Раскрывает ли теория вероятности влияние на случайные события?

Случайные события

Все явления окружающей нас действительности можно рассматривать с точки зрения вероятности их наступления. Когда студент идет на экзамен, вероятность получения им хорошей оценки зависит от нескольких причин: подготовленности студента, удачно выбранного билета, самочувствия, настроя.

Экономиста может интересовать вероятность того, что цены на товар не вырастут, если не снизится объем его производства, или вероятность того, что застрахованный автомобиль не попадет в аварию.

Все эти события являются случайными и могут наступить или нет с некоторой долей неопределенности. Количественной мерой такой неопределенности является вероятность наступления случайного события, под которой понимают число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного случайного события.

Случайными событиями называют возможные результаты единичной операции, или испытания.

Под испытанием следует понимать процесс, включающий в себя определенные условия и приводящий к одному из нескольких возможных исходов.

Примеры:

Испытание - бросание монеты, случайное событие - выпадение герба.

Испытание - участие в игре “Русское лото”, случайное событие - выигрыш.

Испытание - прыжок с парашютом, случайное событие - удачное приземление.

Испытание - рождение ребенка, случайное событие - пол ребенка - мужской.

Исходом опыта может быть результат наблюдения, измерения, оценки.

Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.

Событие называется случайным, если в результате испытания (опыта) оно может произойти, а может и не произойти.

Например, стрелок, производящий выстрел, может попасть или не попасть в цель. В этом случае испытание – это выстрел, а возможные элементарные исходы – попадание или не попадание в цель. Футбольная команда может участвовать в матче – это испытание, в результате которого могут наступить исходы, или элементарные события: выигрыш, проигрыш или ничья.

Оценка студента на экзамене – это случайное событие, которое состоит из элементарных событий: получение оценки «отлично», получение оценки «хорошо», получение оценки «удовлетворительно», получение оценки «неудовлетворительно».

Элементарные события можно классифицировать по мере их неопределенности как достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет при определенном комплексе условий.

Например, если в ящике находятся только стандартные детали, то извлечение из него стандартной детали есть событие достоверное. достоверным является и то, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Событие, которое не может произойти в результате данного испытания, называется невозможным.

Если в ящике все детали стандартные, то извлечение из него нестандартной детали есть событие невозможное. Квадрат вещественного числа не может быть отрицательным.

Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.

Случайным, как уже отмечалось ранее, называют событие, которое может либо произойти, либо не произойти в результате некоторого испытания.

Так, при бросании игральной кости случайными событиями являются: выпадение задуманного числа очков, выпадение нечетного числа очков, выпадение числа очков не больше трех и т. п. Так, например, при стрельбе из ружья случайным событием может быть попадание стрелком в цель при одном выстреле, а можно рассматривать событие, состоящее в попадании стрелком в цель три раза из пяти выстрелов.

Случайными являются и изменения погоды, ураганы, тайфуны, землетрясения, катастрофы, банкротство фирм, однако многие из этих событий люди научились предугадывать с достаточно большой точностью.

Фундаментом для научного подхода к поиску ответов на вопросы подобного рода является теория вероятностей.

Зарождение теории вероятностей и формирование первых понятий этой ветви математики произошло в середине 17 века, когда Паскаль, Ферма, Бернулли попытались осуществить анализ задач связанных с азартными играми новыми методами. Скоро стало ясно, что возникающая теория найдет широкий круг применения для решения многих задач возникающих в различных сферах деятельности человека. Однако только в 20 веке теория вероятностей превратилась в стройную математическую дисциплину, основанную на строгих математических доказательствах.

Виды случайных событий

Рассмотрим некоторые виды случайных событий, различающихся с точки зрения их вероятностей: совместные и несовместные, единственно возможные, равновозможные и противоположные события.

Несколько событий называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.

Например, при бросании трех монет выпадение цифры на одной из них не исключает выпадение цифры на других монетах; если человек счастлив, это не исключает что он богат.

Несколько событий называются несовместимыми в данном опыте, если появление одного из них исключает появления других.

например, сдавая экзамен по какой-то дисциплине, невозможно получить одновременно и отличную оценку и удовлетворительную. При одном бросании игральной кости события, состоящие в выпадении одного, двух и трех очков представляют собой три несовместных события.

События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или , или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут).

Например, покупатель подходит к киоску, где продаются газеты и журналы. Обязательно произойдет одно из следующих событий: «покупатель купит газету», покупатель купит журнал, «покупатель не купит ни газету, ни журнал», «покупатель купит и газету, и журнал». Эти события единственно возможны.

Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. Например, при бросании игральной кости появление каждой из ее граней – события равновозможные, выпадение одного из секторов при вращении рулетки не более вероятно, чем выпадение любого другого сектора.

Два единственно возможных и несовместимых события называются противоположными. Попадание в цель и промах при одном выстреле являются противоположными событиями, так же покупка и продажа одного и того же товара.

Совокупность всех единственно возможных и несовместимых событий называется полной группой событий. Два противоположных события всегда составляют полную группу.

Полную группу, например, при выполнении контрольной работы одним из учащихся составляют события:

- получение оценки «отлично»;

- получение оценки «хорошо»;

- получение оценки «удовлетворительно»;

- получение оценки «неудовлетворительно»;

Вероятности случайных событий

(Классическое и статистическое определение вероятности)

Как видим, наступление случайного события в результате испытания, вообще говоря, нельзя предсказать заранее в принципе. Этот факт - непредсказуемость наступления - можно в некоторых случаях считать главным отличительным свойством случайного события. Тем не менее, имеется возможность некоторые случайные события подвергнуть анализу методами математики.

Производя достаточно большое количество опытов или испытаний, можно определить, как часто появляется событие, и вычислить вероятность его наступления. Вероятность, определенную таким образом, называют статистической или послеопытной. В некоторых случаях можно определить доопытную вероятность, которую называют классической.

Понятие классической вероятности связано со следующими условиями:

- А1, А2, , Аn – полная группа событий;

- при каждом испытании обязательно происходит одно и только одно событие А1, А2, , Аn; А1+ А2+ +Аn;

- все события А1, А2, , Аn равновозможны, часто слова «наудачу», «наугад» указывают на равновозможность.

Классическое определение вероятности – при условии выполнения указанных выше требований вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов. Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех возможных исходов N. тогда для определения вероятности можно использовать формулу Р(А) = М/N. Так, вероятность того. что один из учеников будет вызван к доске, равна 1/n, где n – количество учащихся в классе, а вероятность того, что при бросании игральной кости выпадет цифра 5 равна 1/6.

В урне находится 10 шаров белого цвета и 5шаров красного цвета. пусть событие А состоит в изъятии из урны шара белого цвета. Определим вероятность события, исходя из определения классической вероятности. Общее число возможных несовместных элементарных исходов при изъятии шара из урны равно N=15, а число исходов, благоприятствующих событию а, равно М=10. Тогда вероятность изъятия белого шара Р(А)= М/N = 10/15 = 2/3. Это означает? что в среднем в двух случаях из трех будет изъят из урны белый шар.

Определяя вероятность события А, мы заранее знали о том, сколько белых и красных шаров находится в урне. Как же следует поступить с расчетом вероятности события А, если предварительных сведений нет? Очевидно, что следует провести эксперимент: вынимать шар из урны, фиксировать, какого цвета шар был изъят, и класть его обратно. Повторяя эти действия достаточно большое количество раз ( 100, 1000 и более), можем посчитать, сколько раз произошло событие А, т. е. был вынут белый шар. Обозначим через m - частоту события А, число «удачных» изъятий, в том смысле, что интересующее нас событие А осуществилось, и n – m результатов оказалось «неудачными» – событие А не произошло.

Определение: отношение числа «удачных» исходов к числу всех испытаний, т. е. m/n, называют частотностью события А или относительной частотой. Давно было замечено, что частотность появления событий, не сводящихся к схеме случаев, при многократно повторяющихся опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Другими словами для многих случайных событий относительная частота обладает свойством устойчивости, то есть в различных длинных сериях испытаний относительные частоты одного и того же случайного события мало отличаются друг от друга.

Знаменитый швейцарский ученый Яков Бернулли привел математическое доказательство того, что при большом числе испытаний частотность стремится воспроизвести вероятность и в пределе при большом числе опытов должна практически совпадать с ней, это положение носит название закона больших чисел. Многие ученые проводили специальные опыты для проверки закона Бернулли, вычисляя частотность появления событий, сводящихся к схеме случаев, и сравнивая её с вероятностью вычисленной.

Устойчивость относительной частоты была обнаружена и многократно подтверждена экспериментально естествоиспытателями в XVII-XIX веках. Наиболее впечатляющим является результат К. Пирсона, который бросал монету 12000 раз, затем осуществил еще одну серию бросаний - 24000 раз. В этих сериях он подсчитывал количество выпадений герба и получил значения относительной частоты для него 0,5016 и 0,5005, отличающиеся друг от друга на 0,0011. Для случайных событий обладающих свойством устойчивости, относительную частоту наступления события естественно считать степенью возможности наступления случайного события.

Пример:

Баскетболист А из некоторого положения попал в кольцо 4 раза при 11 бросках. Баскетболист В из этого же положения - 6 раз при 18 бросках. Какому из игроков доверить выполнение штрафного удара из этого положения?

Решение.

Найдем относительные частоты попадания в кольцо этими игроками: т. к. относительная частота первого больше второго, то выполнение штрафного лучше доверить игроку А. Если относительная частота больше, то больше и уверенность в успехе.

При использовании относительной частоты в качестве меры возможности наступления случайного события возникают две трудности. Первая - в разных сериях испытаний получаются разные значения частоты, непонятно какое из полученных значений “более истинно”. Вторая - относительную частоту можно найти только после испытаний, причем желательна достаточно длинная серия, так как свойство устойчивости проявляется тем отчетливее, чем длиннее серия. Для однородных массовых операций частотность ведет себя устойчиво в том смысле, что частотность в различных сериях испытаний незначительно отклоняется от некоторого числа р, и это отклонение тем меньше, чем больше проведено испытаний. Это число р называют вероятностью события А для данной массовой операции и обозначается через Р(А): р = Р(А).

Таким образом можно дать определение вероятности, называемое статистическим: вероятностью события А, или вероятностью «удачного» исхода единичной операции, называется среднее значение частости, т. е. среднее значение отношения числа «удачных» исходов к числу всех проведенных единичных операций (испытаний), которое достаточно велико.

Чтобы получить статистическое значение вероятности события В – выпадение «решки», надо подбрасывать монету много раз и подсчитывать число m – количество выпадений «решки», затем, разделив m на n, - общее число бросков, определить после опытную вероятность.

При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности. Если мы можем определить шансы наступления события теоретически, имея предварительные сведения, то это доопытная (априорная) вероятность. Если же мы можем определить вероятность только по результатам опыта, - это после опытная вероятность (апостериорная).

В дальнейшем мы будем говорить о свойствах вероятности, не указывая на то, каким способом было получено ее значение, какой бы вид вероятности не был выбран для их вычисления и анализа используется один и тот же набор математических правил.

Свойства вероятности

- Вероятность достоверного события равна 1.

- Если событие невозможное, то его вероятность равна 0.

- Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. , т. е. справедливо неравенство 0≤Р(А)≤1

- Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. , т. е. Р(А) + Р(А) = 1

Например, если вероятность извлечения туза из колоды, состоящий из 36 карт равна 4/36 = 1/9, то вероятность извлечения карты, не являющейся тузом. равна 1 – 1/9 = 8/9.

Таким образом, можно сделать вывод о том. что для каждого события А при неизменных условиях вероятность Р(А) есть некоторое постоянное число заключенное между 0 и 1: 0≤Р(А)≤1. Иногда вероятность выражается в процентах: Р(А) 100% есть средний процент числа появлений события А. Чем больше вероятность события, тем чаще оно наступает. и наоборот, чем меньше вероятность события, тем реже оно наступает. Когда вероятность события близка к единице, то оно наступает почти при всех испытаниях. О таком событии говорят, что оно практически достоверно, т. е. что можно наверняка рассчитывать на его наступление.

Наоборот, когда вероятность равна нулю или очень мала, то событие наступает крайне редко: о таком событии говорят, что оно практически невозможно. Насколько должна быть мала вероятность события, чтобы практически можно было считать его невозможным? общего ответа здесь дать нельзя, так как все зависит от того, насколько важно это событие.

Если, например, вероятность того, что электрическая лампочка окажется испорченной, равна 0,01, то с этим можно примириться. Но если 0,01 есть вероятность того, что в банке консервов образуется сильный яд ботулин, то с этим примириться нельзя, т. к. примерно в одном случае из ста будет происходить отравление людей, и человеческие жизни окажутся под угрозой.

Для несовместных событий можно использовать следующее свойство вероятностей:

Пусть имеются события, образующие полную группу и известны вероятности этих событий, причем, так как они несовместны, сумма вероятностей всех этих событий будет равна единице. Это свойство используется на практике в задачах экономического анализа и научно-исследовательских работах.

Проведение эксперимента

На каждом этапе исследования решались свои задачи.

-Организационный этап: целью его являлась организация экспериментальной работы. Для того, чтобы провести эксперимент необходимо изучить теоретические вопросы, спланировать с кем этот эксперимент будет проводиться, какой необходим материал для проведения эксперимента, на какие вопросы хотим получить ответ, какой результат может получиться.

- Проведение эксперимента: проводился с учащимися школы в течение нескольких дней. Основной целью было зафиксировать выбор, который делали учащиеся и выявить закономерности в событиях, а так же установить факторы, если таковые есть, влияющие на выбор учащихся.

- Аналитический этап. Его основная цель обработать полученную информацию, сравнить практически полученные результаты с теоретическими, сделать соответствующие выводы.

- Прогностический этап предполагает на основании данных эксперимента и с учетом теоретических обоснований предположить протекание какого-то события

- Контрольный этап необходим для оценки эффективности проделанной работы.

Эксперимент №1

Вытаскивание из 15 лампочек, 2 из которых бракованные, произвольным образом 2 лампочки. Определить вероятность того, что обе лампочки окажутся бракованными; обе лампочки будут исправными; одна лампочка будет исправной, одна бракованной.

Возможные исходы:

1. Обе лампочки исправные.

2. 1 лампочка исправная, другая бракованная.

3. Обе лампочки бракованные.

Предполагаем,, что наиболее возможным исходом является вытаскивание 2 исправных лампочек, наименее возможным исходом является вытаскивание 2 бракованных лампочек.

Проведя эксперимент с учениками нашего класса, получили следующие результаты:

- Обе лампочки исправные – 6 раз

- 1 лампочка исправная, другая бракованная – 3 раза

- Обе лампочки бракованные – 1 раз