Симетрия во всем

Где мы можем встретить симметрию? Да везде! Ведь изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеет ось симметрии или центр симметрии. Например, многие листья деревьев и лепестки цветов симметричны относительно среднего стебля.

С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, в быту. В большинстве случаев симметричны относительно оси или центра узоры на коврах, тканях, комнатных обоев. Симметричны также многие детали механизмов, например зубчатые колеса.

Что такое симметрия, ее понятие, определение и применение

Термин «симметрия» по-гречески означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей»

Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. В наиболее простой трактовке (по Г. Вейлю) современное определение симметрии выглядит примерно так: симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начинали. Мы будем называть симметрией фигуры любое преобразование, переводящее фигуру в себя, т. е. обеспечивающее ее самосовмещение.

Отражение - пример ортогонального преобразования, изменяющего ориентацию (в отличие от собственного движения). Любое ортогональное преобразование можно осуществить последовательным выполнением конечного числа отражений - этот факт играет существенную роль в исследовании симметрии геометрических фигур.

Симметрия - свойство геометрической фигуры, характеризующее некоторую правильность формы фигуры, неизменность её при действии движений и отражений. Точнее, фигура обладает симметричностью, если существует нетождественное ортогональное преобразование, переводящее эту фигуру в себя. Совокупность всех ортогональных преобразований, совмещающих фигуру с самой собой, является группой, названной группой симметрии этой фигуры.

Так, плоская фигура, преобразующаяся в себя при отражении, симметрична относительно прямой - оси симметрии; здесь группа симметрии состоит из двух элементов. Если фигура F на плоскости такова, что повороты относительно какой-либо точки О на угол 360°/п, п - целое число = 2, переводят её в себя, то F обладает симметрией n-го порядка относительно точки О - центра симметрии. Примером таких фигур являются правильные многоугольники; группа симметрии здесь - т. н. циклична группа n-го порядка. Окружность обладает

симметрией бесконечного порядка (поскольку совмещается с собой поворотом на любой угол).

Примеры симметрии плоских фигур дают правильные многоугольники. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр.

Понятие симметрии понимают нередко в более узком смысле, включая в него на плоскости только симметрию относительно прямой и центральную симметрию, а в пространстве – симметрию относительно плоскости, относительно прямой и центральную симметрию. Соответствующие наложения сами себе обратны, и в фигуре с такой симметрией каждой точке А соответствует точка А', причём сама точка А симметрична А'. Симметрия относительно прямой а в пространстве означает, что фигура совмещается сама с собой при повороте на 180º вокруг оси а. Каждой точке А сопоставляется при этом такая точка А', что отрезок АА' перпендикулярен оси и делится ею пополам.

Однако мы будем понимать симметрию в общем смысле, как она определена в начале и как ее понимают, в частности, когда говорят о симметрии кристаллов. При этом наложения фигуры на себя называют преобразованиями симметрии.

Их основное свойство выражает

Теорема 1. Композиция наложений фигуры на себя, так же как и отображение, обратное наложению фигуры на себя, является опять ее наложением на себя.

Доказательство. Композиция наложений, как и отображение, обратное наложению, является наложением. Вместе с тем, если отображения S, S' отображают фигуру F на себя, то, произведя сначала отображение S ,а за ним S', отобразим F на себя. Точно так же, если S отображает F на себя и обратимо, то обратное отображение, возвращая «все на прежние места», тем самым отобразит фигуру F на себя.

Из этих замечаний, очевидно, следует сказанное в теореме.

Следствие. Все наложения какой бы то ни было фигуры на себя, образуют группу – ее группу симметрии.

Это следует из того, что совокупность отображений какого-либо множества на себя представляет собою группу тогда и только тогда, когда входящие в нее отображения обратимы, вместе со всяким отображением эта совокупность содержит ему обратное, а вместе с двумя отображениями – содержит их композицию (в любом порядке). Тождественное отображение, служащее единицей (нейтральным элементом) группы, принадлежит совокупности, как композиция любого из входящих в нее отображений с ему обратным.

Взаимно однозначные или, что равносильно, обратимые отображения множества на себя называют также его преобразованиями. Так, в частности, говорят о преобразованиях симметрии.

Замечание. Доказанная теорема и ее следствие имеют совершенно общее основание. Вообще, если взаимно однозначные отображения какого-либо множества на себя что-нибудь сохраняют, то их композиции и обратные отображения тоже это сохраняют(как, например, наложения сохраняют расстояния, вращения оставляют на месте центр или ось и т. п. ). Представление о симметрии может быть различное: симметрия вокруг некоторой прямой (оси), симметрия по обе стороны некоторой плоскости и симметрия плоской фигуры по обе стороны некоторой прямой (оси). Симметрия вокруг прямой (оси) имеет место тогда, когда все точки или бесконечно малые элементы тела, находящиеся на одном круге, перпендикулярном к этой прямой, обладают одинаковыми качествами, по отношению к которым симметрия рассматривается; эта прямая называется тогда осью симметрии. Примерами такой симметрии могут служить, например, тела, массы элементов которых распределены симметрично вокруг оси, а также геометрические поверхности вращения вокруг оси; далее при вращении тела вокруг неподвижной оси, скорости разных точек его

симметричны вокруг нее (см. Вращательное движение), а при вращении тела вокруг оси, изменяющей свое направление, скорости точек симметричны вокруг мгновенной оси вращения (там же). В физике часто рассматриваются тела, обладающие вокруг некоторой оси симметрией, по отношению к какому либо свойству, качеству или явлению. Скорости распространения необыкновенных лучей в кристаллах с одной оптической осью имеют симметрию вокруг этой оси. Симметрия по обе стороны плоскости бывает ортогональная или косая. При ортогональной симметрии каждому элементу с одной стороны плоскости соответствует такой же элемент с другой стороны, при чем оба элемента находятся в равных расстояниях от плоскости на одном перпендикуляре к ней. При косой симметрии оба соответственные элементы также находятся на равных расстояниях по обе стороны плоскости, но вместе с тем на одной прямой, наклонной к плоскости, при чем все прямые, соединяющие соответственные элементы попарно, параллельны между собой. При ортогональной симметрии обе половины тела суть как бы взаимные зеркальные изображения в отражающей поверхности, совпадающей с плоскостью симметрии. Тела могут быть ортогонально симметричны относительно трех взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии и тогда пересечения этих плоскостей, три взаимно ортогональные прямые, называются осями. Примерами таких осей могут служить оси координат прямолинейной прямоугольной системы, главные оси эллипсоида о трех неравных осях, прямоугольного параллелепипеда и других замкнутых поверхностей с тремя ортогональными плоскостями, как напр. поверхность волны в оптически –двуосных кристаллах. Главные оси этого эллипсоида называются главными осями инерции тела для этой точки. В теории упругости напряжения, действующие на различно-ориентированные площадки, проведенные через одну и ту же точку упругого тела, могут быть изображены в виде длин, проведенных из этой точки, при чем оказывается, что оконечности этих длин образуют поверхность эллипсоида, называемого эллипсоидом напряжений; напряжения, совпадающие с главными осями этого эллипсоида, называются главными напряжениями или главными осями эллипсоида упругости. Симметрия в плоскости по обе стороны какой-либо прямой, находящейся в плоскости, также может быть ортогональная или косая; тогда эта прямая называется осями симметрии плоской фигуры. Примерами ортогональной симметрии с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии могут служить площади и контуры эллипса,

прямоугольника, лемнискаты и др. Примером косой симметрии относительно двух косоугольных прямолинейных осей может служить площадь и контур параллелограмма.

ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (или тела) преобразуются в симметрию ей относительно некоторой оси L точку A', при этом отрезок AA' ┴ L, называется осевой симметрией.

Если точка А лежит на оси L, то она симметрична самой себе, т. е. А совпадает с А'.

В частности, если при преобразовании симметрии относительно оси L фигура F переходит сама в себя, то она называется симметричной относительно оси L, а ось L называется ее осью симметрии.

В случае осевой симметрии, или симметрии относительно прямой n-го порядка, фигура накладывается на себя вращением вокруг некоторой прямой (оси симметрии) на угол 360°/n. Например, куб имеет прямую АВ осью С. третьего порядка, а прямую CD - осью С. четвёртого порядка; вообще, правильные и полуправильные многогранники симметричны относительно ряда прямых. Расположение, количество и порядок осей симметрии играют важную роль в кристаллографии (см. Симметрия в кристаллах),

Прямую CD – ось симметрии четвертого порядка, точку

О – центром симметрии. Точки

М к М' куба симметричны как относительно осей АВ и CD, так относительно центра О.

ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

Преобразование, переводящее каждую точку А фигуры (тела) в точку А', симметричную ей относительно центра О, называется преобразованием центральной симметрии или

просто центральной симметрией.

Точка О называется центром симметрии и является неподвижной. Других неподвижных точек это преобразование не имеет. Если при преобразовании центральной симметрии относительно центра О фигура F преобразуется в себя, то она называется симметричной относительно центра О. При этом центр О называется центром симметрии фигуры F. Примерами фигур, обладающих центром симметрии, являются параллелограмм, окружность и т. д.

Знакомые понятия поворота параллельного переноса используются при определении так называемой трансляционной симметрии.

Рассмотрим трансляционную симметрию более подробно.

1. Поворот.

Преобразование, при котором каждая точка А фигуры (тела) поворачивается на один и тот же угол α вокруг заданного центра О, называется вращением или поворотом плоскости. Точка О называется центром вращения, а угол α – углом вращения. Точка О является неподвижной точкой этого преобразования.

Центральная симметрия есть поворот фигуры (тела) на 180°.

2. Параллельный перенос.

Преобразование при котором каждая точка фигуры (тела) перемещается в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние, называется параллельным переносом.

Чтобы задать преобразование параллельного переноса, достаточно точно задать вектор ā.

3. Скользящая симметрия.

Скользящей симметрией называется такое преобразование, при котором последовательно выполняются осевая симметрия и параллельный перенос.

Все перечисленные преобразования будем называть преобразованиями симметрии. Для преобразований симметрии имеют место следующие свойства:

1) отрезок переходит в равный ему угол;

2) угол переходит в равный ему угол;

3) окружность переходит в равную ей окружность;

4) любой многоугольник переходит в равный ему многоугольник и т. д.

5) параллельные прямые переходят в параллельные, перпендикулярные в перпендикулярные.

ЗЕРКАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ

«Что может быть больше похоже на мою руку или ухо, чем их собственное отражение в зеркале? И все же руку, которую я вижу в зеркале «нельзя поставить на место настоящей руки». (И. Кант)

Все знают, что увидеть зазеркальный двойник объекта совсем нетрудно. Достаточно поместить этот объект перед зеркалом и заглянуть в это зеркало. Обычно считают, что наблюдаемый в зеркале двойник является точной копией самого объекта. В действительности же это совсем не так зеркало не просто копирует объект, а меняет местами (представляет) передние и задние по отношению к объекту части объекта. Например, если у вас родинка находится на правой щеке, то у зазеркального двойника на левой.

Обратимся к более интересному примеру.

Если конус неподвижен, то его легко можно совместить со своим двойником.

Если же конус вращать относительно оси, проходящей через вершину, то направление вращения изменяется при отражении на противоположное. Теперь уже никакими перемещениями и поворотами нельзя совместить объект с зазеркальным двойником.

Впрочем, можно обойтись и без вращения конуса. Достаточно изготовить из конуса винт. Винт-объект и винт-двойник имеют разные направления нарезки: чтобы ввинтить в дерево винт-объект, надо вращать его головку по часовой стрелке, а чтобы ввинтить винт-двойник – против часовой стрелки.

Пара зеркально асимметричных объектов (фигур), являющихся зеркальным изображением один другого, называются энантиоморфами.

Энантиоморфами могут быть отдельные объекты, но могут быть и половинки соответствующим образом разрезанного объекта. Чтобы различить энантиоморфы в данной паре, вводят обозначения «левый» и «правый».

Двумерные энантиоморфы можно совместить друг с другом, выполнив поворот в трехмерном пространстве, перевернуть плоскость обратной стороной.

Что же касается трёхмерных энантиоморфов, то для их совмещения потребовался поворот в фантастическом четырёхмерном пространстве. Поэтому для трёхмерных энантиоморфов справедливо утверждение: никакие перемещения и повороты не в состоянии обратить левый энантиоморф в правый, и наоборот. Как бы ни вертел левый ботинок, он никогда не подойдёт к правой ноге.

Итак, на плоскости мы имеем четыре вида движений, переводящих фигуру F (тела) в равную фигуру F1 (тело):

1) параллельный перенос;

2) осевая симметрия(отражения от прямой);

3) поворот вокруг точки (частичный случай – центральная симметрия);

4) «скользящее» отражение.

В пространстве к вышеперечисленным видам симметрия добавляется зеркальная.

СИММЕТРИЯ В ФИЗИКЕ

Если законы, устанавливающие соотношения между величинами, характеризующими физическую систему, или определяющие изменение этих величин со временем, не меняются при определённых операциях (преобразованиях), которым может быть подвергнута система, то говорят, что эти законы обладают симметрией (или инвариантны) относительно данных преобразований. В математическом отношении преобразования симметрии составляют группу.

Опыт показывает, что физические законы симметричны относительно следующих наиболее общих преобразований.

Непрерывные преобразования:

1). Перенос (сдвиг) системы как целого в пространстве. Это и последующие пространственно-временные преобразования можно понимать в двух смыслах: как активное преобразование - реальный перенос физической системы относительно выбранной системы отсчёта или как пассивное преобразование - параллельный перенос системы отсчёта.

2). Поворот системы как целого в пространстве. Симметрия физических законов относительно этого преобразования означает эквивалентность всех направлений в пространстве (изотропию пространства).

3). Изменение начала отсчёта времени (сдвиг во времени). Симметрия относительно этого преобразования означает, что физические законы не меняются со временем.

4). Переход к системе отсчёта, движущейся относительно данной системы с постоянной (по направлению и величине) скоростью. Симметрия относительно этого преобразования означает, в частности, эквивалентность всех инерциальных систем отсчёта.

5). Калибровочные преобразования. Законы, описывающие взаимодействия частиц, обладающих каким-либо зарядом (электрическим зарядом, барионным зарядом, лептонным зарядом, гиперзарядом), симметричны относительно калибровочных преобразований 1-го рода. Эти преобразования заключаются в том, что волновые функции всех частиц могут быть одновременно умножены на произвольный фазовый множитель: где - волновая функция частицы j - комплексно сопряжённая ей функция, zj - соответствующий частице заряд, выраженный в единицах элементарного заряда (напр. , элементарного электрического заряда е), В(бетта) - произвольный числовой множитель.

Наряду с этим электромагнитные взаимодействия симметричны относительно калибровочных (градиентных) преобразований 2-го рода для потенциалов электромагнитного поля (А, ф(фи)): где f (x, у, z, t) - произвольная функция координат (x, у, z) и времени (t), с -скорость света. Чтобы преобразования и в случае электромагнитных полей выполнялись одновременно, следует обобщить калибровочные преобразования 1-го рода: необходимо потребовать, чтобы законы взаимодействия были симметричны относительно преобразований с величиной Р, являющейся произвольной функцией координат и времени: где h - Планка постоянная. Связь калибровочных преобразований 1-го и 2-го рода для электромагнитных взаимодействий обусловлена двоякой ролью электрического заряда: с одной стороны, электрический заряд является сохраняющейся величиной, а с другой - он выступает как константа взаимодействия, характеризующая связь электромагнитного поля с заряженными частицами.

Преобразования отвечают законам сохранения различных зарядов, а также некоторой внутренней симметрией взаимодействия. Если заряды являются не только сохраняющимися величинами, но и источниками полей (как электрический заряд), то соответствующие им поля должны быть также калибровочными полями (аналогично электромагнитным полям), а преобразования обобщаются на случай, когда 3 величины являются произвольными функциями координат и времени (и даже операторами, преобразующими состояния внутренней симметрией). Такой подход в теории взаимодействующих полей приводит к различным калибровочным теориям сильных и слабых взаимодействий.

6). Изотопическая инвариантность сильных взаимодействий.

Сильные взаимодействия симметричны относительно поворотов в особом "изотопическом пространстве". Одним из проявлений этой симметрии является зарядовая независимость ядерных сил, заключающаяся в равенстве сильных взаимодействий нейтронов с нейтронами, протонов с протонами и нейтронов с протонами (если они находятся соответственно в одинаковых состояниях). Изотопическая инвариантность является приближённой симметрии, нарушаемой электромагнитными взаимодействиями. Она представляет собой часть более широкой приближённой симметрии сильных взаимодействий - SU(3)-симметрии. Перечисленные выше типы симметрии характеризуются параметрами, которые могут непрерывно изменяться в некоторой области значений (например, сдвиг в пространстве характеризуется тремя параметрами смещения вдоль каждой из координатных осей, поворот - тремя углами вращения вокруг этих осей и т. д. ). Наряду с непрерывными симметриями большое значение в физике имеют дискретные симметрии.

Основные из них следующие:

1) Пространственная инверсия (Р). Относительно этого преобразования симметричны процессы, вызванные сильным и электромагнитным взаимодействиями. Указанные процессы одинаково описываются в двух различных декартовых системах координат, получаемых одна из другой изменением направлений осей координат на противоположные (т. н. переход от "правой" к "левой" системе координат). Это преобразование может быть получено также зеркальным отражением относительно трёх взаимно перпендикулярных плоскостей; поэтому симметрия по отношению к пространственной инверсии называется обычно зеркальной симметрией. Наличие зеркальной симметрии означает, что если в природе осуществляется какой-либо процесс, обусловленный сильным или электромагнитным взаимодействием, то может осуществиться и др. процесс, протекающий с той же вероятностью и являющийся как бы "зеркальным изображением" первого. При этом физ. величины, характеризующие оба процесса, будут связаны определённым образом. Напр. , скорости частиц и напряжённости электрического поля изменят направления на противоположные, а направления напряжённости магнитного поля и момента количества движения не изменятся.

Нарушением такой симметрии представляются явления

(например, правое или левое вращение плоскости поляризации света), происходящие в веществах-изомерах (оптическая изомерия). В действительности, однако, зеркальная симметрия в таких явлениях не нарушена: она проявляется в том, что для любого, например левовращающего, вещества существует аналогичное по химическому составу вещество, молекулы которого являются "зеркальным изображением" молекул первого и которое будет правовращающим.

Нарушение зеркальной симметрии наблюдается в процессах, вызванных слабым взаимодействием.

2) Преобразование замены всех частиц на античастицы. Симметрия относительно этого преобразования также имеет место для процессов, происходящих в результате сильного и электромагнитного взаимодействий, и нарушается в процессах слабого взаимодействия. При преобразовании зарядового сопряжения меняются на противоположные значения заряды частиц, напряжённости электрического и магнитного полей.

3) Последовательное проведение (произведение) преобразований инверсии и зарядового сопряжения (комбинированная инверсия, СР). Поскольку сильные и электромагнитные взаимодействия симметричны относительно каждого из этих преобразований, они симметричны и относительно комбинированной инверсии. Однако относительно этого преобразования оказываются симметричными и слабые взаимодействия, которые не обладают симметрией по отношению к преобразованию инверсии и зарядовому сопряжению в отдельности. Симметрия процессов слабого взаимодействия относительно комбинированной инверсии может быть указанием на то, что отсутствие зеркальной симметрии в них связано со структурой элементарных частиц и что античастицы по своей структуре являются как бы "зеркальным изображением" соответствующих частиц. В этом смысле процессы слабого взаимодействия, происходящие с какими-либо частицами, и соответствующие процессы с их античастицами связаны между собой так же, как явления в оптических изомерах.

Открытие распадов долгоживущих K°L-мезонов на 2 п(пи)-мезона и наличие зарядовой асимметрии в распадах указывают на существование сил, несимметричных относительно комбинированной инверсии. Пока не установлено, являются ли эти силы малыми добавками к известным фундаментальным взаимодействиям (сильному,

электромагнитному, слабому) или же имеют особую природу. Нельзя также исключить возможность того, что нарушение СР-симметрии связано с особыми геометрическими свойствами пространства-времени на малых интервалах.

4) Преобразование изменения знака времени (обращение времени, Т). По отношению к этому преобразованию симметричны все элементарные процессы, протекающие в результате сильного, электромагнитного и слабого взаимодействий (за исключением распадов К°L-мезонов).

5) Произведение трёх преобразований: зарядового сопряжения С, инверсии Р и обращения времени Т (СРТ-симметрия; СРТ-теорема). СРТ-симметрия вытекает из общих принципов квантовой теории поля.

Она связана главным образом с симметрией относительно Лоренца преобразований и локальностью взаимодействия, т. е. с взаимодействием полей в одной точке. Эта симметрия должна была бы выполняться, даже если бы взаимодействия были несимметричны относительно каждого из преобразований С, Р и Т в отдельности. Следствием СРТ-инвариантности является т. н. перекрёстная (кроссинг) симметрия в описании процессов, происходящих с частицами и античастицами. Так, напр. , три реакции - упругое рассеяние какой-либо частицы а на частице b: а + b - а + b, упругое рассеяние античастицы а на частице b: а + b - а + b и аннигиляция частицы а и её античастицы а в пару частиц b, b:a +a-b + b описываются единой аналитической функцией (зависящей от квадрата полной энергии системы и квадрата переданного импульса), которая в различных областях изменения этих переменных даёт амплитуду каждого из указанных процессов.

6) Преобразование перестановки одинаковых частиц. Волновая функция системы, содержащей одинаковые частицы, симметрична относительно перестановки любой пары одинаковых частиц (т. е. их координат и спинов) с целым, в частности нулевым, спином и антисимметрична относительно такой перестановки для частиц с полуцелым спином.

Симметрия и законы сохранения

Согласно Нётер теореме, каждому преобразованию симметрии, характеризуемому одним непрерывно изменяющимся параметром, соответствует величина, которая сохраняется

(не меняется со временем) для системы, обладающей этой симметрией. Из симметрии физических законов относительно сдвига замкнутой системы в пространстве, поворота её как целого и изменения начала отсчёта времени следуют соответственно законы сохранения импульса, момента количества движения и энергии. Из симметрии относительно калибровочных преобразований 1-го рода - законы сохранения зарядов (электрического, барионного и др. ), из изотопической инвариантности - сохранение изотопического спина в процессах сильного взаимодействия. Что касается дискретных симметрий, то в классической механике они не приводят к каким-либо законам сохранения. Однако в квантовой механике, в которой состояние системы описывается волновой функцией, или для волновых полей

(например, электромагнитного поля), где справедлив суперпозиции принцип, из существования дискретных симметрий следуют законы сохранения некоторых специфических величин, не имеющих аналогов в классической механике. Существование таких величин можно продемонстрировать на примере пространственной чётности, сохранение которой вытекает из симметрии относительно пространственной инверсии. Действительно, пусть волновая функция, описывающая какое-либо состояние системы, а ж(пси)2 - волновая функция системы, получающаяся в результате пространственной инверсии (символически: где Р - оператор пространственной инверсии). Тогда, если существует симметрия относительно пространственной инверсии, является одним из возможных состояний системы и, согласно принципу суперпозиции, возможными состояниями системы являются суперпозиции симметричная комбинация и антисимметричная.

В первом случае говорят, что пространственная чётность системы положительна ( +1), во втором - отрицательна (- 1). Если волновая функция системы задаётся с помощью величин, которые не меняются при пространственной инверсии (таких, например, как момент количества движения и энергия), то вполне определённое значение будет иметь и чётность системы. Система будет находиться в состоянии либо с положительной, либо с отрицательной чётностью (причём переходы из одного состояния в другое под действием сил, симметричных относительно пространственной инверсии, абсолютно запрещены).

Аналогично, из симметрии относительно зарядового сопряжения и комбинированной инверсии следует

существование зарядовой чётности (С-чётности) и комбинированной чётности (СР-чётности). Эти величины, однако, могут служить характеристикой только для абсолютно нейтральных (обладающих нулевыми значениями всех зарядов) частиц или систем. Действительно, система с отличным от нуля зарядом при зарядовом сопряжении переходит в систему с противоположным знаком заряда, и поэтому невозможно составить суперпозицию этих двух состояний, не нарушая закона сохранения заряда. Вместе с тем для характеристики системы сильно взаимодействующих частиц (адронов) с нулевым барионным зарядом и странностью (или гиперзарядом), но отличным от нуля электрическим зарядом, можно ввести т. н. G-чётность. Эта характеристика возникает из изотопической инвариантности сильных взаимодействий (которую можно трактовать как симметрию относительно преобразования поворота в "изотопическом пространстве") и зарядового сопряжения. Примером такой системы может служить пи-мезон.

Симметрия квантовомеханических систем и стационарные состояния. Вырождение сохранение величин, отвечающих различным симметриями квантовомеханической системы, является следствием того, что соответствующие им операторы коммутируют с гамильтонианом системы, если он не зависит явно от времени. Это означает, что указанные величины измеримы одновременно с энергией системы, т. е. могут принимать вполне определённые значения при заданном значении энергии. Поэтому из них можно составить т. н. полный набор величин, определяющих состояние системы. Таким образом, стационарные состояния (состояния с заданной энергией) системы определяются величинами, отвечающими симметрией рассматриваемой системы.

Наличие симметрии приводит к тому, что различные состояния движения квантовомеханической системы, которые получаются друг из друга преобразованием симметрии, обладают одинаковыми значениями физических величин, не меняющихся при этих преобразованиях.

Таким образом, симметрия системы, как правило, ведёт к вырождению. Напр. , определённому значению энергии системы может отвечать несколько различных состояний, преобразующихся друг через друга при преобразованиях симметрии. В математическом отношении эти состояния представляют базис неприводимого представления группы симметрии системы. Это обусловливает плодотворность применения методов теории групп в квантовой механике.

Помимо вырождения уровней энергии, связанного с явной

симметрией системы (например, относительно поворотов системы как целого), в ряде задач существует дополнительное вырождение, связанное с т. н. скрытой симметрией взаимодействия. Такие скрытые симметрии существуют, например, для кулоновского взаимодействия и для изотропного осциллятора.

Если система, обладающая какой-либо симметрией, находится в поле сил, нарушающих эту симметрию (но достаточно слабых, чтобы их можно было рассматривать как малое возмущение), происходит расщепление вырожденных уровней энергии исходной системы: различные состояния, которые в силу симметрии системы имели одинаковую энергию, под действием "несимметричного" возмущения приобретают различные энергетические смещения. В случаях, когда возмущающее поле обладает некоторой симметрией, составляющей часть симметрии исходной системы, вырождение уровней энергии снимается не полностью: часть уровней остаётся вырожденной в соответствии с симметрией взаимодействия, "включающего" возмущающее поле.

Наличие в системе вырожденных по энергии состояний, в свою очередь, указывает на существование симметрии взаимодействия и позволяет в принципе найти эту симметрию, когда она заранее не известна. Последнее обстоятельство играет важнейшую роль, например, в физике элементарных частиц. Существование групп частиц с близкими массами и одинаковыми др. характеристиками, но различными электрическими зарядами (т. н. изотопических мультиплетов) позволило установить изотопическую инвариантность сильных взаимодействий, а возможность объединения частиц с одинаковыми свойствами в более широкие группы привело к открытию SU(3)-симметрии сильного взаимодействия и взаимодействий, нарушающих эту симметрию. Существуют указания, что сильное взаимодействие обладает ещё более широкой группой симметрии.

Весьма плодотворно понятие т. н. динамической симметрии системы, которое возникает, когда рассматриваются преобразования, включающие переходы между состояниями системы с различными энергиями. Неприводимым представлением группы динамической симметрии будет весь спектр стационарных состояний системы. Понятие динамической симметрии можно распространить и на случаи, когда гамильтониан системы зависит явно от времени, причём в одно неприводимое представление динамической группы симметрии объединяются в этом случае все состояния

квантовомеханической системы, не являющиеся стационарными (т. е. не обладающие заданной энергией).

СИММЕТРИЯ В ХИМИИ проявляется в геометрической конфигурации молекул, что сказывается на специфике физических и химических свойств молекул в изолированном состоянии, во внешнем поле и при взаимодействии с другими атомами и молекулами.

Большинство простых молекул обладает элементами пространственной симметрии равновесной конфигурации: осями симметрии, плоскостями симметрии и т. д. Так, молекула аммиака NH3 обладает симметрией правильной треугольной пирамиды, молекула метана СН4 - симметрией тетраэдра. У сложных молекул симметрия равновесной конфигурации в целом, как правило, отсутствует, однако приближённо сохраняется симметрия отдельных её фрагментов (локальная симметрия).

Наиболее полное описание симметрии как равновесных, так и неравновесных конфигураций молекул достигается на основе представлений о т. н. динамических группах симметрии - группах, включающих не только операции пространственной симметрии ядерной конфигурации, но и операции перестановки тождественных ядер в различных конфигурациях. Например, динамическая группа симметрии для молекулы NH3 включает также и операцию инверсии этой молекулы: переход атома N с одной стороны плоскости, образованной атомами Н, на другую её сторону.

Симметрия равновесной конфигурации ядер в молекуле влечёт за собой определённую симметрию волновых функций различных состояний этой молекулы, что позволяет проводить классификацию состояний по типам симметрии. Переход , между двумя состояниями, связанный с поглощением или испусканием света, в зависимости от типов симметрии состояний может либо проявляться в молекулярном спектре, либо быть запрещённым, так что соответствующая этому переходу линия или полоса будет отсутствовать в спектре. Типы симметрии состояний, между которыми возможны переходы, влияют на интенсивность линий и полос, а также и на их поляризацию. Например, у гомоядерных двухатомных молекул запрещены и не проявляются в спектрах переходы между электронными состояниями одинаковой чётности, электронные волновые функции которых ведут себя одинаковым образом при операции инверсии; у молекул бензола и аналогичных соединений запрещены переходы между

невырожденными электронными состояниями одного и того же типа симметрии и т. п. Правила отбора по симметрии дополняются для переходов между различными состояниями правилами отбора, связанными со спином этих состояний.

У молекул с парамагнитными центрами симметрия окружения этих центров приводит к определённому типу анизотропии q-фактора (Ланде множитель), что сказывается на структуре спектров электронного парамагнитного резонанса, тогда как у молекул, ядра атомов которых обладают ненулевым спином, симметрия отдельных локальных фрагментов ведёт к определённому типу расщепления по энергии состояний с различными проекциями ядерного спина, что сказывается на структуре спектров ядерного магнитного резонанса.

В приближённых подходах квантовой химии, использующих представление о молекулярных орбиталях, классификация по симметрии возможна не только для волновой функции молекулы в целом, но и для отдельных орбиталей. Если у равновесной конфигурации молекулы имеется плоскость симметрии, в которой лежат ядра, все орбитали этой молекулы разбиваются на два класса: симметричные (б) и антисимметричные (п) относительно операции отражения в этой плоскости. Молекулы, у которых верхними (по энергии) занятыми орбиталями являются п-орбитали, образуют специфические классы ненасыщенных и сопряжённых соединений с характерными для них свойствами. Знание локальной симметрии отдельных фрагментов молекул и локализованных на этих фрагментах молекулярных орбиталей позволяет судить о том, какие фрагменты легче подвергаются возбуждению и сильнее меняются в ходе химических превращений, например при фотохимических реакциях.

Представления о симметрии имеют важное значение при теоретическом анализе строения комплексных соединений, их свойств и поведения в различных реакциях. Теория кристаллического поля и теория поля лигандов устанавливают взаимное расположение занятых и вакантных орбиталей комплексного соединения на основе данных о его симметрии, характер и степень расщепления энергетических уровней при изменении симметрии поля лигандов. Знание одной лишь симметрии комплекса очень часто позволяет качественно судить о его свойствах.

В 1965 Р. Вудворд и Р. Хоффман выдвинули принцип сохранения орбитальной симметрии при химических реакциях, подтверждённый впоследствии обширным экспериментальным

материалом и оказавший большое влияние на развитие препаративной органической химии. Этот принцип (правило Вудворда - Хоффмана) утверждает, что отдельные элементарные акты химических реакций проходят с сохранением симметрии молекулярных орбиталей, или орбитальной симметрии. Чем больше нарушается симметрия орбиталей при элементарном акте, тем труднее проходит реакция.

Учёт симметрии молекул важен при поиске и отборе веществ, используемых при создании химических лазеров и молекулярных выпрямителей, при построении моделей органических сверхпроводников, при анализе канцерогенных и фармакологически активных веществ и т. д.

СИММЕТРИЯ В БИОЛОГИИ (биосимметрия)

На явление симметрии в живой природе обратили внимание ещё в Древней Греции пифагорейцы (5 в. до н. э. ) в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 в. появились единичные работы, посвящённые симметрии растений (французские учёные О. П. Декандоль, О. Браво), животных (немецкий - Э. Геккель), биогенных молекул (французские - А. Бешан, Л. Пастер и др. ). В 20 в. биообъекты изучали с позиций общей теории симметрии (советские учёные Ю. В. Вульф, В. Н. Беклемишев, Б. К. Вайнштейн, голландский физикохимик Ф. М. Егер, английские кристаллографы во главе с Джоном Берналом) и учения о правизне и левизне (советские учёные В. И. Вернадский, В. В. Алпатов, Г. Ф. Гаузе и др. ; немецкий учёный В. Людвиг). Эти работы привели к выделению в 1961 особого направления в учении о симметрии - биосимметрики.

Симметрия в строении животных — почти общее явление. Только низшие бесформенные простейшие не позволяют отличить определенного отношения к той или другой оси, но у большинства других одноклеточных животных органы расположены или по радиусам около одной оси (радиолярии, солнечники, некоторые корненожки, флагеллаты и инфузории), или даже справа и слева от оси, которую можно считать за переднезаднюю (ресничные инфузории и др. ). Такое же расположение органов наблюдается и у многоклеточных животных: здесь мы встречаем животных с радиальной симметрии и двулучевой или двурядной. Нетрудно видеть, что двулучевая симметрия может быть рассматриваема, как радиальная с числом радиусов, равным 2. Хотя симметрия составляет правило в животном царстве,

но почти всегда встречаются отступления от этого правила, выражающиеся в асимметричном положении той или другой части или того или другого органа. Если инфузории по внешнему виду часто представляют двулучевую симметрию, то в положении и форме ядра, положении сократительных вакуолей обыкновенно никакой симмтрии не наблюдается. Точно так же и между многоклеточными животными. У губок радиальная симметрия наблюдается только в эмбриональном состоянии, а во взрослом лишь у очень немногих, и большинство их асимметрично. Колонии полипов тоже в большинстве случаев несимметричны, хотя есть и правильно симметричные, имеющие форму пера и т. п. Асимметричное расположение половых протоков и отверстий представляют многие ленточные черви, у коих половые отверстия по большей части имеются лишь с одной стороны членика, и вообще частные уклонения от симметрии встречаются почти во всех главных классах червей. У иглокожих асимметрично лежит так называется мадрепоровая пластинка, асимметрично изгибается кишечный канал ежей и голотурий, а равно и другие органы. Самый резкий пример асимметрии представляют моллюски, у коих мы замечаем, во-первых, наклонность к спиральному закручиванию органов в ту или другую сторону, что, конечно, нарушает симметрию, а также смещение заднего прохода и прилежащих к нему органов с заднего конца на правую сторону, что сопровождается не только асимметричным расположением органов, но и атрофией многих органов правой стороны. Между членистоногими асимметричное расположение выражено ясно у некоторых паразитических форм, а также у раков-отшельников, которые живут в спирально завитой раковине моллюска, и сообразно этому тело их приняло несколько асимметричную форму. У насекомых также наблюдается иногда асимметрия в окраске, величине челюстей, жилковании крыльев, строении половых органов и т. п. Позвоночные также представляют нам примеры асимметрического расположения органов. Несимметричное расположение костей черепа наблюдается у некоторых сов, у новозеландской птицы Аnаrhynchus frontalis, у которой клюв согнут посредине на левую сторону под углом в 45%. У самцов-нарвалов один зуб, именно левый, получает чрезвычайно сильное развитие (до 2—3 м длины) и влияет на форму черепа, в котором и лицевые кости развиты сильнее с левой, а черепные собственно — с правой. Некоторая доля асимметрии свойственна всякому черепу, в том числе и человеческому, и еще Микеланджело приписывал влиянию этой асимметрии тот

характер физиономии живого человека, который так резко отличает ее от физиономии кукол и манекенов. Такая же асимметрия наблюдается и в других частях скелета, направленных к тазу. Асимметричное расположение органов резко выражено в положении желудка у многих позвоночных, в положении печени с правой, поджелудочной железы с левой, спинной кишки с правой стороны и т. п. Число лопастей легкого у млекопитающих также различно на правой и левой стороне. У змей и змеевидных ящериц одно легкое совсем не развивается. В половых органах наблюдается асимметричное положение полового отверстия у некоторых рыб, недоразвитие правого яичника и яйцевода у птиц и яйцеродных млекопитающих (Monotremata), и вообще неровная величина правой и левой половины производящих органов, как у самца, так и у самки встречается нередко. Кровеносная система, начиная с амфибий вплоть до млекопитающих, становится все более и более асимметричной и достигает чрезвычайной асимметрии у последних, особенно в венозной своей части. Сердце человека, человекообразных обезьян и крота смещено на левую сторону. Системы нервная и органов чувств более симметричны, чем все другие, но неравная величина обеих половин мозга, обоих глаз, ушей — все-таки частое явление. Форма тела и окраска позвоночных тоже только на первый взгляд кажутся симметричными, а на самом деле и это не так, что особенно ясно видно относительно окраски на пятнистых животных, как саламандра, жерлянка или пантера, ягуар. Наиболее резким примером асимметричной конфигурации могут служить камбалы. Эти рыбы лежат, а в большинстве случаев и плавают одним боком вниз, и этот бок, подобно брюшной стороне прочих рыб, не окрашен. Кожа его мягкая, а противоположный, подобно спинной стороне, пигментирован и содержит многочисленные костные отложения в коже. Рот также сдвигается набок, но задний проход по большей части остается посередине и лишь у немногих смещается на непигментированную сторону. Но самое замечательное — это смещение глаз, помещающихся на пигментированной стороне, причем и глазной нерв одного глаза чрезвычайно удлиняется. Замечательно, что как асимметрия камбал, так и асимметричное положение различных органов у других двусимметричных животных есть явление позднейшее; а у зародыша органы закладываются по большей части симметрично и смещаются лишь впоследствии. Сопоставляя различные случаи асимметрии, можно различать следующие ее формы:

1)Индивидуальную асимметрию в виде слабых отклонений от геометрически правильного расположения, как это наблюдается в лице человека и других частях многих животных.

2) Асимметрия в развитии органа, выражающаяся в недоразвитии или более слабом развитии органов одной стороны.

3) Асимметрия положения, когда непарные органы смещаются вбок от срединной линии.

4) Асимметрия строения, когда органы центрируются не около срединной линии, а иначе, так, что тело само по себе, независимо от недоразвития той или другой стороны, является асимметричным.

5) Физиологическая асимметрия, когда деятельность органов правой и левой стороны неравномерна, но надо заметить, что большинство перечисленных примеров связано с физиологической асимметрией

Симметрия у растений. Весьма редко тело растения построено одинаково по всем направлениям. По большей части в нем можно различить верхний (передний) и нижний (задний) конец. Линия, соединяющая оба эти конца, именуется продольной осью. По отношению к этой продольной оси органы и ткани растения могут быть распределены различно.

1) Если через продольную ось можно провести не менее двух плоскостей, делящих рассматриваемую часть растения на одинаковые симметричные половины, то расположение именуют лучевым (мультилатеральное, многосимметрическое расположение). Большинство корней, стеблей и цветов построены по лучевому типу.

2) Если через продольную ось можно провести лишь одну плоскость, делящую растение на симметричные половины, то говорят о дорзивентральном (моносимметрическом) расположении. При отсутствии плоскостей симметрии орган именуют асимметрическим. Наконец, бисимметрическими или билатеральными называют такие органы, у которых можно различить правую и левую, переднюю и заднюю стороны, причем правая симметрична левой, передняя — задней, но правая и передняя, левая и задняя совершенно различны.

Таким образом, здесь имеется две неодинаковые плоскости симметрии. Такое расположение получается, например, если цилиндрический орган будет сплющен в одном каком-либо направлении. Так, бисимметричны уплощенные стебли кактусов Opuntia, бисимметрично слоевище многих морских водорослей, таких, как Fucus, Laminaria и проч. Бисимметричные органы образуются обыкновенно из лучевых, что особенно хорошо видно на кактусах или на фукусе. Что касается в частности цветов, то лучевые чаще называются звездчатыми (актиноморфными), а дорзивентральные — зигоморфными.

СИММЕТРИЯ В КРИСТАЛЛАХ

Cвойство кристаллов совмещаться с собой в различных положениях путём поворотов, отражений, параллельных переносов либо части или комбинации этих операций. Симметрия внешней формы (огранки) кристалла определяется симметрией его атомного строения, которая обусловливает также и симметрию физических свойств кристалла. Закономерность повторения частей кристалла выражается или в том, что:

1) для каждой части можно найти такую же часть, лежащую по другую сторону кристалла. Подобное расположение ведет к тому, что внутри кристалла можно найти такую точку, в которой пересекаются пополам все линии, соединяющие одинаковые (гомологические) точки на поверхности кристалла. Такая точка называется центром симметрии и обозначается буквою С.

2) Или одна часть (половина) кристалла является зеркальным изображением другой; плоскость, относительно которой части кристалла расположены зеркально, называется плоскостью симметрии и обозначается буквою Р. В кристаллах может быть одна, две и более таких воображаемых плоскостей, или же последние совершенно отсутствуют.

3) Или одна часть кристалла может быть выведена из другой вращением вокруг некоторой линии. В этом случае при повороте кристалла вокруг некоторой линии на некоторый угол, составляющий целую часть окружности, все точки нового положения совпадают с точками прежнего положения, происходит, как говорят, их совмещение. Таких совмещений при полном повороте может быть несколько. Линия, при повороте вокруг которой части кристалла совмещаются,

называется осью симметрии и обозначается буквою L. В кристаллах может быть одна или несколько таких линий; число их ставится в виде коэффициента при L. Также и число совмещений при полном повороте кристалла вокруг каждой оси симметрии может быть различно (впрочем, оно ограничивается цифрами 2, 3, 4, 6); оно ставится в виде показателя при L. Таким образом, общая характеристика симметрии в отношении оси симметрии выражается mLn, где m и n суть числа целые и простые. Число совмещений при повороте вокруг оси симметрии называется ее порядком, или от числа дается ей название, например, L2 — ось симметрии 2-го порядка или двойная, L3 — ось 3-го порядка или тройная и пр. Совокупность и характер элементов симметрии характеризует степень или величину симметрии того или другого кристалла. От различного сочетания элементов симметрии зависит разнообразие кристаллов по степени их симметрии. Теория, основанная на признании характернейшей черты кристалла — его гомогенности (однородности) и анизотронности, выводит 32 случая различных возможных комбинаций элементов симметрии (в них включается и случай совершенного отсутствия элементов симметрии), которые и называются кристаллическими классами или группами. Огромное большинство этих классов действительно найдено в природе. Кристаллические классы носят название от формы, являющейся представителем, или же (временно) удерживаются старинные названия, основанные на более грубых внешних признаках и соотношениях кристаллических форм друг к другу.

На рис. 5, а изображён кристалл кварца. Внешняя его форма такова, что поворотом на 120° вокруг оси 3 он может быть совмещён сам с собой (совместимое равенств о). Кристалл метасиликата натрия (рис. 5, 6) преобразуется в себя отражением в плоскости симметрии т (зеркальное равенство). Т. о. , симметрия означает возможность преобразования объекта совмещающего его с собой.

а - кристалл кварца:

3 – ось симметрии 3-го порядка, 2x,2y,2w – оси 2-го порядка; 6 - кристалл водного метасиликата натрия: т - плоскость симметрии.

Если F (x1,x2,х3)-функция, описывающая объект, напр. форму кристалла в трёхмерном пространстве или какое-либо его свойство, а операция q[x1,x2,х3] осуществляет преобразование координат всех точек объекта, то q является операцией или преобразованием симметрии, a F - симметричным объектом, если выполняются условия: q [x1,x2,х3] = x'i, х'г, х'з, (5,a)

F(x1,x2,х3) = F(x'1,x'2,x'3). (5,б)

В наиболее общей формулировке симметрия - неизменность (инвариантность) объектов при некоторых преобразованиях описывающих их переменных. Кристаллы - объекты в трёхмерном пространстве, поэтому классическая теория симметрии как теория симметричных преобразований в себя трёхмерного пространства с учётом того, что внутренняя атомная структура кристаллов - трёхмерно-периодическая, т. е. описывается как кристаллическая решётка. При преобразованиях симметрии пространство не деформируется, а преобразуется как жёсткое целое (ортогональное, или изометрическое, преобразование). После преобразования симметрии части объекта, находившиеся в одном месте, совпадают с частями, находящимися в другом месте. Это означает, что в симметричном объекте есть равные части (совместимые или зеркальные).

Симметрия кристаллов проявляется не только в их структуре и свойствах в реальном трёхмерном пространстве, но также и при описании энергетического спектра электронов кристалла в импульсном пространстве, при анализе процессов дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с помощью пространства обратных длин и т. п.

Группа симметрии кристаллов. Кристаллу может быть присуща не одна, а несколько операций симметрии. Так, кристалл кварца (рис. 5, а) совмещается с собой не только при повороте на 120° вокруг оси 3 (операция q1), но и при повороте вокруг оси 3 на 240° (операция q2), а также при поворотах на 180* вокруг осей 2х, 2у, 2w (операции q3, q4и q5). Каждой операции симметрии может быть сопоставлен геометрический образ - элемент симметрии - прямая, плоскость или точка, относительно которой производится данная операция. Напр. , ось 3 или оси 2х, 2у, 2w являются осями симметрии, плоскость m (рис. 5, 6) - плоскостью зеркальной симметрии и т. п. Совокупность операций симметрии [q1,. , qn] данного кристалла образует группу симметрии G в смысле математической теории групп. Последовательное проведение

двух операций симметрии также является операцией симметрии. Всегда существует операция идентичности qо, ничего не изменяющая в кристалле, названым отождествлением, геометрически соответствующая неподвижности объекта или повороту его на 360° вокруг любой оси. Число операций, образующих группу G, наз. порядком группы.

Группы симметрии классифицируют: по числу п измерений пространства, в которых они определены; по числу т измерений пространства, в которых объект периодичен (их соответственно обозначают Cnm) и по некоторым др. признакам. Для описания кристаллов используют различные группы симметрии, из которых важнейшими являются пространственные группы симметрии G33, описывающие атомную структуру кристаллов, и точечные группы симметрии G03, описывающие их внеш. форму. Последние названы также кристаллографическими классами.

Симметрия огранки кристаллов. Операциями точечной симметрии являются: повороты вокруг оси симметрии порядка N на 360°/N, отражение в плоскости симметрии (зеркальное отражение, рис. 6, б), инверсия I (симметрия относительно точки, рис. 6, в), инверсионные повороты N (комбинация поворота на 360°/N с одновременной инверсией, г). Вместо инверсионных поворотов иногда рассматривают зеркальные повороты N.

Геометрически возможные сочетания этих операций определяют ту или иную точечную группу (рис. 7), которые изображаются обычно в стереографической проекции. При преобразованиях точечной симметрии по крайней мере одна точка объекта остаётся неподвижной - преобразуется сама в себя. В ней пересекаются все элементы симметрии, и она является центром стереографической проекции.

Рис. 6. Простейшие операции симметрии: а - поворот: б - отражение: в – инверсия; г – скользящее отражение; д –винтовой поворот

4-го порядка.

Примеры кристаллов, принадлежащих к разным точечным группам или кристаллографическим классам: а -к классу m (одна плоскость симметрии); б - к классу с (один центр симметрии); в - к классу 2 (одна ось симметрии 2-го порядка); г - к классу 6 (одна зеркальная ось 6-го порядка).

Точечные преобразования симметрии q[x1,x2,х3] = x'1,x'2,х'3описываются линейными уравнениями: т. е. матрицей коэффициента (аij). Напр. , при повороте вокруг х3 на угол а = 360°/N матрица коэффициента имеет вид: а при отражении в плоскости x1 , x2, имеет вид:

Поскольку N может быть любым, число групп G30 бесконечно. Однако в кристаллах ввиду наличия кристаллической решётки возможны только операции и соответственно оси симметрии до 6-го порядка (кроме 5-го), которые обозначаются символами: /, 2, 3, 4, 6, а также инверсионные оси: I (она же центр симметрии), 2 = т (она же плоскость симметрии), 3, 4, 6. Поэтому количество точечных кристаллографических групп, описывающих внешнюю форму кристаллов, ограничено. Эти 32 группы С. к. приведены в таблице. В международные обозначения точечных групп входят символы основных (порождающих) элементов симметрии, им присущих. Эти группы объединяются по симметрии формы элементарной ячейки (с периодами а, b, с и углами А(альфа), В(бетта), у(гамма)) в 7 сингоний кристаллографических - триклинную, моноклинную,

ромбическую, тетрагональную, тригональную, гексагональную и кубическую. Принадлежность кристалла к той или иной группе определяется гониометрически или рентгенографически.

Группы, содержащие лишь повороты, описывают кристаллы, состоящие только из совместимо равных частей. Эти группы наз. группами 1-го рода. Группы, содержащие отражения, или инверсионные повороты, описывают кристаллы, в которых есть зеркально равные части (но могут быть и совместимо равные части). Эти группы наз. группами 2-го рода. Кристаллы, описываемые группами 1-го рода, могут кристаллизоваться в двух энантиоморфных формах, условно названы "правой" и ''левой", каждая из них не содержит элементов симметрии 2-го рода, но они зеркально равны друг другу.

Точечные группы описывают симметрию не только кристаллов, но любых конечных фигур. В живой природе часто наблюдается запрещённая в кристаллографии симметрия с осями 5-го, 7-го порядка и выше.

Например, для описания регулярной структуры сферических вирусов, в оболочках которых соблюдаются кристаллографические принципы плотной укладки молекул, оказалась важной икосаэдрическая точечная группа 532.

Симметрия физических свойств кристаллов. Предельные группы. В отношении макроскопических физических свойств (оптических, электрических, механических и др. ), кристаллы ведут себя как однородная анизотропная среда, т. е. дискретность их атомной структуры не проявляется. Однородность означает, что свойства одинаковы в любой точке кристалла, однако при этом многие свойства зависят от направления.

Зависимость от направления можно представить в виде функции и построить указательную поверхность данного свойства (рис. 8). Эта функция, которая может быть различной для разных физических свойств кристалла (векторной или тензорной) имеет определённую точечную симметрию, однозначно связанную с группой симметрии огранения кристалла.

Рис. 8. Поверхность, описывающая оптическую активность кристалла кварца; знаки (+) и

(-) указывают противоположные направления вращения плоскости поляризации.

Обозначения и названия 32 групп точечной симметрии

Обозначения Соотношение констант

Сингония Названия элементарной ячейки международные По Шенфлису

1 C1 Моноэдрическая a ≠ b ≠ c

Триклинная 1 C1 Пинакоидальная α≠β≠γ≠90°

2 C2 Диэдрическая осевая a ≠ b ≠ c

Моноклинная Диэтдрическая безосная m C1 Призматическая α=γ=90°

2/m C2h β≠90°

222 D2 Ромбо-тетраэдрическая a ≠ b ≠ c

Ромбическая Ромбо-пирамидальная mm C2v Ромбо-дипирамидальная

mmm D2h α=β=γ=90°

4 C4 Тетрагонально-пирамидальная

Тетрагональная Тетрагонально-трапецоэдрическая

422 D4 Тетрагонально-дипирамидальная a = b ≠ c

Дитетрагонально-пирамидальная

4/m C4h Дитетрагонально-дипирамидальная α=β=γ=90°

Тетрагонально-тетраэдрическая

4mm C4v Тетрагонально-скаленоэдрическая

4/mmm D4h

42m D2d

3 C3 Тригонально-пирамидальная a = b = c

Тригональная Тригонально-трапецоэдрическая

32 D3 Дитригонально-пирамидальная α=β=γ≠90°

Ромбоэдрическая

3m C3v Дитригонально-скаленоэдрическая

Тригонально-дипирамидальная

62m D3h Дитригонально-дипирамидальная

Гексагональная Гексагонально-пирамидальная

6 C6 Гексагонально-трапецоэдрическая a = b ≠ c

Гексагонально-дипирамидальная

62 D6 Дигексагонально-пирамидальная α=β=90°

Дигексагонально-дипирамидальная

6/m C6h γ=120°

6mm C6v

6/mmm D6h

23 T Тритетраэдричес-

Кубическая кая m3 Th Дидодекаэдричес- a = b = c кая

43m Td Гексатетраэдрическая α=β=γ=90°

Триоктаэдрическая

43 O Гексоктаэдричес-

m3m Oh кая

Многие из свойств кристаллов, принадлежащих к определённым классам, описываются предельными точечными группами, содержащими оси симметрии бесконечного порядка, обозначаемые ∞ (бесконечность). Наличие оси ∞ означает, что объект совмещается с собой при повороте на любой, в т. ч. бесконечно малый угол. Таких групп 7, они представлены на рис. 9 образцовыми фигурами и соответствующими символами. Таким образом, всего имеется 32 + 7 = 39 точечных групп, описывающих симметрию свойств кристаллов. Зная группу симметрии кристаллов, можно указать возможность наличия или отсутствия в нём некоторых физических свойств.

Пространственная симметрия атомной структуры кристаллов (кристаллической решётки) описывается пространственными группами симметрии Gз3.

Характерными для решётки операциями являются три некомпланарных переноса а, b, с, наз. трансляциями, которые задают трёхмерную периодичность атомной структуры кристаллов. Сдвиг (перенос) структуры на векторы а1, b2, с3 или любой вектор t = p1 a1 + р2b2 + p3c3, где p1, p2, р3 - любые целые положительные или отрицательные числа, совмещает структуру кристалла с собой, и следовательно, является операцией симметрии, удовлетворяющей условиям (5, а, б). Параллелепипед, построенный на векторах а, b и с, назван параллелепипедом повторяемости или элементарной ячейкой кристалла (рис. 10,а,б). В элементарной ячейке содержится некоторая минимальная группировка атомов, "размножение" которой операциями симметрии, в т. ч. трансляциями, образует кристаллическую решётку. Элементарная ячейка и размещение в ней атомов устанавливается методами рентгеновского структурного анализа, электронографии или нейтронографии.

Вследствие возможности комбинирования в решётке трансляций и операций точечной симметрии в группах Gз3 возникают операции и соответствующие им элементы симметрии с трансляционной компонентой - винтовые оси различных порядков и плоскости скользящего отражения (рис. 9, д).

Рис. 10. Элементарные ячейки кристаллов: a - K2PtCl6; б - СuС12 х2Н2О.

Всего известно 230 пространственных (Федоровских) групп симметрии Gз3, и любой кристалл относится к одной из этих групп. Трансляционные компоненты элементов микросимметрии макроскопически не проявляются, например винтовая ось в огранке кристаллов проявляется как соответствующая по порядку простая поворотная ось. Поэтому каждая из 230 групп Gз3 макроскопически сходственна с одной из 32 точечных групп. Например,

точечной группе ттт или D2h сходственны 28 пространственных групп. Совокупность переносов, присущих данной пространственной группе, есть её трансляционная подгруппа, или Браве решётка; таких решёток существует 14.

СИММЕТРИЯ СЛОЕВ И ЦЕПЕЙ. Для описания плоских или вытянутых в одном направлении фрагментов структуры кристаллов могут быть использованы группы G23 - двумерно периодические и G13 -одномерно периодические в трёхмерном пространстве. Эти группы играют важную роль в изучении биологии структур и молекул. Например, группы G23 описывают строение биологических мембран, группы G13 - цепных молекул (рис. 11,а) палочкообразных вирусов, трубчатых кристаллов глобулярных белков (рис. 11,б), в которых молекулы уложены согласно спиральной (винтовой) симметрии, возможной в группах G13.

а - молекула ДНК; б - трубчатый кристалл белка фосфорилазы(электронномикроскспический снимок, увеличение 220000).

ОБОБЩЕННАЯ СИММЕТРИЯ

В основе определения симметрии лежит понятие равенства (5,б) при преобразовании (5, а). Однако физически (и математически) объект может быть равен себе по одним признакам и не равен по другим. Например, распределение ядер и электронов в кристалле антиферромагнетика можно описать с помощью обычной пространственной симметрии, но если учесть распределение в нём магнитных моментов (рис. 9), то "обычной", классической симметрии уже недостаточно. К подобного рода обобщениям симметрии относится антисимметрия и цветная симметрия. В антисимметрии в дополнение к трём пространственным переменным x1, x2, х3

вводится добавочная, 4-я переменная х4= ±1. Это можно истолковать таким образом, что при преобразовании (5, а) функция F может быть не только равна себе, как в (5,6), но и изменить знак. Условно такую операцию можно изобразить изменением цвета.

Существует 58 групп точечной антисимметрии Go3,а и 1651 пространственная группа антисимметрии Сз3,а (шубниковских групп). Если добавочная переменная приобретает не два значения, а несколько (возможны числа 3, 4, 6, 8,. , 48), то возникает "цветная'' симметрия Белова. Так, известна 81 точечная группа Go3,ц. Основные приложения обобщённой симметрии в кристаллографии - описание магнитных структур.

Другие обобщения симметрии: симметрия подобия, когда равенство частей фигуры заменяется их подобием, криволинейная симметрия, статистическая симметрия, вводимая при описании структуры разупорядоченных кристаллов, твёрдых растворов, жидких кристаллов, и др.

При подготовке материала для своего реферата я узнала много нового: например, про симметрию огранки кристаллов или про симметрию клетки ДНК. Также я научилась применять приобретенные геометрические знания для описания и анализа закономерностей, существующих в окружающем мире. Еще я получила возможность ознакомиться с научно-популярной литературой по проблеме взаимосвязи симметрии и искусства, литературы или архитектуры, и провела поиск информации, необходимой для подтверждения или опровержения фактов. Также у меня создалось представление о симметрии как части науки математики, возникшей из потребностей человеческой практики и развивающейся из них, а также собственных внутренних закономерностей. Я думаю, что я не зря потратила время при подготовке моего реферата.