Филосовские аспекты математики

Элемент изящества, элемент эстетики присутствует в творчестве ученого, несмотря на то, что конечный продукт часто выражен в сухих цифрах, в формулах, в непонятных для неподготовленного ума уравнениях.

Энгельгардт В. А.

"Эстетика - (греч. aesthesis - чувственное восприятие) - "наука о закономерностях эстетического освоения человеком мира, о сущности и формах творчества по законам красоты". Если в прошлом эстетика была связана в основном лишь с философией и искусствознанием, то теперь она привлекает для решения своих проблем различные общественные и естественные науки, и даже математику.

В данной работе делается попытка хотя бы приблизительно охарактеризовать эстетический элемент в математике, осмыслить его содержание, предложить примерный материал, способный помочь связать две, казалось бы, совершенно разные науки - "математику" и "эстетику", привлечь внимание к математике красоты и к красоте самой математики.

<<. счастлив тот математик, у которого сосредоточенное изучение абстрактных наук не причинит ущерба вкусу в области изящных искусств, кому Гораций и Тацит будут столь же близки, как и Ньютон.>> Д. Дидро.

В течение 10 лет изучают математику в средней школе. Знание математики дается большим трудом, но этот труд оправдан той огромной пользой, которую получит каждый, изучивший хотя бы элементарные вопросы этой замечательной науки. Не зря английский философ Роджер Бэкон еще в 1267 году утверждал: "Тот, кто не знает математики, не может узнать никакой другой науки и даже не может обнаружить своего невежества".

Цель данной работы - раскрыть поэзию этой важнейшей науки, показать подчас кажущуюся невероятность многих её выводов, красоту и логическую стройность теорий, всеобщность её законов и их практическую ценность, а так же представить математику не как абстрактную науку, включающую собрание отвлеченных формул, а как живую, необходимую область знания.

Математику принято относить к точным наукам. И считают, что если прозвенел звонок на этот урок, то всё постороннее - литература, искусство, поэзия - должно уступить место точному эксперименту, строгому доказательству и формулам. Оставляя, естественно, за последними методами решающую роль, следует, однако, признать ошибочным мнение о несовместимости науки и искусства на уроках математики.

Красота! Казалось бы, это понятие, лишенное практичной ценности, материальности, очевидной полезности, не играющее существенной роли, в жизни людей является чем-то второстепенным, маловажным. Но почему же с давних пор не прекращается исследования этого непознанного чуда, почему человек издавна стремится окружить себя красивыми вещами. Но человек не только создавал красивые предметы, не только любовался ими, он всё чаще задавался вопросом: почему этот предмет красив, он нравится, а другой, очень похожий, не нравится, его нельзя назвать красивым? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику. В философской энциклопедии дано следующее определение эстетики: << Эстетика - это философская наука о прекрасном в действительности и искусстве, об особенностях познания и преобразования мира "по законам красоты", об общих закономерностях искусства, художественного творчества и эстетического воспитания человека ".

прекрасное. возвышенное. безобразное. низменное. комическое. трагическое.

Это всё категории эстетики! Но какова же связь эстетики с математикой?! А связь есть, и мы сегодня поговорим о красоте математики и о математике красоты.

Эстетика и математика

Казалось бы, причём здесь чувства, если речь идет о точнейшей из наук. Между тем, математика- наука эстетическая: красота вычислений, закономерность доказательств, корректность, как говорят специалисты, решения задач. Даже абстрактность математики, при внимательном рассмотрении, оказывается её эстетической особенностью. Совершенство языка математики, красота теории, изящество доказательств и решения задач - всё это эстетика математики.

Эстетическое содержание математики

<<Поэты всегда изображают Венеру в сопровождении трех граций, желая этим подчеркнуть, что даже такая красавица не может без них обойтись. Мне думается, что этих трех спутниц, следовало бы дать и Минерве, ибо без них всякая наука очень скучна>>.

Честерфилд.

Г. Х. Харди в замечательном очерке (Hardy G. D. Mathematician's apology. Cambridge. At the university press 1941), говоря о доминирующих побуждениях к научному творчеству вообще и математическому в частности, замечает, что очень трудно определить математическую красоту так же, как и всякую красоту другую. Мы не можем полностью знать, что мы подразумеваем под прекрасной поэмой, но это не мешает нам признать её красоту, когда мы её прочитаем. Трудно найти образованного человека, совсем нечувствительного к эстетической привлекательности математики. Но отдать ей жизнь и быть убежденным, что математик, подобно художнику или поэту, создает прекрасные узоры, - на это готов лишь тот, кому красота математики представляется как безусловная и несомненная реальность и кто в общении с этой красотой находит смысл и цель существования. Такие люди могут повторить вслед за Харди: << В мире нет места для некрасивой математики!>>.

Наличие эстетического элемента в математике подтверждают, прежде всего, сами её творцы. Пуассону казалось, например, что жизнь красна двумя вещами: возможностью изучать математику и возможностью преподавать её. Якоби утверждал: <<Математика принадлежит к числу тех наук, которые ясны сами по себе>>. Знаменитый афоризм Паскаля гласит: <<То, что может превышать геометрию, превышает нас>>.

Опыт приводит к мысли о том, что источником эстетического воздействия математики являются некоторые её особенности.

1). К характерным особенностям математики относится, прежде всего, её абстрактность. Известно, что каждое отдельно взятое понятие математики трудно усваивается, потому что все они, начиная с простейших, очень абстрактны. Но у абстрактности есть достоинства, которые не могут не нравиться. Математическое абстрагирование естественнонаучной, инженерной или экономической проблемы позволят проникать глубже и точнее в течение явлений, чем непосредственное их наблюдение и экспериментальное изучение. При этом математика не только способствует более глубокому пониманию решения, найденного естествоиспытателем, инженером или экономистом, но и существенно обобщает первоначальную постановку проблемы. В абстрактности математики её сила и престиж.

Абстрактностью математики определяется заложенная в этой науке почти не ограниченная возможность создания новых "структур" и, в соответствии с установленными "правилами игры ", извлечения новых выводов и следствий. В абстрактности математики - гарантия её неиссякаемости. Следствием абстрактности является " простота и доходчивость ", которые и являются эстетическим эффектом.

2). Вторую важную особенность математики составляют её дедуктивный характер и то исключительное место, которое в ней занимает логика. Эта особенность сводит всю суть математики к доказательству. И совсем не трудно понять тех, кто утверждает, будто самые лучшие доказательства в математике кратки и точны, как эпиграммы, а в самых длинных слышны ритмы музыки. Но, пожалуй, никто не передает так верно эстетику математического доказательства, как Харди:" Математик так же, как художник или поэт, создает узоры. И если эти узоры более устойчивы, то лишь потому, что они составлены из идей. Узоры математики так же, как узоры художника или поэта, должны быть прекрасны; идеи так же, как цвета или слова, должны гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое требование: в мире нет места для некрасивой математики ". Логика сводит отдельные лишенные предметной самостоятельности математические понятия -абстракции в систему, придавая ей форму, способную служить предметом эстетического восприятия.

3). Математике, в отличие от некоторых других дисциплин, чужды споры, происходящие от неполного определения употребляемых в ней понятий. Поэтому её выводы непреложны. По справедливому замечанию А. Д. Александрова, " логически допустимо нарушение законов физики, но невообразимо, чтобы дважды два не было четыре ". Никакой результат математики не зачеркивается её дальнейшим развитием. Однажды доказанная теорема уже никогда не становится неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру и общий их запас может лишь возрастать.

Учитывая сказанное, нельзя не вспомнить без улыбки те дни, когда Парижская академия наук, по философским соображениям, упорно опровергала факт сплющенности Земли и после того, как он был математически обоснован Ньютоном. С тех пор многое изменилось. Теперь уже всем ясно, что в математике никогда, ни на каком уровне не встречаешься с мнением (допускающим вымысел), но всегда имеешь дело с истиной, достойной абсолютного доверия.

4). Абстрактный аксиоматический метод, составляющий стиль современной математики, открывает нам ещё одну её удивительную особенность - единство частей. Отражением глубокого ощущения единства математики являются идеи аналогии, модели, изоморфизма, которые постоянно возрождаются на почве этого ощущения. Идеи модели и интерпретации одной математической теории с помощью другой восходят, как полагают, к Пифагору. Их последующее развитие связано с именами Декарта, Ферма и Лейбница. В математике постоянно имеют дело с аналогией. О ней восторженно отзывается Кеплер, говоря, что аналогии известны все секреты природы. С её помощью открывается редкой красоты числовые зависимости, теоремы, формулы. Решая школьную задачу, мы также часто обращаемся к аналогии, при этом, как замечает Д. Пойа, мы можем считать, что нам повезло, если, пытаясь решить данную задачу, мы находим более простую аналогичную задачу.

5). Ещё в 1678 г. Лейбниц писал, что " знаки "коротко выражают и как бы отображают глубочайшую природу вещи и при этом удивительным образом сокращается работа мышления ". Действительно, математические символы чрезвычайно быстро передают информацию и обеспечивают удобство её переработки. Когда они несут большой объём информации, формулы приобретают особую компактность, а формальные преобразования - лёгкую обозримость. Правда, символический язык математики не универсален. Он, в частности, лишен экспрессивного значения и не приспособлен к передаче эмоций, поскольку они пока логически не определены. Но мы не рассматриваем это как недостаток нашей символики и лишь признаем вместе с Фурье, что " у нас нет знаков для выражения неясных понятий "

6). Шестую важную особенность математики составляет её полезность. Часто полезность математики связывают с универсальностью её применений. Интересны в оценке полезности слова математиков М. Кац и С. Улама; " Математика - это замкнутый в себе микрокосм, обладающий, однако, мощной способностью отражать и моделировать любые процессы мышления и, вероятно, всю науку вообще. Она всегда приносила большую пользу и ещё в большой мере продолжает приносить её сейчас. Можно даже пойти дальше и сказать, что математика необходима для покорения природы человеком и вообще для развития человека как биологического вида, ибо она формирует его мышление ".

Многие приходят к математике, руководствуясь также соображениями её полезности и рассматривая её изучение как необходимый этап подготовки ума к усвоению естественных и некоторых других наук. Этот взгляд на математику разделялся и раньше, но особенно много сторонников он приобрел в наше время. Из всех особенностей математики, пожалуй, наиболее примечательна её полезность. Иногда она заслоняет всё остальное. Мы же более согласны с Гете в том, что " польза - лишь часть того, что имеет значение ".

7). Любая наука могла бы гордиться такой историей, как история математики, ибо она менее всего история ошибок.

История математики - это не простой суммарный учет возрастающего запаса математических знаний, но, что особенно характерно, отражение лежащего в основе этого возрастания явления преемственности. Преемственность не нарушали ни многовековые перерывы в развитии математической мысли, ни потрясавшие современников научные революции. Так, понятие множества, например, послужившее, как некоторые полагают, семенем, началом жизни доисторической математики, и сегодня остается фундаментом здания математической науки.

История математики тысячами нитей связана с историей - других наук, историей техники, историей искусства, она - существенная часть истории человеческой культуры. В ней ясно обозначен вклад в математику ученых - представителей народов Востока и Запада, древних и новых, больших и малых. В ней есть главы, посвященные отдельным людям и их научным подвигам. Эти главы нельзя читать без волнения. Обычно человека покоряет одна из особенностей математики, например алгоритмичность, а затем и все остальные. Субъективность эстетических оценок математики объясняется разнообразием ее свойств. Некоторые из перечисленных особенностей математики присущи, разумеется, не только исключительно ей, но в той или иной степени и другим наукам. Однако, в отличие от других наук, в математике они выступают все вместе в полной мере и со всей очевидностью. Кроме воспринимаемых как эстетические ценности изложенных особенностей непосредственно самой математики, к ее эстетическому содержанию следует отнести и ее связи с миром красоты окружающей действительности, под которым понимается красота в технике, искусстве и природе.

Математика в технической эстетике, стандартизации и квалиметрии

Изучением и решением проблем красоты и качества предметов труда сегодня специально занимаются техническая эстетика, стандартизация и квалиметрия. Эти отрасли знания имеют дело с числом и формой так часто, что без математики просто не могли бы существовать.

1). Глубокие изменения в экономике и технике, резкое обострение конкуренции в торговле в XX в. совершенно по-новому поставили вопрос о качестве и оформлении промышленной продукции и потребовали его научного решения. Так в 20-х годах возникла новая практическая область человеческой деятельности, а вместе с ней и новая наука, получившая, название технической эстетики или дизайна. Предметом этой науки является художественное конструирование окружающей человека материальной среды.

Во всех странах технической эстетике уделяется большое внимание. Объясняется это тем, что "обеспечение качества продукции рассматривается во всем мире как основная проблема национальной экономики, от которой зависят темпы промышленного развития страны, ее национальный престиж".

Требования, предъявляемые технической эстетикой к изделиям, реализуются в процессе художественного конструирования. Роль художника-конструктора в современной промышленности аналогична роли архитектора в строительстве. По крайней мере, тот и другой имеют дело с формой, пропорциями и потому в своей практике пользуются математикой.

а). Форма. При разработке проблемы зрительного восприятия машин художники-конструкторы пользуются арифметической и геометрической прогрессиями.

Существует достаточно много методов, которые используются художниками-конструкторами при проектировании и задании сложных поверхностей.

б). Цвет. Основываясь на достижениях физиологии цветового восприятия, на физике цвета и используя принципы композиционного анализа, математика интерпретирует аналитику цветовой гармонии в виде некоторой логарифмической зависимости.

в). Пропорции. При создании эстетически выразительных форм конструкций огромную роль играет пропорциональность, соотношение размеров основных узлов между собой и всей конструкции в целом. Иными словами, пропорции являются наиболее действенным средством организации множества элементов композиции в единую гармоническую систему. Из пропорциональных систем, применяемых в технической эстетике, основными являются: модуль, метод подобия и "золотое сечение".

г). Применение ЭВМ. Большое место в вопросах технической эстетики занимают проблемы исследования систем человек - машина, связанные с поиском объективных, точных методов изучения человека как звена этой системы. Особенно актуальной является задача изучения морального фактора, эмоциональных характеристик состояния человека, его работоспособности. В решении этой задачи все чаще применяется математика и ее методы, которые открывают совершенно новые возможности для объективного и автоматического анализа сложных динамических систем неизвестной структуры. Из сказанного следует, что математика "входит" в техническую эстетику по двум направлениям:

- по линии выражения языком математики установленных закономерностей;

- по пути установления новых теоретических положений с помощью математических методов.

2). Стандартизация - это новая область знания, изучающая действие стандартов, их влияние на качество продукции, на ее надежность и долговечность, на производительность труда, на прогресс техники, на специализацию и автоматизацию производства. Под словом "стандарт" понимается узаконенное предписание. Различают стандартизации фактическую и официальную. Первая возникла в древности. Ее проявлениями служат: письменность, нумерация, моральные нормы и многое другое. Официальная стандартизация отражается в некоторых официальных актах: выпуск стандартов, эталонов или иных нормативно-технических документов, имеющих вполне определенную форму, систему индексов, порядок утверждения, изменения и отмены, степень обязательности и т. п. (Например, введение Международной системы единиц СИ. )

Стандартизация имеет непосредственное отношение к технической эстетике. Последняя, устанавливая взаимосвязи между человеком и окружающей его средой, разрабатывает требования к промышленным изделиям с позиций человека-потребителя. Эти требования (в совокупности с другими требованиями) выражаются в форме технических законов-стандартов, нормативов, действующих на всех этапах формирования качества.

В своем развитии стандартизация опирается на данные ряда смежных дисциплин в области конструирования машин и приборов, технологии их изготовления и т. д. , а также характеризуется самым тесным взаимодействием с математикой.

3). Область практической и научной деятельности, связанная с разработкой теоретических основ и методов количественной оценки качества продукции, получила название - "квалиметрия".

Квалиметрия подразделяется на теоретическую и прикладную. Содержанием теоретической квалиметрии являются общие методологические проблемы количественной оценки качества, а также развитие математических методов, направленных на преодоление общих трудностей, характерных для многих конкретных методик и математических моделей, предназначенных для количественной оценки качества конкретных объектов разного вида и назначения.

Кроме количественной оценки качества продукции, методы квалиметрии применяются и для количественной оценки эстетичности. Представление о конкретных задачах, которые при этом решаются, дает библиография работ по вопросам квалиметрии. "Квалиметрия в своем арсенале имеет математические методы. В частности, широко применяются методы теории вероятностей и статистические методы. Квалиметрия должна разрабатывать математические модели рассматриваемых процессов и широко использовать интенсивно развивающийся в настоящее время математический аппарат, отражающий общие потребности количественных методов обоснования управляющих решений, К этому аппарату, в частности, относятся: линейное, нелинейное и динамическое программирование, теория оптимального управления, теория массового обслуживания, теория игр, специальные разделы теории случайных процессов, статистическое моделирование процессов на ЭВМ".

Рассмотренный материал показывает, что связь математики с красотой в технике действительно существует и выражается в непосредственном участии математики в проектировании, расчете и, в конечном счете, в создании этой красоты.

Математические жемчужины

Обратимся теперь к некоторым конкретным примерам математической красоты, ощущаемой с первого взгляда.

1). Красота и точность выполнения чертежей. Эстетика геометрической формы, в частности эстетика линии, привлекала к себе внимание не только математиков. Так, по мнению Студничка, автора книги " Принципы прекрасного" "самая простая кривая форма - круг ", она производит на нас приятное впечатление. Удовольствие, испытываемое нами при виде кривой линии, бывает тем сильнее, чем сложнее её принцип; в эллипсе есть более привлекательное, чем в круге, а овал, спираль и волнистая линия более приятны, чем эллипсы". Это, конечно, только мнение.

Интересен пример Гёте, видевшего в спирали математический символ жизни. Его мысль о том, что " природа стремиться к спирали ", подтверждается действительностью: спиральные туманности, устройство раковины, шляпки подсолнечника, еловой шишки, козьего рога и т. д. Даже вспугнутое стадо северных оленей разбегается по спирали.

2). Совершенство языка математики, строгость, корректность и лаконичность математической записи, законченность и изящество доказательств.

3). Хорошо сделанные модели геометрических тел. Из новых работ, посвященных красоте пространственных форм, следует указать книгу - альбом М. Веннинджера " Модели многогранников ". Это прекрасный образец той самой "радости формы ", которая по словам Клебша, "создает геометра ". Правильные многогранники, параллелоэдры, правильные системы фигур, многие фигуры и построения, служащие доказательству теорем, представляют вещи, красивые сами по себе, даже независимо от их математического содержания. Но как всякая форма содержательна и красота её" тем больше, чем более богатое содержание она формирует и выражает, так непосредственная красота геометрических форм неизмеримо обогащается, когда раскрывается её математическое содержание и значение.

Алмаз становится бриллиантом, когда он огранён должным образом, т. е. превращен в определённый многогранник.

4). Красивые задачи. В предисловии к своей книге " Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями " Мостеллер говорит о том, что делает задачу занимательной: " Задача может быть занимательной по многим причинам: потому, что интересно содержание условия, потому, что интуитивно не понятен возможный ответ, потому, что она иллюстрирует важный принцип, потому, что задача обладает большой степенью общности, потому, что она трудна, потому, что в решении спрятана "изюминка", или просто потому, что ответ элегантен и прост ". Теми же причинами, вероятно, можно объяснить и красоту задачи. Все согласны с тем, что есть красивые задачи, но в отношении к этой красоте неизбежен элемент субъективности, зависящий, в частности, от склада ума - геометрического или аналитического.

Задача из художественной литературы:

Надпись на могильном камне Диофанта.

От греческого поэта и математика IV века нашего летоисчисления Метродора до нас дошел ряд стихотворений, в том числе, которых 31 математическое. Одно из них, по приданию, является надписью на могильном камне гениального математика конца III века нашего летоисчисления Диофанта, о жизни которого нам, кроме этого, ничего не известно. Надпись эта в переводе, подражающем древним стихам, такова:

<<Путник, здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать

Могут, о чудо, тебе, сколь долог был век его жизни.

Частью шестою всей жизни явилось прекрасное детство,

Двунадесятая часть протекла ещё жизни, покрылся

Пухом его подбородок; седьмую прожив ещё долю,

Браком себя сочетал Диофант. Жизни брачной год пятый.

Был осчастливлен рожденьем премилого первенца сына,

Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой

Дал на земле по сравненью с отцом, и в печали глубокой

Старец земного удела конец воспринял, переживши

Года четыре, с тех пор как он сына лишился. Скажи мне,

Сколько лет жизнь Диофанта длилась в этом мире прекрасном? ".

Кто-то изложил решение латинскими стихами размера надписи. Вот попытка передать эти стихи в русском переводе.

" Иксом число неизвестных обозначив

Ты уравненье составь, хорошенько подумав,

Член его первый - шестой будет долею икса,

Дальше - двенадцатой частью, а также седьмою.

Ты увеличь результат, не забыв половину

Пять и четыре добавив, ты икс и получишь

Действия все совершив, ты увидишь, коль скоро

Не пропустил ничего, что тот возраст героя

Восемь десятков с четверкой составит годов>>.

Математически решение будет выглядеть так:

Пусть х - число неизвестных годов Диофанта, составим уравнение и решим его: х6 + х12 + х7+ х2+ 5+4 = х; х + 84; Итак, Диофант прожил 84 года.

5). Кроме неоспоримо практического значения, искусство устного счета на определенной ступени своего совершенства становится эстетическим явлением. Именно эту идею передаёт известная картина Н. П. Богданова - Вельского " Устный счёт ".

Народ, создавший " Махабхарату" и " Рамаяну ", эти шедевры художественной фантазии, обладал и чрезвычайно высокой вычислительной культурой, точнее, культурой устного счета, известного у древних индийцев под поэтическим названием "воздушного счёта ".

Допустим, надо умножить 96 на 92. Дополнение до 100 - соответственно 4 и 8. Отнимаем от первого сомножителя дополнение второго (96 - 8 = 88) или от второго сомножителя дополнение первого (92-4 = 88) И в том, и в другом случае получаем 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4∙8 = 32) 32 - это последние цифры произведения. Итак, 96 ∙ 92 = 8832. На схеме это выглядит так: 96 4

6). В математике есть формулы, по содержанию необъятные, как "Божественная комедия ", и по форме краткие и выразительные, как японские трехстишия " кокку ". Эти формулы - лучшая иллюстрация к словам Генриха Манна о том, что слишком большая концентрация мысли невольно приводит к стихам. Одним из таких шедевров компактности является соотношение εiPI + 1 =0, представляющее собой следствие формулы Эйлера: еiPI = cos x + sin x.

Эстетический эффект этого соотношения объясняется его сжатостью и глубиной смысла, который оно выражает и который трудно передать в нескольких словах. В этот удивительной красоты минимум знаков, как цветы в прекрасный венок, вплелись пять "господствующих [г] в математике чисел: 0, 1, е, PI, i. О каждом из них написана не одна книга.

7). И, наконец, божественная пропорция - жемчужина из жемчужин.

О природе пропорций хорошо сказано у Платона: ". Однако два члена сами по себе не могут быть хорошо сопряжены без третьего, ибо необходимо, чтобы между одним и другим родилась некая объединяющая их связь. Прекраснейшая же из связей такая, которая в наибольшей степени единит себя и связуемое, и задачу эту наилучшим образом выполняет пропорция>>.

Сказанного, по-видимому, достаточно, чтобы составить представление о математических жемчужинах, так что я ограничусь приведенными фактами, и предоставляю всем желающим возможность самостоятельного извлечения подобных "жемчужин" из глубин океана математики по собственному вкусу. Закончить хотелось бы словами Харди: " В мире нет места для некрасивой математики ". Пришло время поговорить об удивительном озарении Пифагора. Вот как об этом писал Йоган Кеплер: " Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое -деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень".

Золотая пропорция

"Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень".

И. Кеплер

Сейчас невозможно достаточно установить ни человека, впервые открывшего золотую пропорцию, ни время когда это произошло. Очевидно, её неоднократно открывали, забывали и открывали заново в разное время и в различных странах. Многие исследователи считают первооткрывателем золотой пропорции греческого математика и философа Пифагора.

Пифагор родился в 570 году до н. э. на острове Самосе. В знак протеста против тирании Ноликрата он покинул родной остров и отправился в путешествие по странам Востока. По свидетельству историков, он посетил Египет, где попал в плен к персидскому завоевателю Камбузу, и его увели в далекий Вавилон. Здесь жрецы посвятили его в свои науки и дали возможность изучить теорию чисел, музыку, философию.

В зрелом возрасте Пифагор поселился в Кротоне, где основал строго закрытое общество своих последователей ("пифагорейский союз"), уже при жизни почитавших его как высшее существо. Теперь уже невозможно разграничить то, что сделано собственно Пифагором, а что является плодом коллективного творчества его учеников и последователей. Пифагорейцам принадлежат выдающиеся заслуги в развитии математики, философии, теории музыки, которые не утратили своего значения и по сей день.

Музыка, гармония и числа - эти, три понятия неразрывно связаны друг с другом в учении пифагорейцев. Математика являлась одной из основ их религии. Пифагорейцы считали, что бог Дионис положил число в основу мировой организации, в основу порядка; оно отражало единство мира, его начало, а мир представлял собой множество, состоящее из противоположностей. То, что приводит противоположности к единству, и есть гармония. Гармония является божественной и заключается в числовых соотношениях. Как отмечал Аристотель, пифагорейцы "видели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям. , элементы чисел они предположили элементами всех вещей и всю Вселенную гармонией и числом".

С именем Пифагора мы со школьной скамьи связываем теорему о сторонах треугольника - "теорему квадратов". Эта теорема удивительно красива: "Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов". В науке немного отыщется столь простых и красивых формул. Существует легенда, что открывший это соотношение Пифагор был восхищен и приказал в честь выдающегося открытия принести в жертву богам сто быков. Впрочем, количество быков в других источниках уменьшено до одного. И неудивительно, ведь прошло столько времени!

Кроме знаменитой теоремы и золотой пропорции, Пифагору>> по свидетельству историков, принадлежат фундаментальные работы в теории музыки, открытие иррациональных чисел, потрясших основы пифагорейской математики. Пифагором была создана модель Солнечной системы, основанная на аналогии в расположении планет и звуков музыкальной октавы.

Утверждение Пифагора "Всё есть число" и было основано на признании фундаментальной роли в природе простых целочисленных величин. Поэтому он и искал закономерности в небольших числах. Придавая каждому из них особую, часто мистическую роль. Возможно, что рассмотрение, глубокое и последовательное, простейших геометрических фигур и привело его к открытию математических законов.

Рассмотрим, например, простейший прямоугольный треугольник с отношением катетов 1:2. В этом треугольнике величина малого катета равна 1, а большого - 2. По теореме Пифагора длина гипотенузы в нем равна квадратному корню из 5. Этот треугольник был хорошо известен в древнем мире, во многих сооружениях того периода преобладают пропорции, равные отношениям катетов и гипотенузы прямоугольного треугольника со сторонами 1:2:5.

Рассмотренный треугольник был, конечно, хорошо известен и Пифагору и мог послужить основой для развития различных математических идей или для их подтверждения. Величина гипотенузы такого треугольника, равная 5, могла дать начало открытию несоизмеримых или иррациональных чисел. К тому же число "пять" у пифагорейцев считалось священным и служило свое - образным символом их союза.

Соотношения сторон а, b, с данного треугольника очень простые и понятные каждому, знающему основы геометрии: ав =1; са = 51; св = 52. Однако из этих величин следует и еще одно отношение а+св= 1+52, равное 1,618033. Это и есть золотая пропорция, которую обычно обозначают буквой Ф.

Таким образом, хорошо известный в древнем мире простой прямоугольный треугольник с отношением катетов 1: 2 мог послужить основой для открытия теоремы квадратов, золотой пропорции и несоизмеримых величин - великих открытий Пифагора.

Треугольник со сторонами 3: 4: 5 входит в число целого ряда прямоугольных треугольников, именуемых в древности "божественными", для которых справедливо отношение: а + b = с, где а, b, с, - целые числа. Вот некоторые из этих треугольников: 52 = 4[2] + З[2]; 13[2] - 12[2] + 5[2]; 25[2] = 24[2] + 7. 2

По существу, закономерности отношений сторон в этих треугольниках и выражают собой теорему, которая позже получила название теоремы Пифагора. Мы убедились, что красивы, могут быть не только произведения высокого искусства, творения Природы, но и геометрические фигуры, даже математические формулы.

1509 году в Венеции современник и друг Леонарда Винчи Лука Пачоли издал книгу " О божественной пропорции". В одной из глав он рассматривает правильный икосаэдр. В каждой вершине икосаэдра сходятся пять треугольников, образуя правильный пятиугольник. Если соединить между собой любые два противоположных ребра икосаэдра, получится прямоугольник, у которого большая сторона так относится к меньшей, как сумма сторон к большей.

Таким образом, золотая пропорция проявляется в геометрии пяти правильных многогранников, которые, по представлениям ученых древности, лежат в основе мирозданья. Платон считал, что атомы четырех элементов, из которых построен мир (огня, земли, воздуха и воды), имеют форму правильных выпуклых многогранников - тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра.

Платон писал: "Земля, если в глянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый из 12 кусков кожи". Конечно, это была интуитивно созданная, построенная на геометрических представлениях, картина мироздания. Она была чисто умозрительной, лишенной физической и экспериментальной основы. Ее главное и единственное преимущество заключалось в геометрической красоте.

Усилиями математиков золотая пропорция была объяснена, изучена и глубоко проанализирована. Казалось бы, вопрос исчерпан. Осталось лишь изучать проявление этой закономерности в природе, искать её практическое применение. Возможно, так бы и произошло, если бы не появилась в математике одна незаметная задача о кроликах: " Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается? ". Далее в задаче поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножаться кролики со второго месяца после своего рождения (конечно, всё это условно). В результате решения этой немудреной задачи получился ряд чисел 1, 2, 3, 5, 8,13,21,34, 55, 89, 144 и т. д. Этот ряд чисел был позже назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо (Fibonacci-сокращенно Filius Bonacci,то есть сын Боначи). Чем же примечательны числа, полученные Леонардо Фибоначчи? Рассмотрим этот ряд чисел: 1, 2, 3, 5, 8, 13,. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих чисел. На языке математики это записывается следующим образом: U1, U2, U3,. , Un, где Un= Un-1 - Un-2. Такие последовательности, в которых каждый член является функцией предыдущих, называют в математике рекуррентными. Рекуррентным является и ряд чисел Фибоначчи, а члены этого ряда называют числами Фибоначчи. Спустя четыре столетия после открытия Фибоначчи ряда чисел Иоганн Кеплер установил, что отношение рядом стоящих чисел в пределе стремится к золотой пропорции. На языке математики это выражается формулой Un+1/Un -> Ф, при n ->infinity. Здесь Ф =1,611803. является золотой пропорцией. Общепринято обозначение золотой пропорции буквой Ф - первой буквой имени Фибоначчи, т. к. "Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир". - И. Гёте.

Итак, подведем некоторые итоги. Мы доказали, что математика - наука эстетическая. А ведь есть и прямая связь математики с красотой природы, с искусством, с техникой. Есть все основания говорить не только о красоте математики, но и о математике красоты.

"Будь благословенно божественное число, породившее богов и людей", - Пифагор. Каждое настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики. Математика красоты. Для того, чтобы начать разговор на эту тему, мы должны выяснить, а что же представляет собой формула красоты.

Формула красоты

Сколько художников, поэтов, скульпторов, истинных ценителей прекрасного восхищались красотой человеческого тела! "Человеческое тело - лучшая красота на земле", - утверждал Чернышевский. В своей книге " Человек прекрасный " - философ И. Крюковский пишет: " Созерцая совершенное, прекрасное человеческое лицо и тело, невольно приходишь к мысли о каком-то скрытом, но явственно чувствующемся математическом изяществе его форм, о математической правильности и совершенстве составляющих его криволинейных поверхностей!".

Эталонами красоты человеческого тела, образцами гармонического телосложения, издавна и по праву считаются великие творения греческих скульпторов: Фидия, Поликтета, Мирона. В создании своих творений греческие мастера использовали принцип золотой пропорции. Одним из высших достижений греческого искусства может служить статуя "Дорифор", изваянная Поликтетом. Статуя полна спокойной уверенности, гармонии линий, олицетворяющих могущество физической силы. Широкие плечи примерно равны высоте туловища, а золотой пропорции отвечает положение пупка на теле атлета, голова восемь раз укладывается в высоте тела.

Шедевром красоты считается Афродита Милосская. О ней А. Фет написал замечательные строки. Статуя богини любви и красоты, изваянная Праксителем считалась его современниками величайшим чудом. Афродита изображена обнаженной, что почти не встречалось в ранних женских статуях, её образ дышит целомудрием. Уже тысячелетия пытаются люди найти математические закономерности в пропорциях тела человека, сложного, гармоничного. Для анализа этих пропорций тела человека нужна была единица измерения, какая-то часть тела. На протяжении многих веков отдельные части тела служили основой всех измерений, являлись единицами измерения. Так у древних египтян было три единицы длины: локоть, ладонь, пальцы. Мерой длины в Греции и Риме была ступня. В России - локоть, пядь, ладонь. Ещё в Древнем Египте за единицу измерения тела принимали длину стопы так, что высота человека составляет в среднем 7 длин его стопы. Подобные попытки предпринимались в Древней Греции. Единицей измерения служила голова, длина тела должна быть равной 8 размерам головы.

Золотая пропорция занимает ведущее место в художественных канонах Леонардо да Винчи. Высота лица относится к вертикальному расстоянию между дугами бровей и нижней частью подбородка, как расстояние между нижней частью носа и нижней частью подбородка относится к расстоянию между углами губ и нижней частью подбородка - это отношение равно золотой пропорции.

Известно, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие этого фигура человека вписывается в квадрат и в круг. Но соответствие квадрату приближенное, у людей могут быть отклонения от идеальной геометрии. Фигура человека с распростертыми руками вписывается не в идеальный квадрат со сторонами 1 и 1, а в живой квадрат с отношением сторон 0,525 : 0,472. Существует мнение, что пятилучевая симметрия проявляется в строении человеческих тел. И человеческое тело можно рассматривать, как пятилучевое, где лучами служат: голова, две руки и две ноги.

Пентаграммой называют позу человека с раздвинутыми на 180° руками и разведенными на 90° ногами. Такая модель применялась в построении Леонардо да Винчи.

Золотая пропорция тесно связана с рядом целых чисел, образующих ряд Фибоначчи. Числа отражают основную закономерность роста организма, строение человеческого тела. Займемся "инвентаризацией" частей человеческого тела. Нетрудно видеть, что в перечне частей тела встречаются числа Фибоначчи или близкие к ним величины. Ими буквально "нашпиговано" тело человека.

Золотая пропорция как невидимый, но строгий дирижер взмахами волшебной палочки эволюции отсчитывает числа органов, человека и числа частей в этих органов.

Человек, как и другие живые творения природы, подчиняется всеобщим законам развития. Корни этих законов нужно искать в строении клеток, хромосом и генов, и далеко в возникновении жизни на земле.

Математические основы законов красоты в искусстве

Знакомство с математикой древних и вызванная этим глубокая вера во всемогущество геометрических методов вселили в художников Возрождения уверенность в существо некоей математической формулы красоты, о которой было рассказано выше, а также надежду на возможность построения циркулем и линейкой изображения совершенного тела. Попытки таких построений продолжались долго. Интерес к ним остыл лишь после того, как Леонардо да Винчи высказался об относительности понятия совершенного тела. Известно, что Дюрер только в 1528 г. приходит к выводу, что "человеческое тело не может быть вычерчено с помощью линейки и циркуля, но должно быть нарисовано от точки к точке".

Математическая теория живописи

Один из величайших художников итальянского возрождения, выдающийся математик, механик, астроном, музыкант и инженер Леонардо да Винчи говорил: "В наставницы себе я взял природу, учительницу всех учителей ". Природу Леонардо понимал чрезвычайно широко: небесные светила и законы их движения, горы и тайны их возникновения, воды и ветры, свет солнца и жизнь растений, - словом, весь мир вкладывал художник в это понятие. Как часть природы Леонардо рассматривал и человека, тело которого подчинено физическим законам и в то же время служит "зеркалом его души". Свою любовь к природе - пытливую, деятельную, беспокойную - Леонардо да Винчи проявлял с одинаковой силой и в том, что стремился открыть законы природы, поставить её силы на службу человеку, и в том, что изображал окружающий мир, запечатлевая с одинаковым вниманием распускающийся цветок, выразительный жест человека и туманную дымку, заволакивающую далекие горы. Ведь для того, чтобы правдиво и реально изобразить окружающее, надо в него и всмотреться, и вдуматься. Сама наружность Леонардо являла высшую красоту: вьющиеся борода, мудрый, пронизывающийся взгляд. Искусство, наука, изобретательство тесно переплетались в деятельности Леонардо да Винчи.

Леонардо родился в окрестностях маленького городка Винчи, но уже в 14 - летнем возрасте переехал во Флоренцию. Отец отдал Леонардо на обучение в художественную мастерскую Андреа Верроннио - живописца и выдающегося скульптора, работающего также и области архитектуры, разностороннего, как многие образованные люди эпохи Возрождения. Немало опыта приобрел Леонардо в мастерской Верроннио и скоро оставил далеко позади и своих соучеников, и своего учителя. Откуда же почерпнул молодой художник эти знания, придавшие ему столько творческих сил. Леонардо с юных лет не расставался с записной книжкой: дома, на улице, за городом, он беспрестанно делал беглые наброски, зарисовывал поля, цветы, желуди, дерево, прекрасное девичье лицо, умывающуюся кошку, ноги коня, складки ткани. Он изучал природу, не пренебрегая ничем и не останавливаясь ни перед какими трудностями. Это стремление и умение наблюдать позволили ему живо подмечать и изображать то, перед чем останавливались художники старшего поколения. Его мысли приникали в будущее. Свидетельство тому рисунки летательных аппаратов.

Самый напряженный этап в развитии научной зрелости это 1482 -1499 г. г. Он нашел довольно крепкую почву для научных изысканий и для реализации своих технических проектов. Одна из его чисто геометрических работ - это картина " Мадонна в гроте". Здесь отчетливо проявилось умение располагать фигуры согласно чёткому и ясному геометрическому построению: они как бы вписаны в равнобедренный треугольник, вершина которого совпадает с головой Мадонны. Таким образом, он кладёт начало, впоследствии очень распространенной, пирамидальной проекции.

В построении пропорций человека Леонардо да Винчи исходит, прежде всего, из анализа многочисленных измерений самого человека, из его анатомии, а не из каких-то "высших" соображений, как это делали средневековые художники. Жажда научного знания, основанного на опыте и только опыте, отражает переворот в мышлении эпохи Возрождения, знаменует начало экспериментального естествознания. Стремление как можно глубже изучать пропорции и вообще строение человека, столь необходимые Леонардо - художнику, переросло в страсть к науке анатомии Леонардо - ученого. Составляемые им анатомические тетради явились вершиной анатомии того времени и по сей день остается непревзойденным образом синтеза науки и искусства. Свои исследования Леонардо не успел (а может быть и не хотел) систематизировать, и они остались рассыпанными в виде рукопашных набросков, в которых говорится обо всём на свете, а текст перемежается великолепными рисунками.

Что касается общего воздействия на искусство и науку того времени, то его трудно переоценить. Можно смело утверждать, что не было ни одного крупного художника, похожего не Леонардо да Винчи, в такой степени задействованного в стольких науках в период эпохи Возрождения. И для последующих веков искусство Леонардо да Винчи осталось одним из достижений человеческого гения.

Известнейшими художниками Возрождения были Леонардо да Винчи, Рафаэль, Микеланджело. Эпоха породила творцов-титанов.

В настоящее время в школах преподается вместо предмета "рисование" новый учебный предмет " изобразительное искусство". И произошло это для того чтобы расширить наше представление, о красоте, т. к. на этом уроке мы занимаемся рисунком, живописью, композицией, декоративно-прикладным искусством, элементами художественного конструирования. Наиболее важным среди этих предметов является рисунок. Не случайно великий художник эпохи Возрождения Микеланджело писал: " Рисунок, который иначе называют искусством наброска, есть высшая точка и живописи, и скульптуры, и архитектуры; рисунок источник и корень всякой науки>>.

Фигура человека представляет собой гармоническое сочетание различных форм, изучение пропорций дает возможность рисующему точно находить размеры отдельных частей. Пропорциональное членение человеческой фигуры интересовало художников с незапамятных времен. У древних египтян в разработанном ими каноне пропорций единицей измерения служила длина среднего пальца руки, у древних греков - голова. На основе литературных источников Леонардо да Винчи составил "квадрат древних". Микеланджело предложил свой канон пропорций. В своем курсе рисования русский художник - педагог А. П. Сапожников предлагал членить фигуру человека на ЗО равный частей. На основе изучения всех этих источников получилась вот такая схема пропорций человеческой фигуры: голова человека по длине всей фигуры укладывается от 7 - 8 раз. Схема построения верхнего плечевого пояса, если на нее смотреть сверху, имеет вид ромба. Сторонами этого ромба служат лопатки и ключицы. Диагональю этого ромба является линия, соединяющая концы акромиальных отростков и, идущая вниз от седьмого шейного позвонка к яремной ямке. В середине этого ромба располагается цилиндрическая форма шеи. Расположение мышц грудной клетки, прямых и косых мышц живота дает определенную схему.

В качестве дополнения ко всему сказанному, предлагаю следующую цитату, принадлежащую итальянскому архитектору Леону Баггиста Альберти. В своих трактатах "О живописи" и "О зодчестве" Альберти пишет: " Мне хочется, чтобы живописец был как можно больше сведущ во всех свободных искусствах, но, прежде всего я желаю, чтобы он узнал геометрию. Мне любо изречение древнего и славнейшего живописца Панфила, у которого молодые люди благородного звания начали обучаться живописи. Он считал, что ни один живописец не может хорошо писать, не зная хорошо геометрии. Наши заметки, в которых изложено всё искусство живописи во всём своём безусловном совершенстве, будут легко поняты всяким геометрам, но невежда в геометрии не поймет ни этих, ни каких-либо иных правил живописи. Поэтому я и утверждаю, что живописцу необходимо обучиться геометрии".

Математика и архитектура

Всё на свете страшится времени,

Время страшится пирамид.

Арабская пословица.

Бесконечное, однообразное море песка, редкие высохшие кустики растений, едва заметные следы от прошедшего верблюда заметает ветер. Раскалённое солнце пустыни. И оно кажется тусклым, словно покрыто мелким песком. И вдруг, словно мираж, перед изумленным взором путешественника возникают пирамиды - фантастические фигуры из камня, устремленные к солнцу. Своими громадными размерами, совершенством геометрической формы они поражают воображение. Недаром эти творения рук человеческих относили к одному из семи чудес света. О египетских пирамидах с восхищением писал греческий историк Геродот. Первым европейцем, спустившемся в глубь пирамиды, был римский учёный Плиний Старший. Согласно многим описаниям, эти гигантские монолиты имели совсем иной вид, чем в наше время.

Обращаясь к своему войску перед "битвой у пирамид" во время египетской компании, Наполеон патетически воскликнул: "Солдаты! На вас смотрят сорок веков!" При этом он " украл " у пирамид около пятисот лет. Фундамент первой из пирамид Египта был заложен в начале XXVII века до н. э. , строительство последней было завершено примерно в конце XVIII века до н. э.

Среди грандиозных пирамид Египта особое место занимает великая пирамида фараона Хеопса (Хуфу - иметь). Она самая крупная и наиболее хорошо изученная. Чего только не находили в её пропорциях! Число "я" и золотую пропорцию, число дней в году, расстояние до Солнца, диаметр Земли и т. д. Однако при расчёте этих величин получались неточности, возникали недоразумения, в результате чего подвергались сомнению даже простейшие пропорции в размерах пирамиды и все сообщения о скрытых в геометрии пирамиды математических сведениях объявлялись досужей выдумкой. В попытках найти сенсационные открытия многие авторы публикаций забывали о создателях пирамид и их времени. Назначение пирамид было многофункциональным, но нас, прежде всего, интересует " научное содержание ". Форма и размеры пирамиды выбраны не случайно. Здесь каждая деталь, каждый элемент формы выбирались тщательно. Ведь они строились на тысячелетия, "навечно". Правильная четырехгранная пирамида является одной из хорошо изученных геометрических фигур, символизирующих простоту и гармонию формы, олицетворяющую устойчивость, надежность, устремление вверх.

Очевидно, и размеры пирамиды: площадь её основания и высота не были выбраны случайно, а должны нести какие-то геометрические, математические идеи, информацию об уровне знаний египетских жрецов. Причем следует напомнить, что эти знания составляли тайну и были доступны лишь ограниченному числу лиц, поэтому и в геометрии пирамиды они должны быть воплощены не в явной, а в скрытой форме.

Рассмотрим пирамиду Хеопса. Длина стороны основания пирамиды (h), h = 233,16 м. Высота (Н) 146,6 < Н < 148,2 м. И в зависимости от принятой высоты пирамиды изменяется и все отношения её геометрических элементов. Поэтому на этой величине следует остановиться особо. Не мудрствуя лукаво, все исследователи считают, что высота пирамид в период её создания была такой же, какой она является в настоящее время. Однако это совсем не так. Строго говоря, пирамида Хеопса является усечённой. Её верхняя площадка в наши дни имеет размер примерно 10 х 10 м, а столетие назад она была 6 х 6 м. Очевидно, вершину пирамиды разобрали, и она не отвечает первоначальной.

Одним из " чудес " великой пирамиды является очень точная подгонка её каменных блоков и плит; между ними буквально нигде не просунешь лезвия бритвы (0,1 мм). Этот несомненный факт производит потрясающее впечатление на всех, кто бывал внутри пирамиды и видел плотно сочленённые громадные плиты. Но никакого " чуда " и здесь не оказалось. В процессе строительства каменные блоки не могли быть изготовлены столь точно: для этого у древних египтян просто не было средств - ни обрабатывающих, ни измерительных. Но за длительное время под воздействием колоссального давления (достигающего 500 тонн на 1 м[2] нижней поверхности) произошла "усадка" конструкции, пластическая деформация строительных блоков, вследствие чего они и оказались так тесно подогнанными. Можно предполагать, что зазоры между блоками пирамиды во время её строительства составляли многие миллиметры и в них можно было свободно просунуть не только лезвие бритвы, но и нож.

В результате отмеченной усадки высота пирамиды стала меньше, чем она была в период завершения строительства. Какой же она была первоначально? Её можно воссоздать, если найти основную "геометрическую идею", положенную в основу сооружения.

Угол наклона граней пирамиды ещё в 1837 г. определил английский полковник Г. Вайз: он равен 51° 51'. Указанному значению угла а отвечает (tg а). tg 51° 51≈1,27306. Эта величина, отвечающая отношению высоты (Н) пирамиды к её половине основания очень близка к корню квадратному золотой пропорции Ф=1,27202 и является иррациональной величиной. Есть основания предполагать, что в основу ∆ ОМN пирамиды Хеопса и было заложено отношение Ф=1,27202. Если принять угол а равным 51°50', т. е. уменьшить всего на одну угловую минуту, величина tgα станет равной 1,272. Следует отметить, что угол наклона граней пирамиды, измеренный в 1840 году тем же Вайзом, равен 51°50'. Итак, согласно приведенных расчетов, высота пирамиды Хеопса равна 318 локтей или 148,28 м. (данные на момент завершения строительства). Сторона основания 500 локтей, апофема ОN = 404,5 локтя (1 локоть≈466 мм. ). Все эти размеры определяют основную архитектурную идею пирамиды Хеопса.

Отношение длины апофемы боковой грани к половине стороны её основания отвечает золотой пропорции. Два других отношения равны корню квадратному из золотой пропорции.

Есть основание утверждать, что египетские архитекторы заложили в форму пирамиды Хеопса именно этот замечательный и единственный треугольник, основанный на золотой пропорции. Ещё один интересный момент, связанный с этим треугольником: многие исследования указывают, что отношение удвоенной стороны основания 2α к высоте пирамиды Н отвечает числу "PI".

Приведенные данные определяют основную геометрическую идею пирамиды. Гениальные создатели пирамиды Хеопса стремились поразить далёких потомков глубиной своих знаний, и они достигли этого. Следует лишь удивляться высокому знанию и искусству древних математиков и архитекторов Египта, которые смогли воплотить в пирамиде две иррациональные (т. е. несоизмеримые) величины - " PI " и Ф со столь поразительной точностью, оперируя исходными отношениями целых чисел - стороной основания и высотой пирамиды, выраженных в локтях.

Человек создал математику. Он создал мир из абстрактных знаков, абстрактных линий, треугольников, пирамид, шаров, параболоидов.

Роль геометрии важна в архитектуре. Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать свои шедевры. Искусство архитектуры имеет дело с вещами обладающими массой, размерами, формой.

Совершенствование конструкций сопровождается не только усложнением их геометрического построения, но и включением в него современных математических методов.

Аристотель считал, что правильные геометрические фигуры отличаются наивысшей красотой. Например, шар - самый прекрасный из всех объемных фигур, ибо в нем запечатлен божественный порядок, а круг - самая прекрасная плоская фигура, ибо она наиболее упорядочена. Равносторонний треугольник - символ мудрости. Он олицетворяет богиню мудрости - Афину. Семиугольник - символ Аполлона.

В период средневековья круг - символ вселенной и божественной силы. Равносторонний треугольник - символ Троицы. Квадрат - символ мира. Правильный пятиугольник - символ счастья. Семиугольник связан с математической святостью: 7 планет, 7 ангелов, 7 дней сотворения мира, 7 таинств.

Все эти высказывания доказывают, что архитектура тесно связана с геометрическими фигурами.

Познакомимся с теорией пропорцией в архитектуре. Могут ли чисто формальные соотношения в планировке зданий создавать зрительно эстетическое наслаждение? Некоторые полностью отрицают такую возможность. Утверждают даже, что всю проблему пропорций в архитектуре можно свести к механике несущих конструкций. Инженерное искусство способно дать единственное, безупречное и изящное решение любой проблемы, связанной с планировкой и проектированием здания.

В эпоху Возрождения было распространено мнение о том, что наиболее приятны для созерцания те прямоугольники, стороны которых относятся как частоты в гармоничном созвучии. Древние греки, хотя и были людьми весьма образованными, но не оставили никаких описаний системы пропорций, которой они придерживались в архитектуре.

Одним из методов построения архитектурной формы является пропорционирование.

Пропорция (лат. Proportio) - соразмерность, определенное соотношение частей между собой. Под пропорцией в архитектуре (так же как и в математике) понимают равенство отношений количественной меры одних и тех же объективных свойств в сопоставимых формах или частях. Это значение понятия "пропорция", как человеческой фигура, так и букв алфавита. Он утверждает, что пропорции существуют всюду: в математике и в механике, географии и во всех науках и ремеслах.

Итак, пропорция в архитектуре есть понятие, отражающее однородность (закономерность) изменений количественной меры при переходе от одной части формы к другой и к форме в целом. Вера в то, что "гармонию можно и нужно поверить алгеброй", возрастает. Она овладела умами многих из тех, кто занят созданием стандартов. Появляется тенденция гармонизацию стандартов заменить их математизацией. Разговор об архитектуре будет неполным, если не назвать великого имени Микеланджело.

Одним из великих архитекторов Высокого Возрождения является Микеланджело Буонарроти. Микеланджело влекли сильные и значительные образы. Свидетельство тому - сохранившиеся юношеские рисунки с фресок Джотто и Мозаччо, а также первые скульптурные работы 1490 - 1492 г. г. - 2 мраморных барельефа: "Мадонна у лестницы" и "Битва кентавров".

Папа Юлий II, занявший престол святого Петра в 1503 году развернул перестройку Рима как будущей столицы своей державы. В 1508 году из Флоренции был вызван Микеланджело - папа приказал ему расписать потолок Сикстинской капеллы.

В 1534 г. Микеланджело заверил величайший труд жизни - Капеллу Медичи. Усыпальница Медичи представляет собой прикрытое куполом небольшое помещение. Рассеянный свет освещает белые, холодно голубоватого оттенка плоскости стен в траурном обрамлении из сине-зеленого, почти черного камня. Архитектура торжественная и печальная создаёт определенный эмоциональный фон для скульптур усыпальницы.

"Мадонна". Этой скульптуре было отведено важное место в ансамбле Капеллы Медичи. Здесь Микеланджело продолжил тему, уже возникавшую в ранних рельефах "Мадонна у лестницы" и "Мадонна Питти", - тему предчувствия матерью трагической судьбы сына. Погруженная в свои мысли, Мария отрешенно смотрит в пространство. Младенец сидит на коленях матери. Он словно не хочет оторваться от груди матери, но его поза как бы предсказывает, что это произойдет - ему придется начать собственную жизнь и принять мученическую смерть. В 1546 году он приступил к реконструкции расположенного в центре Рима Капитолийского холма, создав парадную площадь, обрамленную тремя фасадами зданий, в центре установил античную конную статую Марса Аврелия и оформил вход в виде широкой белокаменной лестницы. Капитолий по сей день принадлежит к самым красивым архитектурным ансамблям Рима.

Одновременно художник возглавлял строительство собора святого Петра и возвел купол, законченный уже после его смерти. Плавно возносящейся на высоту 132,5 метра купол собора виден почти со всех точек города.

Строительство каменного купола собора святого Петра в Риме диаметром 42 м. представляло собой сложнейшую техническую задачу. Фундамент собора святого Петра был заложен в 1506 г. , сооружение купола закончилось в 1593 году. На протяжении этих лет строительством собора руководили также замечательные художники и архитекторы, как Рафаэль, Браманте, Микеланджело.

История строительства и дальнейшего существования собора полна драматических событий. Так, в 1740 г. через 150 лет после сооружения купола, некоторые трещины, неизбежно возникающие в кладке, расширилось до угрожающих размеров. Это событие стимулировало новые теоретические исследования.

В 1748 г. профессор экспериментальной философии (т. е. физики) университета в Падуе Джованни Полени, опираясь на работы математика Стирлинга и механика Ла Пира, математически доказал, что купол собора находится в состоянии статического равновесия и появившиеся трещины угрозы не представляют. Прошедшие с тех пор 200 лет являются лучшим подтверждением справедливости математических расчётов Полени.

История собора святого Петра в Риме убеждает в том, что зодчество представляет собой сложный узел научных, технических и эстетических проблем.

В заключении предлагаю цитату из Хрестоматии по истории Древнего Рима, принадлежащую великому деятелю искусства Витрувию (2-я пол. 1 в. до н. э). ". Архитектор должен быть человеком грамотным, умелым рисовальщиком, изучить геометрию, всесторонне знать историю, внимательно слушать философов, быть знакомым с музыкой, иметь понятие о медицине, знать решения юристов и обладать сведениями в астрономии и небесных законах>>.

Математические основы красоты в музыке

. Звуки умертвив,

Музыку я разъял как труп.

Поверил Я алгеброй гармонию.

А. С. Пушкин.

Музыка - математика чувств, а математика - музыка разума.

Англ. Математик Д. Сильвестр.

Музыка есть арифметическое упражнение души, которая исчисляет себя, не зная об этом.

Лейбниц.

"Музыкант будущего - математик, физик и лирик в одном лице соединит знание и вдохновение". По смыслу цитат, вы, конечно, догадались, что речь пойдет о математических основах красоты в музыке. Математика и музыка - сегодня эти два слова редко стоят вместе. Между тем в пифагорейской математике именно музыке суждено было стать первым, и, пожалуй, единственным физическим свидетелем, подтверждавшим справедливость пифагорейского тезиса: "Все есть число". Именно в музыке впервые была обнаружена таинственная направляющая роль чисел в природе. В свою очередь, родство с арифметикой в пифагорейской математике обогатило музыку методами построения ее фундамента - музыкальной гаммы, фундамента, на который и было возведено прекрасное здание искусства музыки. За два с половиной тысячелетия этот математический фундамент музыки, заложенный пифагорейцами, настолько глубоко "врос в землю", что о его существовании почти забыли. А ведь без него рухнуло бы все здание музыки. Согласно преданию, сам Пифагор обнаружил, что приятные слуху звучания -консонансы, получаются лишь в том случае, когда длины струн, издающие эти звуки, относятся как целые числа первой четверки. Это открытие потрясло Пифагора, ведь такое физическое явление как звук и тем более приятное созвучие, поддавалось числовой характеристике. Именно это открытие впервые указывало на существование числовых закономерностей в природе, и именно оно послужило отправной точкой в развитии пифагорейской философии. Вот почему день, когда было сделано это открытие, немецкий физик Зоммерфельд назвал днем рождения математической музыки. Вот как описывает этот день римский философ Боэций: "И вот однажды, под влиянием какого-то божественного наития, проходя мимо кузницы, Пифагор слышит, что удары топоров из различных звуков образуют некое единое звучание. Тогда, пораженный, он встал вплотную к тому, что долгое время искал и после долгого размышления решил, что различие звуков обусловлено силами ударяющих, а для того, чтобы уяснить это лучше, велел кузнецам поменяться молотками. Однако выяснилось, что свойство звуков не заключено в мышцах людей и продолжает сопровождать молотки, поменявшиеся местами. Когда Пифагор это заметил, то исследовал вес молотков. Их было пять, причем обнаружилось, что один из них был вдвое больше другого. Вес вдвое большего был в 4/3 больше веса третьего. " Далее Боэций рассказывает, что Пифагор, придя домой, взял четыре одинаковые вертикально подвешенные струны и нагрузил их тяжестями. К сожалению, Боэций заблуждался. Сегодня известно, что частота колебания струны пропорциональна не натяжению, а квадратному корню из натяжения струны. И тем не менее закон целочисленных отношений в консонансах был открыт Пифагором верно. Просто он неверно был описан Боэцием.

Одним из первых музыкальных инструментов древних греков был монохорд. Он представлял собой длинный ящик, необходимый для усиления звука, над которым натягивалась струна. Конечно, как музыкальный инструмент монохорд был слишком примитивен. Зато, снабженный шкалой делений струны он стал прекрасным физическим прибором и учебным пособием для изучения законов звучащих тел. Два закона легли в основу пифагорейской теории музыки:

Две звучащие струны дают консонанс лишь тогда, когда их длины относятся как целые числа, составляющие треугольное число.

Высота тона определяется частотой колебания струны, которая обратно пропорциональна длине струны.

По прошествии 200 лет после Пифагора музыка сфер вновь зазвучала в астрономических открытиях Кеплера, а через 300 лет после Кеплера так же гармония целочисленных отношений была обнаружена в микрокосмосе атома. За огромный промежуток времени наука совершила два гигантских витка, в каждом из которых старый пифагорейский мотив о всеобщей гармонии звука в ходе самых современных научных знаний.

Основным, главным элементом любого музыкального произведения являются мелодия - одноголосное выражение музыкальной мысли. В самом деле, вспоминая песню, танец или даже симфонию, мы прежде всего воспроизводим имени мелодию - то, что можно пропеть одним голосом или сыграть, например, на рояле "одним пальцем". Мелодия появляется в сознании композитора сразу, и он не подразделяет на отдельные простые действия весь сложный процесс ее сочинения. Выбор удачных мелодических оборотов и интонаций совершается неосознанно, и композитор не отдаёт себе отсчета, почему именно то, а не другое сочетание нот им выбрано для выражения определенного чувства или настроения. Сами композиторы не в состоянии объяснить некоторые присущие именно им характерные черты стиля. И, тем не менее закономерности, правила построения музыкальных произведений и принципы композиции существуют. Больше того, композиторы в своей деятельности даже руководствуются ими, применяют их в своих композициях, что можно обнаружить при анализе их сочинений. Дело лишь в том, что использование этих правил и принципов в творческом процессе зачастую проходит подсознательно, интуитивно. Эта интуиция основана на предшествующем опыте, приобретенном либо в период обучения, либо также неосознанно, например, при прослушивании музыкальных произведений. Ведь человек преобладает удивительной способностью интуитивного подражания, часто приводящей к поразительным результатам. Например, малолетний Моцарт, не знающий законов гармонии и композиции, сочинял превосходную музыку, удовлетворяющую требованиям гармонизации своего времени. В качестве примера для анализа лучше взять мелодию известной массовой песни, достаточно легко позволяющую продемонстрировать на себе возможно большее количество правил и закономерностей композиции. Классический образец такой песни - всемирно известный "Чижик - пыжик". Исключительно простая, примитивная мелодия вместе с тем служит удачным примером законного, завершенного по форме музыкального сочинения.

Прежде всего, обратим внимание на организацию длительностей нот, на ритмическую сторону мелодии. Мелодия состоит из звуков, различных по долготе звучания, по длительности. Одни звуки короче, другие продолжительнее. Так, "половинная" нота звучит в 2 раза дольше, чем "четвертная". А эта в свою очередь в 2 раза продолжительнее "восьмушки>>? Продолжительность же звучания сочетания (2-х восьмушек) равна длительности одной четвертной ноты. При этом все звуки мелодии разделяются на группы, расположенные друг за дружкой, в каждой из которых один звучит сильнее, с большим ударением, а все другие слабее. Каждая такая группа нот называется тактом, и в нотной строке один такт от другого отделяется вертикальной тактовой чертой. Нетрудно заметить, что сумма всех длительностей в каждом такте "Чижика" равна точно длительности четырех "четвертей", т. е. длительности "целой" ноты. Это обстоятельство, выражающее продолжительность звучания каждого такта отмечается дробью, или "тактовым размером" 44, которая ставится в начале музыкального произведения после знака музыкального ключа. Знаменатель этого отношения показывает, на сколько частей делится "целая" нота, а числитель - сколько, таких долей содержится в такте.

Размер 44 характерен для маршей и таких танцев, как чарльстон, танго. Другие ритмы, например вальс, мазурка, характерны размером 34. Момент наивысшего напряжения мелодии, её кульминация с точки зрения структурной, расположена обычно на третьей четверти мелодии, т. е. при этом на подъем, нарастания напряжения требует времени больше, чем на спад, успокоение. Часто кульминация приходится на точку золотого сечения, удовлетворяя соотношению а+ва= ав.

Другими словами, длина (т. е. принадлежность звучания) всей мелодии, а + в так относится к длине, а от начала мелодии до кульминации, как эта последняя к длине от кульминации до конца мелодии в. Это соответствует примерно 0,62 длины всей мелодии, т. е. пятому или началу шестого такта восьмитактовой мелодии.

Наиболее обширное исследование проявлений золотого сечения в музыке было предпринято Л. Сабанеевым. Им было изучено 2000 произведений различных композиторов. По его мнению, временное протяжение музыкального произведения делится "некоторыми вехами", которые выделяются при восприятии музыки и облегчают созерцание формы целого. Такими вехами могут быть границы изменения структуры мелодии, интонационные кульминационные пункты, изменения тональности. Все эти музыкальные события делят целое на части, как правило, по закону золотого сечения. По наблюдениям Л. Сабанеева, в музыкальных произведениях различных композиторов обычно констатируется не одно золотое сечение, сопряженное с происходящим возле него "эстетическим событием", а целая серия подобных сечений. Каждое такое сечение отражает свое музыкальное событие, качественный скачок в развитии музыкальной темы. В изученных им 1770 сочинениях 42 композиторов наблюдалось 3275 золотых сечений; количество произведений, в которых наблюдалось хотя бы одно золотое сечение, составило 1338. Наибольшее количество музыкальных произведений, в которых имеется золотое сечение, у Аренского (95%), Бетховена (97%), Гайдна (97%), Моцарта (91%), Скрябина (90%), Шопена (92%), Шуберта (91%), Баха (99%).

Характерно, отмечает Л. Сабанеев, что наиболее часто золотое сечение обнаруживается в произведениях высокохудожественных, принадлежащих гениальным авторам. Может быть, частота проявлений золотой пропорции является одним из объективных критериев оценки гениальности музыкальных произведений и их авторов? И тогда вместо споров о достоинствах той или иной музыки достаточно произвести математический подсчет? И уже не представляется случайным тот факт, что в произведениях композиторов XX века золотая пропорция встречается значительно реже, чем у их коллег прошлых веков.

В спорах о достоинствах современных музыкальных творений часто ссылаются на банальный афоризм: "На вкус и цвет товарища нет", на непонимание "старыми" ценителями новаторской музыки сегодняшнего дня, ссылкой на то, что нашему времени отвечает рок-музыка. Не будем разжигать страсти, "поверим алгеброй гармонию", проверим современные музыкальные шедевры рок-ансамблей и им подобных новаторов на критерии гармонии. И тогда можно дать вполне объективную оценку современной "новаторской" музыки. Не слишком ли часто люди ищут "новое", вместо того, чтобы искать "вечное" - гармонию и красоту?

Итак, мы закончили разговор о математических основах законов красоты в музыке. Можно признать, что золотая пропорция является критерием гармонии композиции музыкального произведения. И логично предположить, что чем точнее соответствие произведения музыки золотой пропорции, тем выше степень гармонии, а отклонение от золотой пропорции - свидетельство несовершенства музыки. Таким образом, приятные для слуха созвучия подчиняются простым математическим законам, и нам становятся понятны слова пушкинского Сальери:.

Поверил

Я алгеброй гармонию.

Математические мотивы в художественной литературе

Что любят, то находят повсюду, и было бы странно, не встретится с математикой в художественной литературе. Почему странно? Потому что, как верно заметил А. Блок, сама истинная поэзия, сами настоящие стихи - это "математика слова". Ничем иным является, в сущности, и настоящая проза. Так что, видимо, всякий действительный художник - немножко математик.

Потому что в жизни нет ничего такого, чего бы ни было в романах, рассказах и стихах, а математика - слишком заметная тема жизни, чтобы не стать темой литературы.

В качестве доказательства предлагаю викторину "математических фрагментов".

". Труден первый шаг

И скучен первый путь. Преодолел

Я ранние невзгоды. Ремесло

Поставил я подножием искусству.

Я сделался ремесленник: перстам

Придал послушную, сухую беглость

И верность уху. Звуки умертвив,

Музыку я разъял, как труп. Поверил

Я алгеброй гармонию. Тогда

Уже дерзнул, в науке искушенный,

Предаться неге творческой мечты,

Я стал творить.

Пушкин А. С. "Моцарт и Сальери".

[<<]Человек есть дробь. Числитель это - сравнительно с другими - достоинства человека; знаменатель - это оценка человеком самого себя. Увеличить своего числителя - свои достоинства - не во власти человека, но всякий может уменьшить своего знаменателя - свое мнение о самом себе, и этим уменьшением приблизиться к совершенству>>.

Л. Н. Толстой.

Иван - Алеше:

. Но вот что, однако, надо отметить: если бог есть и если он действительно создал землю, то, как нам совершенно известно, создал он её по евклидовой геометрии, а ум человеческий с понятием лишь о трех измерениях пространства. Между тем находились и находятся даже и теперь геометры и философы, и даже из замечательнейших, которые сомневаются в том, чтобы вся вселенная или, ещё обширнее - всё бытие было создано лишь по евклидовой геометрии, осмеливаются даже мечтать, что две параллельные линии, которые, по Евклиду, ни за что не могут сойтись на земле, может быть, и сошлись бы где-нибудь в бесконечности. Я, голубчик, решил так, что если я даже этого не могу понять, то где ж мне про бога понять. Я смиренно сознаюсь, что у меня нет никаких способностей решать такие вопросы, у меня ум евклидовский, земной, а потому, где нам решать о том, что не от мира сего".

Ф. М. Достоевский <<Братья Карамазовы>>.

". Да, так любить, как любит наша кровь, Никто из вас давно не любит!

Забыли вы, что в мире есть любовь,

Которая и жжёт, и губит!

Мы любим всё - и жар холодных чисел,

И дар божественных видений,

Нам внятно всё - и острый галльский смысл,

И сумрачный германский гений.

А. Блок. <<Скифы>>.

. На серьёзные опечатки я могу жаловаться тоже лишь в последнее время, когда невежество корректоров приняло баснословные размеры. Корректоры и издатели, имеющие уважение к слову, должны знать, что существует математика слова (как математика всех других искусств), особенно - в стихах. Поэтому менять их по собственному вдохновению, каковы бы они, с их точки зрения, ни были - по меньшей мере, некультурно".

А. Блок << Из первой редакции автобиографии>>.

Особое внимание следует уделить музыке стихов, ведь в структуре произведений поэзии многое роднит этот вид искусства с музыкой.

Пусть опрокинет статуи война,

Мятеж развеет каменщиков труд, но врезанные в память письмена

Бегущие столетия не сотрут.

В. Шекспир.

Четкий ритм, закономерное чередование ударных и безударных слогов, упорядоченная размерность стихотворений, их эмоциональная насыщенность, делают поэзию родной сестрой музыкальных произведений. Каждый стих обладает своей музыкальной формой - своей ритмикой и мелодией. Можно ожидать, что в строении стихотворений проявятся некоторые черты музыкальных композиций, закономерности музыкальной гармонии, а следовательно, и золотая пропорция, и числа Фибоначчи.

С поэзии А. С. Пушкина мы и начнем поиски золотой пропорции - мерила гармонии и красоты. Для начала рассмотрим его произведения периода 1829-1836 годов, периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109 стихов. Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. Казалось бы, величина стихотворения, определяемая числом строк, может изменяться произвольно и непрерывно от самой малой в четыре строки до самых больших, насчитывающих десятки строк. Однако это не так. Размеры стихов распределены совсем не равномерно, выделяются предпочтительные и редко встречающиеся размеры. Если распределить стихотворения Пушкина по числу строк, можно заметить, что они явно тяготеют к числам 5,8,13,21,34. Причем по мере увеличения размеров стихотворений эти максимумы как бы <<разматываются>>. Нивелируются. Максимум в области 46-56 строк выражен совсем слабо. Проявляется вполне закономерная тенденция в творческой манере поэта; он явно предпочитает стихотворения, размер которых близок к числам ряда Фибоначчи. Следует учесть, что законы стихосложения требуют, как правило, наличия четного числа строк в стихотворении, т. к. строки попарно рифмуются. Неудивительно поэтому, что стихотворения с числом 12 и 14 встречаются значительно чаще, чем с числом 13. Это же справедливо и для интервала 20 - 22 строки. С учетом этого правомерно сгруппировать стихотворения по их размерам к некоторым областям, расположенным около чисел ряда Фибоначчи. В результате стихотворения распределились следующим образом: 5 +- 1 строка - 14, 8 строк - 12,14 +- 2 строки - 32,22 +- 3 -15, 32 +- 2 - 8 штук. Общее число этих стихотворений составило 81, или около 80% к их общему числу.

Числа Фибоначчи проявляются не только в размерах стихотворений, но и в их структуре - числе строк в стихах, числе стихов в произведении. Некоторые стихи построены по схеме 3x5, 5x3,3x8, 5x8, 8x8. Интересно, что у А. С. Пушкина есть стихотворение с числом 13 и 21, т. е. с нечетным числом строк, что явно не отвечает распространенным канонам стихотворения. Сюда относятся стихотворения "Сапожник", "Поедем, я готов", "Из Ксенофана Колофонского", состоящие из 13 строк. В стихах "Он между нами жил" и "Из Пиндемонти", "К Чаадаеву" - 21 строка.

Характерно также, что наиболее выдающиеся произведения поэта, шедевры его творчества явно тяготеют к размерам 8,13,21 и 34 строки. К ним относятся стихи "В крови горит огонь желаний", "Я вас любил, любовь еще, быть может" и, наконец, одно из последних: "Пора, мой друг, пора! Покоя сердце просит" - все они состоят из 8 -ми строк.

Преобладающих в лирике стихотворений А. С. Пушкина чисел ряда Фибоначчи никак нельзя признать случайностью, игрой слепой вероятности. Наличие этих чисел выражает одну из фундаментальных закономерностей творческого метода поэта, его эстетические требования, чувство гармонии. Характерно, что нечетные числа этого ряда 3,13,15,21 затрудняют стихосложение, рифмование строк. Но поэт пользуется этими размерностями, т. к. они отвечают требованиям художественной формы, формы новой, необычной, оригинальной и в то же время отвечающей критериям гармонии.

В стихотворении "Поедем, я готов; куда бы вы, друзья. ' содержится 13 строк. В нем так же выделяются две смысловые части: первая в 8 строк и вторая в 5 строк.

В притче "Сапожник" 13 строк. Здесь отчетливо выделяются две части: первая в 8 строк и вторая (мораль притчи) в 5 строк

После проведенного анализа стихотворений Пушкина уже не кажется простой случайностью тот факт, что его роман в стихах "Евгений Онегин" состоит из 8 глав, в каждой главе в среднем около 50 стихов (А 7 - я глава состоит из 55 стихов), а каждый стих состоит из 14 строчек. Похоже, что основная схема построения "Евгения Онегина" основана на близости к трем числам Фибоначчи: 8,13, 55. Тяготение Пушкина к этим числам очевидно и, конечно, не случайно.

Если "Евгений Онегин" является произведением высочайшего художественного уровня, то восьмая глава романа является его драгоценной жемчужиной. Эта глава наиболее совершенна, наиболее отточена, насыщена эмоционально. Структура главы многоплановая, с подъемами и спадами, апофеозом эмоционального наклона и лирическими отступлениями. В ней 51 стих плюс письмо Евгения Татьяне (5 стихов) - очень близко к числу 55. Это письмо разбивает главу на 2 большие части: 32 и 19 стихов; их отношение равно 1,68. Случайность? Едва ли. Скорее всего это - основной критерий гармонического построения художественного произведения: нарастание эмоционального напряжения (длительный период) - кульминация - спад (короткий период).

Во второй половине этой главы (после письма Онегина) следует нарастание усилий Онегина встретиться с Татьяной, затем встреча. Весь этот период охватывает 10 стихов, затем - исповедь Татьяны (5 стихов) и короткая концовка (4 стиха). Здесь налицо постепенное снижение "амплитуды страстей" и спокойная концовка.

Неудивительно, что поэзия А. С. Пушкина, и особенно восьмая глава "Евгения Онегина", поражают читателей своей удивительной гармоничностью, отчетливо выраженной музыкальностью. Работая над оперой "Евгений Онегин", Чайковский писал фон Мекк о Пушкине: ". силой гениального таланта очень часто врывается из тесных сфер стихотворства в бесконечную область музыки. Это не пустая фраза. Независимо от сущности того, что он излагает в форме стиха, в самом стихе, в его звуковой последовательности есть что-то проникающее в самую глубь души. Это что-то и есть музыка". Белинский писал по поводу стихотворения Пушкина "Ночной зефир. ": "Что эта поэзия, живопись, музыка? Или то, и другое, и третье, слившееся в одно, где картина говорит звуками, звуки образуют картину, а слова блещут красками, вьются образами, звучат гармонией и выражают разумную речь.>>.

В мире поэзии много замечательных произведений, много стихов - шедевров, совершенных по форме и глубоких по содержанию. Но стихи АС. Пушкина занимают особое место, остаются непревзойденными в русской поэзии по степени их художественного совершенства, неповторимой индивидуальности и оригинальности художественной формы. Присутствие в их метрике чисел Фибоначчи отражают не только приближение к вершинам гармонии, но и свидетельствует о разнообразии художественной формы, ее обогащении новыми, оригинальными построениями.

Вот это свидетельствует о качественно более высоком уровне гармонии в поэзии А. С. Пушкина. Очевидно, и поэзия прошла тот же путь эволюции в направлении к достижению гармонии, что и архитектура - от простейших гармонических построений до вершин гармонического Олимпа, где царит золотая пропорция.

Эстетика природы

Совершенно иной характер носит связь математики с красотой в природе, где с помощью математики красота не создается, как в технике или в искусстве, а лишь фиксируется, выражается. Возможность такого выражения обусловлена тем, что составляющие основу красоты природы явления симметрии и периодичности хорошо изучены и описаны математически.

Предлагаю для рассмотрения этого вопроса Парад слагаемых красоты математики.

Пропорция

"Я не только Пропорция, но, по мнению Луки Пачоли, даже "божественная Пропорция". Грекам я заменила теорию действительного числа и, таким образом, помогла им создать их научный шедевр - их геометрию. В архитектуру я вношу гармонию. Точнее, я душа гармонии. Здесь один из авторов утверждает, что нельзя достаточно превознести моё значение: во мне слава архитектора, прочность сооружения и чудеса искусства. Я по своему адресу слышу массу комплиментов. Когда выступаю в образе "золотого сечения", то один из наиболее горячих моих поклонников - немецкий поэт и философ Адольф Цейзинг - уверяет, что я просто "господствую" в природе".

Я - рост растений и животных, рост человека и Вселенной. Расти - значит жить. Я - сама жизнь. Дендриты стали, дендриты магнетита и дендриты льда! И здесь же, рядом, аналогичные по форме растения, дендриты нервных окончаний и, наконец, мозг человека, имеющий структуру дендрита. Преемственность структур очевидна, а ведь всё это - Мои Формы, формы роста, формы жизни. Я состою в основе "золотой линейки" Ле Корбюзье и меня измеряют то в футах, то в дюймах. А, по мнению Клавдия Птолемея, я делюсь в отношении "золотого сечения". Преобладание в моей метрике чисел Фибоначчи определяет мой основной принцип. У клеток я спиральный и ношу непрерывно - дискретный характер. При неизменных и благоприятных внешних условиях моя интенсивность изменяется во времени: интенсивность, относительный покой, стабильность. Моей внутренней квантованности подчинено всё живое на Земле.

Симметрия

Я - прелесть каждого отдельного цветка, мотылька или раковины. Мной любуются и стараются проникнуть в тайну моей красоты. Внимательное наблюдение обнаруживает, что основу красоты многих форм, созданных природой, составляю я, Симметрия! Я бываю поворотной и винтовой. С теми кого люблю, могу блистать алмазом. Я "кристальная" чистота и прозрачность, чудесная, непередаваемая игра света! Идеальная, правильная форма моя - не только красивый предмет роскоши. Захочу и самые твердые металлы и сплавы станут податливы в обработке, как пластилин. По справедливому замечанию Вейля, у истоков моих лежит математика. Вместе с тем, я воспринимаюсь как элемент красоты вообще и красоты природы в частности. Меня используют в искусстве, особенно в европейском, а в некоторых восточных культурах широко используется моя сестра Ассиметрия.

Случайность

Я не просто Случайность, я божественное Наитие. Частота моих появлений является одним из объективных критериев оценки гениальности. Присутствие в моей метрике чисел Фибоначчи отражает не только приближение к вершинам гармонии новых, оригинальных построений. Моя родная сестра Интуиция в творчестве гениальных людей необычайно сильна и плодотворна, тяготеет к индивидуальности и числам 5, 8,13,21 и т. д.

Я могу приходить ночью или днем. Я переворачиваю жизнь одного человека или целого поколения, могу изменить ход истории. Я - непознанное чудо.

Периодичность

Я - одна из составляющих основы красоты природы, я Периодичность. Чувство ритма внушено человеку самой природой, ибо вся природа понизана ритмами и колебаниями. Явления же сопровождаемые периодичность пугают или радуют. Я капризна и непостоянна, как истинная женщина! Иногда я трагична, сею разрушения и смерть, приношу цунами, смерчи и землетрясения. Иногда величественна, как первая весенняя гроза, волнение океана или вид звездного неба. Иногда прекрасна, как восход солнца, цветение подснежника или трель соловья. Одним из этих явлений способны приводить в ужас, другие предстают как воплощенье величие природы, третьи доставляют наслаждение. Мои периодические колебания бесконечно разнообразны и описываются математически периодическими функциями, простейшими из которых являются тригонометрические функции sin a cos a. Я Синусоида и Косинусоида.

В школе Мы изучаем интересную и важную науку - математику. Сейчас она проникает почти во все отрасли знаний, являясь "языком, на котором говорят другие науки".

Мы знаем, что такое числовое выражение, что такое уравнение, какая фигура называется треугольником, а какая квадратом. Но что такое математика? И еще сложнее - что такое "Эстетика и математика"? Ответить на этот вопрос не так просто.

Материал работы не является обобщением массового опыта, поскольку многие выводы не могут претендовать на непреложность. Но их легко проверить в различных конкретных условиях. Любое возражение, основанное на более веских доводах, чем те, которые приводятся в работе, не доставят ничего, кроме удовольствия.