Теории вероятностей и ее применение в реальной жизни

В данной работе рассматриваются элементы теории вероятностей и ее применение в реальной жизни. Кратко рассказывается об истории возникновения данной теории. Автор исследует и классифицирует события: случайные и неслучайные, достоверные и невозможные, совместные, несовместные и противоположные, возможные и невозможные. В работе представлены формулировки и основные понятия теории вероятностей: операция над событиями, математическое ожидание, независимые опыты, сложный опыт, закон больших чисел, схема Бернулли. Дано классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности, показан основной принцип комбинаторики и его приложения.

Применение теории вероятностей является важной частью работы. Даются примеры задач, в которых используются основные понятия этой теории. В приложении выделены 8 типов основных задач, в которых могут применяться исследуемые понятия.

Методы исследования: анализ учебной и дополнительной литературы, собственный анализ, решение задач и проведение практических опытов.

В данной работе рассматриваются основы теории вероятностей. Эта тема выбрана, потому что с помощью основ теории вероятностей я смогу находить решения простейших задач о случайных событиях.

Цель данной работы разобраться в сущности теории вероятностей и понять, в каких областях она может применяться.

Чтобы достичь данной цели необходимо изучить основные понятия и формулы теории вероятностей, решить с ее помощью математические задачи, узнать, как можно ее применять в реальной жизни.

Исторические сведения

Как наука, теория вероятностей зародилась в середине XVII века, в романтическое время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных рыцарей. Вероятностные закономерности были впервые обнаружены в азартных играх, таких как карты и кости, когда начали применять в них количественные подсчеты и прогнозирование шансов на успех. А зарождение теории вероятностей началось с того, что придворный французского короля, шевалье (кавалер) де Мерэ (1607-1648г. г. ), сам азартный игрок, обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю (1623-1662г. г. ) с вопросами к задаче об очках. (см. главы «Формулировки и основные понятия», «Примеры и решения практических задач на вероятность»). Паскаль обратился к математику Пьеру Ферма (1601-1665г. г. ) и переписывался с ним по поводу этих задач. Они вдвоем установили некоторые основные положения теории вероятностей, в частности пришли к понятию математического ожидания и теоремам сложения и умножения вероятностей.

Другим толчком для развития теории вероятностей послужило страховое дело, а именно с конца XVII века на научной основе стало производится страхование от несчастных случаев и стихийных бедствий. В XVI-XVII веках во всех странах Западной Европы получило распространение страхование судов и страхование от пожаров. В XVII веке были созданы многочисленные страховые компании и лотереи в Италии, Фландрии, Нидерландах. Затем методы теории вероятностей стали широко применять в демографии, например, при ведении статистики рождения и смерти.

Первооткрывателями теории вероятностей считаются французские ученые Б. Паскаль и П. Ферма и голландский ученый Х. Гюйгенс (1629-1695г. г. ). Стала зарождаться новая наука, вырисовываться ее специфика и методология: определения, теоремы, методы. Также теория вероятностей связана с именами известных математиков: швейцарца Якоба Бернулли (1654-1705г. г. ), француза П. С. Лапласа, англичанина А. Муавра (1667-1754г. г. ) и др. Вклад в развитие теории вероятностей внесли русские и советские ученые П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М Ляпунов и многие другие.

Классификация событий

Событие – это исход наблюдения или эксперимента.

Случайные и неслучайные события

События бывают двух видов – случайные и неслучайные. Случайным событием называется то событие, которое может, как произойти, так и не произойти. Неслучайное событие – это то событие, которое может либо произойти обязательно, либо в данных условиях не происходящее. Неслучайные события делятся на две группы.

Случайные события делятся больше чем на две группы. О видах случайных и неслучайных событий ниже.

Достоверные и невозможные события

Неслучайные события делятся на две группы – достоверные события и невозможные события. Достоверным событием называют то событие, которое обязательно произойдет. Такое событие обозначается буквой E. Невозможным событием называют то событие, которое в данных условиях произойти не может. Такое событие обозначается буквой U. Вероятность достоверного события всегда равна 1. Вероятность невозможного события всегда равна 0. Например, если из урны только с черными шарами вытащить шар, то достоверным событием будет то, что вытащенный шар окажется, черным. А невозможным событием будет то, что вытащенный шар окажется белым.

Совместные, несовместные и противоположные события

Случайные события тоже делятся на несколько групп. В этом подпункте поговорим о совместных, несовместных и противоположных событиях. Совместным событием называются два события, которые могут произойти в результате опыта одновременно. К примеру, при бросании игральной кости события «2» и «четное число» являются совместными событиями. Несовместным событием называют два события, которые не могут произойти одновременно в результате опыта. Допустим, при однократном бросании монеты события A и B, то есть одновременное выпадение орла и решки монеты, являются несовместными. Противоположными событиями называют те два события, которые противоположны друг другу. Например, события «Я сорву розы» и « Я не буду срывать розы» являются противоположными. Следовательно, с каждым событием A связано противоположное событие, состоящее в том, что событие A не осуществляется.

Независимые и зависимые события

Существуют еще две группы случайных событий – независимые и зависимые события. Независимыми событиями называют события если, условная вероятность каждого из них равна безусловной вероятности, то есть если P(AB) = P(A). Где P- вероятность события, A – одно событие, B – другое событие. - обозначает условную вероятность (см. Формулировки и основные понятия/основные теоремы теории вероятностей). Зависимыми событиями называют события, если, условная вероятность каждого из них не равна безусловной вероятности, то есть если P(AB)≠P(A). К примеру, из урны с тремя белыми и семью черными шарами последовательно извлекают два шара. Если первый вынутый шар не возвращается в урну, то события B и B1 зависимые; в случае возвращения в урну первого вынутого шара события B и B1 будут независимыми. Смысл независимости случайных событий заключается в том, что вероятность появления одного события не зависит от того, произошло или не произошло другое событие. Независимые события являются результатом не связанных между собой испытаний. А для зависимых событий вероятность появления одного события зависит от того, произошло или не произошло другое событие.

Формулировки и основные понятия

Операции над событиями

Поскольку случайное событие есть некоторое подмножество элементарных событий, то операции над событиями сводятся к операциям над множествами. В результате каждой операции поучают новое событие.

Суммой (объединением) двух событий A и B называется третье событие C, оно заключается в том, что произойдет хотя бы одно из них, то есть произойдет: 1)или только А 2)или только В 3)или оба вместе. Обозначение суммы: А + В = С или АUB = C.

Смысл суммы: событие А + В состоит из всех элементарных событий, принадлежащих событию А или В.

Произведением (пересечением) двух событий А и В называется третье событие С состоящее в совместном наступлении событий А и В. Обозначение произведения событий: АВ = С, А · В = С или А∩В = C. Смысл произведения заключается в том, что событие АВ состоит из элементарных событий, принадлежащих одновременно событию А и В.

Основные теоремы теории вероятностей

К числу основных теорем теории вероятностей относится теорема сложения и теорема умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей: Вероятность появления хотя бы одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления: Р(А+В)=Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

В качестве примера можно привести вычисление вероятности выпадения хотя бы одного герба при бросании двух монет: Р(Г1 + Г2) = Р(Г1) + Р(Г2) – Р(Г1Г2) = 0,5 + 0,5 – 0,25 = 0,75.

Для понимания теоремы умножения вероятностей требуется усвоить понятие условной вероятности события А при условии, что событие В произошло: Р(А׀В).

Рассмотрим пример: пусть в урне находятся три черных и четыре белых шара. Вероятность извлечения белого шара Р(А)=4/7. Вероятность извлечения белого шара при условии, что до этого был извлечен черный шар и не возвращен в урну: Р(Б׀Ч) = 4/6 = 2/3. Вероятность извлечения белого шара при условии, что до этого был извлечен белый шар и не возвращен в урну: Р(Б׀Б) = 3/6 = ½. Видно, что вероятность извлечения белого шара(событие Б) зависит от условия которое предшествовало испытанию.

Теорема умножения вероятностей: Вероятность произведения (совместного появления) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло: Р(АВ) = Р(А) · Р(В׀А) = Р(В) · Р(А׀В).

Например, в урне находятся три белых и семь черных шаров. Последовательно вынимают два шара( без возвращения). Найти вероятность того, что оба окажутся белыми. Вычисление этой вероятности основано на теореме умножения вероятностей: Р(Б1Б2) = Р(Б1) · Р(Б2׀Б1) = 3/10 · 2/9 = 1/15.

Теорема сложения вероятностей для несовместных событий: Р(А+В) = Р(А) +Р(А).

Теорема сложения вероятностей для противоположных событий: Р(А+Ā) =Р(А) + Р(Ā) = 1

Теорема умножения вероятностей для независимых событий: Р(АВ) = Р(А) · Р(В)

Теорема умножения вероятностей для противоположных событий: Р(АĀ) = 0 ( Ā- противоположное событие)

Математическое ожидание

Математическим ожиданием случайной величины x называют число, обозначаемое M(x), равное сумме произведений значений случайной величины на вероятности этих m значений т. е. M(x) = ∑ xi pi Если значения случайной величины x имеет одну и ту же i=1 m m вероятность р то M(x) = ∑ xi 1/m = 1/m ∑x1 i=1 i=1 т. е. в этом случае математическое ожидание случайной величины x равно среднему арифметическому ее значений. Говорят, что математическое ожидание случайной величины есть среднее взвешенное (вероятностями) ее значений. Математическое ожидание называют еще средним значением случайной величины. Говорят и так: математическое ожидание случайной величины есть ее значение в среднем.

Пример 1. Бросают игральную кость. Найдем математическое ожидание величины x – числа выпавших очков. Случайная величина x принимает значения, равные числу выпавших очков, т. е. значения 1,2 , 6, причем каждое с вероятностью 1/6. По формуле

M(x) = 1/6 · 1 + 1/6 · 2 + + 1/6 · 6 = 1/6 (1+2++6) = 3,5 т. е. при любом бросании игральной кости в среднем выпадет 3,5 очка. Следовательно, искомое математическое ожидание равно 3,5.

Пример 2. Два стрелка стреляют по мишени, состоящей из трех областей. Попадание в первую область дает стрелку 3 очка, во вторую – 2 очка, в третью – 1 очко, непопадание в мишень – 0 очков. Законы распределения вероятности числа выбитых очков для каждого из стрелков заданы таблицами 1 и 2, где x – число очков, выбитых первым стрелком, y – вторым. Определим, какой стрелок в среднем лучше стреляет по этой мишени.

Таблицы 1 и 2

xi 3 2 1 0

pi 0,5 0,1 0,2 0,2

yi 3 2 1 0

pi 0,3 0,55 0,1 0,05

Сравним искусство стрельбы стрелков по данной мишени по числу очков, выбиваемых в среднем каждым стрелком, т. е. сравним математические ожидания: M(x) = 3 · 0,5 + 2 · 0,1 + 1 · 0,2 + 0 · 0,2 = 1,9 и M(y) = 3 · 0,3 + 2 · 0,55 + 1 · 0,1 + 0 · 0, 05 = 2,1. Второй стрелок в среднем выбивает больше очков, т. е. второй стрелок стреляет в среднем лучше.

Сложный опыт

Пусть производится несколько опытов. Опыты называют независимыми, если вероятность появления какого–либо события А в каждом опыте никак не зависит от появления или непоявления этого события в других опытах. Можно говорить о сложном опыте, заключающемся в том, что производятся n независимых опытов. Сложный опыт порождает новые события, каждое из которых для n = 2 обозначается (А,В) и заключается в том, что в первом опыте произошло событие А, а во втором – событие В. Совокупность всех упорядоченных пар (А,В) образует множество всех событий, порождаемых данным сложным опытом. Для двух независимых опытов справедливо равенство Р(А,В) = Р(А)Р(В)(1) т. е. для двух независимых опытов вероятность события (А,В), заключающегося в том, что в первом опыте происходит событие А, а во втором – событие В, равна произведению вероятностей события А в первом опыте и события В во втором опыте. В самом деле, считаем, что в первом опыте имеем равновозможные и единственно возможные случаи А1, А2, , Аn , а событию А благоприятствуют m таких случаев. Таким образом Р(А)=m/n. Считаем также, что во втором опыте имеем равновозможные и единственно возможные случаи В1, В2, , Вk, а событию В благоприятствует l таких случаев. Таким образом, Р(В)=l/k. Так как в сложном опыте может произойти только kn равновозможных и единственно возможных случаев, а из них только ml благоприятствуют событию (А,В), то Р(А,В)=ml/nk = m/n · l/k = P(A)P(B). Формула(1) обобщается на n независимых опытов Р(А1, А2, , Аn) = Р(А1)Р(А2)··Р(Аn). Если произведено n независимых опытов, то вероятность события (А1, А2, , Аn), заключающегося в том, что в первом опыте произойдет событие А1, во втором – А2 и т. д. , в n-м Аn, равна произведению вероятностей событий А1, А2, , Аn соответственно в первом, во втором, , в n-м опыте.

Пример: задача де Мерэ. Какова вероятность того, что при бросании игральной кости 4 раза хотя бы один раз выпадет 6 очков? Вероятность того, что при четырехкратном бросании игральной кости 6 очков не выпадет ни разу, равна (5/6) 4. Пусть в сложном опыте – четырехкратном бросании игральной кости- событие А заключено в том, что 6 очков не выпадет ни разу, а событие В – 6 очков выпадает хотя бы один раз. События а и в несовместные, их сумма (объединение) – достоверное событие, поэтому В=Ā и Р(В)=Р(Ā)=1-Р(А). Отсюда следует, что вероятность того, что при четырехкратном бросании игральной кости 6 очков выпадет хотя бы один раз, равна 1-(5/6) 4 ≈ 0,518.

Схема Бернулли. Два свойства чисел Рn(k). Закон больших чисел

В развитии теории вероятностей важную роль играла и продолжает играть так называемая схема Бернулли (при больших n вычисления по этой схеме технически трудны). Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых может произойти событие А с одной и той же в каждом опыте вероятностью р и не произойти с вероятностью q=1-p. Вероятность того что при этом событие А появится ровно m раз, а событие Ā(не А) n-m раз вычисляется по формуле: Pn (m) = Cnmpm q n-m

Пусть всхожесть семян некоторого растения равна 90%. Найдем вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут три.

В данном примере р=0,9, q=1-p=0,1, n=5, k=3. Тогда P5 (3) = C53 · 0,93 · 0,12 ≈ 0,0729 т. е. вероятность того, что из пяти посеянных семян взойдут 3, приближенно равна 7%. Очевидно, что n

∑ Pn (k) = 1, (2) k=0 потому что события Аk несовместимы и их сумма есть достоверное событие. Равенство (2) следует также из формулы бинома Ньютона: n n

∑ Pn (k)= ∑ Cnkpk q n-k = (p+q) n=1 n=1 k=0 k=0

Равенство(2) выражает первое свойство чисел Pn(k): для любого натурального n сумма всех чисел Pn(k) равна 1.

Мы видим что числа P10(k) c возрастанием k от 0 до m=np=10·1/5=2 возрастают, а для k>m убывают. Последовательность чисел Р10(k) можно было бы продолжить для k= 6,7,8,9,10. Но это не сделано потому, что соответствующие этим k числа Р10(k) очень малы, т. е. близки к нулю. Здесь существенно то, что большие из чисел Р10(k) группируются около числа Р10(m), где m=np=2.

Сформулируем теперь второе свойство чисел Pn(k). Существует натуральное число m, приближенно равное np (m≈np с точностью до 1), такое, что при возрастании k от 0 до m( иногда и при k=m+1)достигают максимума, а при дальнейшем возрастании k убывают. При этом большие числа Pn(k) группируются около максимального значения Pn(m). В примере 2, вычисляя значения Pn(k), можно показать, что дробь k/n(относительная чистота появления события А) для k, близких к m,отличается от р. Действительно в примере 2 сумма P10(1) + P10(2)+ P10(3) есть, очевидно, вероятность того, что при рассматриваемом нами десятикратном повторении опыта событие А произойдет либо 1, либо 2, либо 3 раза. Это записывают так: Р(1≤k≤3= P10(1) + P10(2)+ P10(3). Поскольку неравенство 1≤k≤3 можно записать так: ‌‌‌‌‌‌‌ k-2‌‌‌‌‌‌‌≤1 или так: ‌‌‌‌‌‌‌ k/10-1/5‌‌‌‌‌‌‌≤0,1 – и поскольку P10(1) + P10(2)+ P10(3)≈0,7717, то пишут Р{‌‌‌‌‌‌‌ k/10-1/5‌‌‌‌‌‌‌≤0,1}≈0,7717. Это приближенное равенство означает, что при десятикратном повторении опыта, в котором вероятность наступления события А равна 1/5, вероятность того, что относительная чистота k/10 повторения события А отличается от вероятности события А на величину, не большую чем 0,1, приближенно равна 0,7717, что достаточно близко к 1. Этот пример подтверждает так называемый закон больших чисел. Пусть в опыте вероятность появления некоторого события А равна р. Тогда при многократном повторении опыта(считая эти опыты независимыми) близка к 1 вероятность того. Что относительная частота появления события А мало отличается от р. Этот закон можно сформулировать более точно. Закон больших чисел. (теорема Бернулли). Для любых сколь угодно малых положительных чисел ε и δ можно указать достаточно большое натуральное число n, такое, что при n-кратном повторении опыта относительная частота m/n события А, имеющего вероятность р, отклоняется от р с вероятностью, большей чем 1-δ: Р{‌‌‌‌‌‌‌ m/n-p‌‌‌< ε }>1- δ.

Определение вероятности событий

Классическое и статистическое определение вероятности

Классическое определение вероятности события исторически появилось первым. Пусть Ω={ωi}, i=1,2,,n, где ωi – равновозможное элементарные события, n – число этих событий. Очевидно, что вероятности равновозможных событий p1=p2== pn=1/n. Пусть событие А есть некоторое подмножество множества Ω:А= {ωk}, где ωk – элементарное событие, благоприятствующее событию А. Пусть m – число равновозможных элементарных событий, благоприятствующих событию А. Вероятностью события А называется число, равное отношению m/n, или P(A)=m/n. Известно также статистическое определение вероятности события. Практика показывает, что массовые, случайные явления обладают свойством устойчивости частоты их появления – отношения числа появлений случайного события к числу испытаний. Примером может служить выпадение герба или цифры при бросании монеты, которое является простым и наглядным испытанием. Практика человека говорит о том, что при большом числе бросаний примерно в 50% испытаний выпадает герб, а в 50% цифра. А это уже определенная закономерность. Здесь нас интересует не результат отдельного подбрасывания, а то, что получится после многократных подбрасываний. Этот простой эксперимент может служить моделью для решения других задач. Устойчивость частоты случайного события – это объективное свойство массовых, случайных событий реального мира. Отсутствие устойчивости частоты в сериях испытаний свидетельствует о том, что условия испытаний изменяются. Вероятность события представляет собой число, к которому стремится его частота при неограниченном увеличении его испытаний.

Геометрическое определение вероятности

Для начала обозначим, какой фигурой будет Е. За Е мы обозначаем пространство испытания или события. Пусть это будет круг с треугольником внутри него. В круг наудачу «бросается точка». Как определить вероятность события А, состоящего в том, что точка попадает в треугольник? При подходе к решению этой задачи будем руководствоваться тем, что вероятность попасть в какую- либо часть круга пропорциональна площади этой части. Если площадь круга составляет n единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности: где k- число испытаний. Однако m/n в данной ситуации не обязано быть рациональным числом, хотя формально результат записывается так же, как в классической формуле. Но здесь смысл иной. Можно на конкретном примере показать, что геометрический подход к вероятности события не зависит от вида измерений геометрического пространства: важно только, чтобы пространство Е и подпространство, представляющее событие А были бы одинакового вида и одинаковых измерений. Геометрический вариант изображения вероятности события является важным средством подхода к расчету вероятностей сложных событий.

Формула полной вероятности

Формула полной вероятности рассматривает общую вероятность нескольких событий, а именно пересечений данных событий с другим (и) событием(ями). Если требуется найти вероятность события А, которое происходит вместе с одним из независимых событий В1, В2,Вn. Если А произошло вместе с одним из событий В1, В2,Вn, значит произошло одно из несовместных событий. Таким образом событие А представляет собой одно из событий:. А это означает, что

Поскольку события В1,В2. Вn взаимно несовместны, то и события обладают тем же свойством. Поэтому Р(А)=Р()+Р() ++Р(). С помощью теоремы умножения вероятностей получаем:

Поэтому Р(А)=Р(АВ1)·Р(В1)+Р(АВ2)·Р(В2)++Р(АВn)·P(B1). Данное равенство носит название формулы полной вероятности. Также формулу полной вероятности можно записать так: n

Р(А)=Σ Р(Вi)P(AB). i=1

Комбинаторика и вероятность

Комбинаторикой называется область математики, в которой изучают вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из элементов, принадлежащих заданному множеству.

Иногда комбинаторику рассматривают как введение в теорию вероятностей, поскольку методы комбинаторики очень помогают в теории вероятностей осуществить подсчет числа равновозможных исходов и числа благоприятных исходов в разных конкретных случаях.

В теории вероятностей принято говорить не о комбинациях, а о выборках. Поэтому мы будем придерживаться термина «выборка».

В комбинаторике рассматриваются виды выборок - перестановки, размещения, сочетания.

Основной принцип комбинаторики

Основной принцип комбинаторики гласит: если что-либо одно можно осуществить m способами, а нечто другое – n способами, то эти действия последовательно можно осуществить m×n способами.

Обычно торшеры выпускаются с одной большой лампой, которая может работать в трех режимах или быть выключенной, и тремя лампами поменьше, которые можно включать по 0, 1, 2 или 3. Таким образом, у торшера всего 4×4 = 16 рабочих режимов (в одном из них все лампы выключены), поэтому правильнее было бы говорить, что торшер можно включать 15-ю различными способами, а не 16-ю, как иногда пишут в рекламных объявлениях.

Многие задачи теории вероятностей удается проанализировать, если воспользоваться некоторыми следствиями из приведенного выше комбинаторного принципа. Размещение предметов в определенном порядке называется перестановкой этих предметов. Например, существуют шесть перестановок чисел 1, 2, 3, а именно: 1, 2, 3; 1, 3, 2; 2, 1, 3; 2, 3, 1; 3, 1, 2; 3, 2, 1. Число перестановок из n предметов равно 1×2×3× ×n. Сокращенно это число записывается как n! (и читается как «факториал числа n» или «n факториал»).

Любое размещение предметов, порядок которых не имеет значения, называется сочетанием. Из набора чисел 1, 2, 3, 4, 5 можно извлечь десятью различными способами любые два числа, если мы условимся не различать пары, состоящие из одних и тех же чисел, взятых в различном порядке, т. е. , например, не различать 1, 2 и 2, 1.

Если из двенадцати человек нужно выбрать комитет в составе девяти членов, то это можно сделать столькими способами, сколько сочетаний из двенадцати по девять мы можем составить. Это, естественно, относится к случаю, когда сам порядок размещения членов внутри комитета несуществен. Любая из 9! перестановок девяти членов комитета приводит к одному и тому же составу комитета, так как состав комитета не зависит от того, в каком порядке перечислять его членов. Иначе говоря, число перестановок 12×11×10×9×8×7×6×5×4 дает ответ, который в 9! раз больше, чем нужно. Следовательно, число сочетаний из двенадцати человек по девять равно указанному произведению, деленному на 9!, или

В общем случае число сочетаний из n по r равно n (n – 1)(n – 2) (n – r + 1)/r! или n!/r!(n – r)! Это число называется биномиальным коэффициентом (см. также Еще один полезный принцип состоит в утверждении, что n предметов можно разложить в r коробок rn различными способами, если в любой коробке может находиться любое число предметов. Чтобы убедиться в этом, заметим, что первый предмет можно положить в любую из r коробок, после чего второй предмет также можно положить в любую из r коробок и т. д. Таким образом, n предметов можно разложить способами.

Применение теории вероятностей

Многие задачи науки, техники и повседневной жизни можно решать двумя путями: полагаться на свой рассудок и здравый смысл, или на строгой математической основе. Модели, основанные на теории вероятностей, позволяют обоснованно анализировать и прогнозировать изучаемые события, явления, процессы. При этом разнообразные события подчиняются одним и тем же вероятностным закономерностям. Поэтому теория вероятностей применяется во всех современных естественных науках. На основе теории вероятностей построены научные теории статистической физики, квантовой механики, теории эволюции, генетики, теории информации, исследования операций и др. На языке теории вероятностей формулируются существенные, объективные связи, изучаемые в научных теориях.

Вероятностно–статистические методы играют важную роль в практической деятельности - это контроль качества продукции, техническая диагностика оборудования, технология производства, обеспечения надежности оборудования, организация массового обслуживания, военное дело (стрельба, бомбометание, тактика, теория боеприпасов), получение достоверных результатов измерений, астрономические наблюдения и многое другое.

Термин - теория вероятностей, применяется в узком и широком смыслах. В узком смысле это изучение вероятностных закономерностей случайных событий и случайных величин, а в широком смысле это изучение вероятностных закономерностей других явлений. Теория вероятностей как наука в широком смысле содержит разделы математической статистики, случайных процессов и др.

От теории вероятностей отпочковались и оформились в самостоятельные научные дисциплины:

1) теория информации, предметом которой являются закономерности, связанные с получением, передачей, хранением и преобразованием информации; в этой теории случайным событием является сообщение – совокупность знаков, содержащих определенную информацию;

2) теория массового обслуживания, изучающая закономерности систем для удовлетворения массового спроса в отдельном виде потребностей; основным понятием является требование (вызов, заявка и др. ) – случайное событие, наступление которого вызывает необходимость в его обслуживании, например вызов скорой помощи требует выезда к больному;

3) теория надежности, занимающаяся методами обеспечения работы различных объектов в процессе их эксплуатации; в основе этой теории лежит понятие «отказ» - случайное событие, заключающееся в утрате работоспособности.

Следует отметить, что методы теории вероятностей не противопоставляют себя методам, основанным на применении аппарата математического анализа, а дополняют эти методы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в теории вероятностей изучаются реально существующие независимо от нашего сознания законы случайных явлений. Теория вероятностей предлагает математический аппарат для описания этих законов. Этот математический аппарат является таким же логически строгим и точным, как и математический аппарат в других разделах математики. Рассмотренные понятия позволяют дать следующее определение теории вероятностей: теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий и других случайных явлений.

Данная статья помогает разобраться в сущности теории вероятностей, научиться решать с помощью нее математические задачи, понять в каких областях она может применяться.