Скрытые «пружины» квазиупругих колебаний

Движение маятника в часах, землетрясения, переменный ток в электрической цепи, процессы радиопередачи и радиоприема – это совершенно различные, не связанные друг с другом процессы. Каждый из них имеет свои особые причины, но их объединяет один признак – признак общности характера изменения физических величин с течением времени. Эти и многие другие процессы различной физической природы во многих случаях оказывается целесообразным рассматривать как один особый тип физических явлений – колебаний.

В школьном курсе физики за 9 класс мы получили общие представления об этом виде движения, но практической работы в виде лабораторных работ и решения задач по данной теме было недостаточно, на наш взгляд, для такой интересной темы, а решение задач составляет неотъемлемую часть полноценного изучения физики на любом уровне. Умение выбрать путь решения задачи, т. е. умение определить, какие именно физические законы описывают рассматриваемое явление, как раз и свидетельствуют о глубоком понимании физики.

Изучая физику, мы постепенно узнаём различные физические законы, одни из которых относятся только к определённому кругу явлений, например механических, электрических, оптических, другие же являются фундаментальными, общими для всех физических явлений. При решении задач необходимо умение уверенно применять законы сохранения, но научиться правильному применению этих законов не так просто. Таким образом, решая физическую задачу, мы учимся использовать не конкретные законы, относящиеся к ограниченному кругу явлений, а наиболее общие законы, справедливые для физики в целом. Процесс решения задачи похож на небольшое исследование. Как и в настоящем научном исследовании, заранее далеко не всегда ясно, какой должна быть последовательность действий для получения результата. Никаких универсальных рецептов для этого не существует. Необходимое умение приходит в результате упорного труда по мере накопления опыта.

Физический мир сложен. Далеко не все явления поддаются классификации по разделам физики. Поэтому порой не так просто отнести ту или иную задачу к определённому разделу. Но именно такие задачи, как правило, предоставляют наибольший интерес, поскольку в них можно почувствовать единство физического мира, увидеть аналогию между совершенно разными по своей физической природе явлениями и найти общий язык для их описания.

По нашему мнению, изучение квазиупругих колебаний как раз и позволит нам потренироваться в решении задач, включающих самые разные разделы физики, что особенно актуально для нас, как будущих выпускников школы.

Таким образом, цель нашей работы – изучить особенности квазиупругих колебаний. Задачи:

1. Повторить теоретические основы механических колебаний.

2. На примере конкретных задач разработать алгоритм нахождения периода колебаний для квазиупругих колебательных систем.

3. Проверить экспериментально найденные теоретически соотношения.

1. Основные теоретические положения

Понятие и виды колебаний

Общий признак физических явлений, называемых колебаниями, – это их повторяемость во времени. При различной физической природе многие колебания происходят по одинаковым законам, что позволяет применять общие методы для их описания и анализа.

Механические колебания – это движения, которые точно или приблизительно повторяются через определённые интервалы времени.

Вынужденные колебания – это колебания, которые происходят под действием внешней, периодически изменяющейся силы.

Свободные колебания – это колебания, которые возникают в системе под действием внутренних сил, после того как система была выведена из положения устойчивого равновесия.

Гармонические колебания. Из большого числа различных колебаний в природе и технике особенно часто встречаются гармонические колебания. Гармоническими называют колебания, при которых периодические изменения во времени физических величин происходят по закону синуса или косинуса: x=X0sin ωt или x=X0cos (ωt + 0), где x – смещение в любой момент времени; X0- амплитуда колебаний; (ωt + 0) – фаза колебаний; 0 – начальная фаза.

Квазиупругие колебания. Такие колебания совершают тела под действием квазиупругих сил – сил, подобных силам упругости («как бы» упругие силы). Квазиупругая сила, направлена к положению равновесия точке О, величина этой силы пропорциональна расстоянию r от центра О до точки приложения силы; численно F = cr, где с — постоянный коэффициент. Для материальной точки, находящейся под действием квазиупругой силы, центр О является положением устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет совершать около О линейные гармонические колебания или описывать эллипс (в частности, окружность). Тогда понятно, что при рассмотрении квазиупругих колебаний можно использовать соотношения, применимые к силе упругости.

Условия возникновения механических колебаний

1. Наличие положения устойчивого равновесия, при котором равнодействующая равна нулю.

2. Хотя бы одна сила должна зависеть от координат.

3. Наличие в колеблющейся материальной точке избыточной энергии.

4. Если вывести тело из положения равновесия, то равнодействующая не равна нулю.

5. Силы трения в системе малы.

Параметры колебательного движения

1. Смещение x – отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени. Выражается в метрах (м).

2. Амплитуда X0 – наибольшее смещение от положения равновесия.

3. Период Т – время одного полного колебания. Выражается в секундах (с).

4. Частота - число полных колебаний за единицу времени. Выражается в герцах (= Гц).

Связь между периодом и частотой:

5. Величину ω=2π=2π/T называют циклической (круговой) частотой колебаний. Циклическая частота равна числу колебаний, совершаемых материальной точкой за время, равное 2π с.

4. Некоторые важные законы и соотношения

Закон Гука

Знание этого закона поможет нам при изучении колебаний. Закон устанавливает связь между деформацией тела и возникающей при этом силой упругости:

Закон сохранения энергии при колебательном движении

Как происходит превращение энергии при механических колебаниях? Понимание этого процесса поможет при решении задач, так что разберёмся подробнее.

В устойчивом равновесии имеем:

Если считать колебательную систему идеальной, в которой не происходит потерь энергии, то получаем:.

При «расшифровке» формул кинетической и потенциальной энергии соотношение получает следующий вид: + mgh= mghmax==const.

Выполняется закон сохранения энергии и в реальных колебательных системах, но в зависимости от вида этих систем колебания затухают быстрее или медленнее. При этом энергия системы не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию колебательной системы.

Пружинный маятник

Пружинным маятником будем называть колебательную систему, состоящую из одной или нескольких пружин и прикреплённого к ним тела.

Простейший случай – горизонтальное расположение пружины жёсткостью k, прикреплённой к стене, и тела массой m на гладкой поверхности.

Тогда период колебаний пружинного маятника определится по формуле:

Именно эту формулу будем брать за основу при нахождении периода колебаний квазиупругих колебательных систем.

Математический маятник

Математический маятник – модель – материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити.

Законы колебаний математического маятника:

• При небольшой амплитуде колебаний период колебания не зависит от массы маятника и амплитуды колебаний.

• Период колебания прямо пропорционален корню квадратному из длины маятника и обратно пропорционален корню квадратному из ускорения свободного падения: T=2π.

5. Способы графического описания колебаний

Первый способ – задание графика колебаний x=f(t) в декартовой системе координат. По оси абсцисс откладывают время t, а по оси ординат – значение изменяющейся величины x. Для гармонических колебаний этот график – синусоида или косинусоида.

Второй способ представления колебательного процесса – спектральный. По оси ординат отсчитывают амплитуду, а по оси абсцисс – частоту гармонических колебаний. Гармонический колебательный процесс с частотой ω0 и амплитудой Xm представлен в этом случае вертикальным отрезком прямой длинной Xm проведенным от точки с координатой ω0 на оси абсцисс.

Практическое изучение квазиупругих колебаний

Решение задач на определение периода колебаний

Рассмотрим вначале две подзадачи на определение жёсткости системы пружин, соединённых последовательно и параллельно. Это будет необходимо в дальнейшем. При этом будем отталкиваться от той физической величины, которая в данном соединении окажется равной для отдельных пружин и их системы: при последовательном соединении это будет сила F, а при параллельном – удлинение x.

Задача 1. Последовательное соединение пружин.

Дано: Решение:

Ответ:.

Задача 2. Параллельное соединение пружин.

Дано: Решение:

Решение следующей задачи связано с практическим методом измерения периода колебаний, а также с формулой периода колебаний пружинного маятника

Задача 3. Найти массу груза, совершающего 20 колебаний за 16 с на пружине жёсткостью 250 Н/м.

Дано: Решение:

Ответ:.

Задача 4. В стеклянную трубочку налили ртуть так, что весь столбик имеет длину 20 см. Затем трубочку качнули, и ртуть начала колебаться. Определить период колебаний.

Решение:

Дано: Рисунок:

2) Найдем массу ртути, совершающей колебания: (т. к. , где S – сечение трубки)

3) По закону Гука: ,тогда для данной задачи коэффициент упругости.

4) Квазиупругой силой в данном случае является , действующая на неуравновешенную часть ртути

Ответ:0,6с

Задача 5. Найти период колебаний шарика массой m в сферическом углублении радиусом R.

Дано: Рисунок:

Решение:

2) По закону Гука: , тогда для данной задачи коэффициент упругости

3)Из треугольника, образованного радиусом окружности в крайней точке

4) из треугольника, образованного ,

5)Подставим найденные значения и x в формулу коэффициента упругости:

6)Подставим значение k в формулу периода пружинного маятника:

Примечание 1: Формула периода колебания такого маятника почти совпадает с формулой периода колебания маятника с длинной подвеса l.

Примечание 2: период колебания такого маятника не зависит от массы шарика.

Задача 6. Найдите периоды колебаний систем, изображённых на рисунках а, б, в. Коэффициенты жёсткости пружин равны k1 и k2, масса груза m.

Дано: Решение:

3)Соединение равносильно параллельному

Задача 7. Поршень массой m делит цилиндр с газом на две равные части. Допустим, что поршень сдвинули влево на расстояние x и отпустили. Полагая процесс изотермичесим, найти период колебаний поршня.

Дано: Рисунок:

T=const

Решение:

4) Давление газа будем искать по закону Бойля–Мариотта

5) Подставим в значения и :

Задача 7. Шарик А, подвешенный на нити в точке О, отведен в положение В и отпущен. В точке С (так что О С=1/2 ОА ) находится гвоздь, который перегибает нить влево. Какова длина нити ОА, если шарик совершает два полных колебания за 3с?

Дано: Рисунок:

ОС=1/2 ОА

Решение:

Для данного места период качания маятника прямо пропорционален корню квадратному из длины маятника. В данной задаче длина маятника меняется: половину периода он колеблется при длине и половину периода – при длине , т. е.

Полый период колебания нам известен, следовательно,

Для упрощения расчетов примем (действительно, , а среднее значение для g=9,18 ):

Ответ: примерная длина нити 77 см.

Экспериментальная проверка зависимостей

Исследование 1. Проверка формулы периода колебаний пружинного маятника.

Для проведения исследования будем добавлять в каждом опыте по одному грузу 10 г к одной и той же пружине жёсткостью 60 Н/м. Начнём с двух грузов.

№опыта t,с N m,кг K T экспериментальноеT теоретическое

1 4,7 10 0,2 60 0,47 0,4

2 6,1 10 0,3 60 0,61 0,44

3 7,2 10 0,4 60 0,72 0,51

4 7,9 10 0,5 60 0,79 0,6

Исследование 2. Проверка формулы периода колебаний математического маятника.

Для проведения исследования будем добавлять в каждом опыте менять длину подвеса.

Опыт , м N T, с Т экспериментальный T теоретический

1 1,11 10 20,5 2,05 2,11

2 0,92 10 18,8 1,88 1,92

3 0,72 10 16,7 1,57 1,7

4 0,51 10 14,5 1,45 1,43

5 0,3 10 10,5 1,05 1,09

6 0,22 10 9,1 0,91 0,94

Вывод: теоретические и практические значения периодов колебаний достаточно близки, правда, без учёта погрешности точный вывод сделать нельзя.

Заключение

Мы провели решение задач и несколько опытов, основываясь на теоретических положениях. Решая задачи, мы воспользовались известными формулами и математическими выражениями для физических законов и отношений, применимых к колебаниям.

Решение задач было достаточно трудным для нас, даже когда заранее известны правильные ответы. Для необходимо этого глубокое понимание физики и навыки использования именно тех формул, которые должны составлять решение, а так же умение применить это в рамках физического закона.

Мы постарались раскрыть и показать решение некоторых интересных задач, оформив их в данной работе. Надеемся, что результаты нашей работы окажутся полезны не только нам самим, но и другим старшеклассникам, интересующимся физикой.