем. А этому-то и учит теория вероятностей