Метод сетей

Метод сетей

Автор: Бондаренко Лилия Сергеевна ученица 9 класса

МОУ «СОШ №15»

Руководитель: Прокопьева Ольга Валерьевна учитель математики I категории

МОУ «СОШ №15 г. Ангарск

Оглавление

Введение.

Словарь терминов.

Идея метода

Квадратная решетка

Треугольная решетка.

Косая решетка.

Равномерная решетка.

Неравномерная решетка

Задачи для самостоятельной работы.

Где мы еще встречаемся с сетями (решетками)?.

Заключение.

Список используемой литературы

Приложения

Текст выступления (к компьютерному приложению)

Идея метода

При решении геометрических задач бывает очень эффективным использование метода сетей (или метода решеток).

Данную в условии задачи фигуру надо попытаться подходящим образом «покрыть сетью», образованную несколькими семействами линий сети. Наиболее простой пример сети – два таких семейства прямых, что любая прямая, относящаяся к одному из них, пересекается с любой прямой, входящей в другое. Сказанное можно представить себе наглядно как размещение заданной конфигурации на решетчатой бумаге с квадратными, прямоугольными, косыми, треугольными или какими-либо иными ячейками сети. Обычно бывает важно, чтобы «существенные» для задачи точки рассматриваемой фигуры оказались в узлах сети, то есть в точках, где пересекаются по одной линии из каждого семейства.

Удачный выбор сети (решетки) иногда делает свойства анализируемой фигуры настолько наглядными, что дает возможность легко обнаружить необходимые для решения задачи связи, соотношения и даже позволяет порой обойтись без громоздких вычислений.

Идея метода сетей не содержит никаких рекомендаций и указаний относительно способа подбора «подходящей» сети в конкретной задаче, ее надо выбрать самому.

Предлагаемые ниже способы решения задач не являются единственно возможными, но на них метод сетей иллюстрируется достаточно наглядно.

Квадратная решетка

Задача 1. Точки Е, F, K L являются серединами сторон AB, DC, CD и DA квадрата ABCD соответственно. Проведены прямые AF, BK, CL и DE, определяющие своими точками пересечения квадрат MNOP. Найдите отношение площади квадрата MNOP к площади квадрата ABCD.

Решение: Построим сеть, состоящую из семейства линий параллельных прямым BK, DE и AF, CL. Ячейки этой сети – равные квадраты. Обозначим площадь одной такой ячейки через s.

SPMNO = s, тогда SXYZQ = 9s,

SAXB = SBYC = SCZD = SADQ = s,

SABCD = 9s – 4s= 5s,

SPMNO : SABCD = s : 5s = 1 : 5. Ответ: 1 : 5.

Задача 2. Последовательные точки E, F, K, L, M, N, O и P разделили стороны AB, BC, CD и DA квадрата ABCD на три равные части. Проведены прямые EL, KN, MP и OF определяют квадрат TQRS. Найдите отношение площади квадрата TQRS к площади квадрата ABCD.

Решение: Покроем исходную фигуру линиями параллельными прямым EL,PM и KN,FO. Получим сеть с квадратными ячейками. Обозначим площадь одной такой ячейки через s.

SPSOW = s, тогда SXVZE = 36s,

SVBA = SBZC = SCYD = SDAX = 4,5s,

SABCD = 36s – 4*4,5 = 18s, STQRS = 4s.

STQRS : SABCD = 4s : 18s = 4 :18 = 2 : 9.

Ответ: 2 : 9.

Задача 3. На сторонах ВС и CD квадрата ABCD выбраны точки E и F соответственно, причем ВС=4ВЕ, CD=4CF; пусть точка Р – пересечения прямых АЕ и ВF. Каково отношение площадей треугольника ABP и квадрата ABCD?

Решение: Разделим каждую сторону квадрата на 4 равные части. Через соответственные точки проведем прямые, параллельные прямым АЕ и ВF. Используя теорему Фалеса, делаем вывод, что полученные ячейки являются квадратами. Площадь одной такой ячейки обозначим s:

SMNDK = s.

Тогда SXYZK = 25s, и SXAB = SBYC = SCZD = SAKD = 2s, SABP = 2s, следовательно, SABCD = 25s - 4*2s = 17s; SABP : SABCD =2s : 17s =2 :17.

Ответ: 2 :17.

Задача 4. Равносторонний восьмиугольник PQRSTUVW получается в результате соединения каждой вершины квадрата ABCD с серединой каждой из противолежащих сторон. Вычислить отношение площади восьмиугольника к площади квадрата.

Решение: Можно предположить, что для решения понадобится квадратная сеть из линий, параллельных сторонам квадрата. Вот только через какие точки их проводить? Насколько «густой» выбрать эту сеть?

Проведем через все вершины восьмиугольника прямые, параллельные сторонам квадрата, а затем для «уплотнения» сети добавим прямые, проходящие через середины отрезков RS и ST параллельно стороне АВ и через середины отрезков TU и UV, параллельно стороне ВС. Наконец, разделим каждый из отрезков QE, SF, UG и WH на три равные части и завершим построение квадратной сети 12*12, покрывающей квадрат АВСD; вершины восьмиугольника лежат в ее узлах.

SPQR = SRST = STUV = SVWP = s, где s – площадь ячейки сети.

SPQRSTUVW = 12s, SABCD = 72s, следовательно,

SPQRSTUVW : SABCD = 12s : 72s = 1 : 6.

Ответ: SPQRSTUVW : SABCD = 1 : 6.

Задача 5. На сторонах ВС и СD квадрата АВСD взяты точки К и М соответственно, причем ВК = КС и СМ = 2МD. Вычислить угол МАК.

Решение: Поскольку точка К делит сторону ВС на две равные части, а точка М от стороны квадрата отсекает треть, то естественно накрыть данную фигуру квадратной сеткой двух семейств прямых, соответственно параллельных сторонам квадрата, размер ячейки которой составляет 1/6 от длины стороны квадрата, а его вершины находятся в узлах этой сетки.

Пусть РL – линия нашей сети, проходящая через середину Р отрезка СМ параллельно стороне СВ. Обозначим через N точку пересечения прямых РL и АК; из подобия треугольников КВА и NLA (по двум равным углам) следует, что эта точка является узлом сетки.

Построим отрезок MN и рассмотрим прямоугольники MQNP и ALNR нашей сетки. Они равны, а потому MN=AN. Далее, ^MNP=^NAL; отсюда вытекает, что

^ANL + ^MNP = ^ANL + ^NAL = 900.

Значит, ^ANM = 900 и, следовательно, ANM – равнобедренный прямоугольный треугольник. Поэтому ^МАК = 450.

Ответ: ^МАК = 450

Учащиеся 9 классов, не знакомые с методом сетей, решают эту задачу с применением теоремы Пифагора и теоремы косинусов (приложение 1). Они вынуждены прибегать к громоздким вычислениям. Эти два решения одной задачи наглядно демонстрируют простоту и эффективность метода сетей.

Задача 6. Точка К – середина стороны АВ квадрата ABCD, а точка L выбрана на его диагонали AC так, что AL : LC = 3 : 1. Определите величину угла KLD.

Решение: Так как точка L делит диагональ в отношении 3 : 1, то проведем через соответствующие точки диагонали прямые, параллельные сторонам квадрата. По теореме Фалеса эти прямые разделят стороны квадрата в таком же отношении. Таким образом стороны квадрата разделились на четыре равные части. Проведем через точки деления прямые, параллельные сторонам, получим сеть, состоящую из равных квадратных ячеек.

Рассмотрим прямоугольники KMLF и PLND. Они равны, следовательно равны и их диагонали.

^MLK = ^ LDN, ^MLK + ^NLP = 900 , следовательно, ^KLD = 900.

Ответ: 900.

Треугольная решетка

Задача 7. Точки D, E и F выбраны соответственно на сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника АВС площади S так, что отрезки DB, EC и FA равны 1/3 стороны треугольника. Пусть K, L и М – точки пересечения отрезков AE и BF, BF и CD, CD и AE соответственно. Найти площадь равностороннего треугольника KLM.

Решение: Рассмотрим заданный треугольник с точками. Разделим каждую из сторон АВ, ВС и СА на три равные части. Введем еще точки P, Q и R. Затем логично построить сеть с треугольными ячейками следующим образом: три семейства линий сети – прямые параллельные соответственно прямым AE, BF и CD и проходящие через все точки деления на сторонах треугольника АВС и его вершины.

Мы имеем сеть, состоящую из треугольников. Обозначим через s площадь треугольника KLM. Тогда площадь параллелограмма AGBK равна 4s, а площадь треугольника АВК составляет 2s – как и площадь каждого из треугольников BCL и CAM. Следовательно, площадь треугольника АСВ равна 7s, откуда s = SАВС : 7.

Ответ: s = S : 7.

Косая решетка

Равномерная косая решетка

Задача 8. На сторонах АВ и CD квадрата АВСD взяты соответственно точки Р и R так, что AP : PB = CR : RD = 1 : 2. Пусть S – точка пересечения прямых AR и DP, а Q – прямых BR и CP Каково отношение площадей четырехугольника PQRS и квадрата ABCD?

Решение: Здесь само условие задачи подсказывает как искать нужную сеть: разделим стороны АВ и CD на три равные части и проведем через все точки деления прямые, параллельные прямым AR и DP. Полученные таким образом ячейки являются параллелограммами, т. к. противоположные стороны параллельны.

Если площадь одной ячейки обозначить через s, то SPQRS = 2s. Точки, которые образуются в результате пересечения соответствующих линий сети, проходящих через вершины квадрата, обозначим через L, M, N и K. Из рассмотрения сети ясно, что

SKLMN = 20s, SDKA = SCMB = s, SALB = SDNC = 4,5s.

Поэтому SABCD = 20s – 9s – 2s = 9s, так что SPQRS : SABCD = 2 : 9.

Ответ: SPQRS : SABCD = 2 : 9.

Из последних двух рассмотренных задач можно сделать вывод: иногда сетью надо покрывать не только саму рассматриваемую фигуру, но и некоторую ее окрестность.

Задача 9. Сторона СА треугольника АСВ разделена на пять равных частей точками К1, К2, К3, К4, начиная от вершины С. Через эти точки деления проведены прямые, параллельные стороне АВ и пересекающие сторону СВ соответственно в точках М1, М2, М3, М4. Вычислите отношение площадей четырехугольников К1М1М2К2 и К3М3М4К4.

Решение: По теореме Фалеса CM1=M1M2=M2M3= M3M4=M4B.

Через точки М1, М2, М3, М4 и В проведем прямые параллельные прямой АС. Получим сеть, cостоящую из равных параллелограммов. Площадь одного такого параллелограмма обозначим через s.

Тогда S К1М1М2К2 = 1,5s; //////////// S К3М3М4К4 = 3,5s.

S К1М1М2К2 : S К3М3М4К4 = 1,5s : 3,5s = 1,5 : 3,5 = 3 : 7.

Ответ: 3 : 7.

Решение приводимой ниже задачи показывает, что не всегда нужно, чтобы сеть покрывала всю заданную фигуру, - бывают случаи, когда можно обойтись «частичной» сетью.

Задача 10. Пусть точка D – середина стороны АВ остроугольного треугольника АВС, а точка Е расположена на его стороне СВ так, что 2СЕ = ВЕ. Определить отношение площадей треугольника CFE, где F – точка пересечения прямых АЕ и CD, и четырехугольника FDBE.

Решение: Само условие подсказывает разделить сторону СВ на три равные части: CE = EG = GB. Так как AD = DB и EG = GB, то применяя к углу АВЕ теорему Фалеса, получим, что DG AE. Тетерь, применив теорему Фалеса к углу DCB, имеем, что CF = FD.

Обе фигуры – треугольник CFE и четырехугольник FDBE – расположены справа от прямой CD, а потому попробуем ограничить наши действия треугольником DBC. Построим «косую» сеть, проведя следующие прямые: через точки С, G и B параллельно прямой АЕ и через точки E, G и B параллельно прямой CD. Эта сеть состоит из равных параллелограммов. Обозначая через s площадь одного параллелограмма, находим:

SCFE = 0,5s, SCMB = 4,5s, SDMB = 1,5s, SFDBE = 2,5s.

Итак, SCFE : SFDBE = 0,5s : 2,5s = 1 : 5.

Ответ: SCFE : SFDBE = 1 : 5.

Следующая задача иллюстрирует тот факт, что иногда различные чести рассматриваемой фигуры выгодно «покрыть» разными сетями.

Неравномерная косая решетка

Задача 11. Середины P, Q, R и S сторон выпуклого четырехугольника АВСD последовательно соединены отрезками. Доказать, что площадь четырехугольника ABCD в два раза больше площади четырехугольника SPQR.

Решение: Из рисунка видно, что треугольник АВС удобно накрыть одной сетью равных параллелограммов. Площадь этой ячейки обозначим через х. А треугольник CDA – другой сетью, так же равных между собой параллелограммов, площадь этой ячейки обозначим через r.

SMNCA = 8s, SACKV = 8r; SABC = 4s, SXPQY = 2s; аналогично SACD = 4r, SXSRY = 2r;

SSPQR = 2(s+r), SABCD = 4(s+r); следовательно SABCD : SSPQR = 4 : 2 = 2.

Что и требовалось доказать.

Где мы еще встречаемся с сетями?

Сети (решетки) достаточно широко распространены в окружающем мире. Например, в химии есть понятие кристаллическая решетка - пространственное расположение атомов в кристалле. Зная тип кристаллической решетки, можно предположить какими свойствами обладает то или иное вещество.

Своеобразной воображаемой сетью параллелей и меридианов покрыта вся поверхность земли. Благодаря этой сети можно однозначно определить географические координаты любого объекта.

В вышивании используют специальную ткань - канву. Ее сетчатое строение помогает мастерицам рассчитать положение рисунка на ткани и вышивать красивые орнаменты.

Цель статьи заключалась в знакомстве с одним из методов решения геометрических задач – методом сетей (решеток). В работе раскрыта идея этого метода, приведены примеры решения задач с использованием различных видов сетей. Причём, все задачи распределены по возрастанию степени сложности. А в заключительной части своей работы я подготовила задачи для самостоятельного решения (т. е. ученик, изучив мою работу, может проверить себя в решении задач данного вида).

Изучая этот метод, я выяснила, что при решении задач можно использовать несколько видов сетей. Я выявила следующую их классификацию:

В результате работы, я приобрела навык решения задач с использованием данного метода, сделала подборку задач, решаемых методом сетей.

Проанализировав литературу я сделала вывод, что несмотря на эффективность метода сетей при решении некоторого класса геометрических задач, в учебниках А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна он не представлен совсем, а в других источниках информации сведений об этом методе очень мало.

Мое мнение по поводу рассмотренной проблемы состоит в том, что данный метод нетруден для усвоения и доступен даже учащимся со средней математической подготовкой. Это показал эксперимент, проведенный мной в моем классе. После объяснения сути метода и совместного решения нескольких задач, 87% учащихся успешно справились с задачами, предложенными для самостоятельного решения.

Гипотеза работы о том, что для решения некоторых геометрических задач проще использовать метод сетей (решеток) подтвердилась.

Данная статья может быть рекомендована учащимся, интересующимся нестандартными способами решения геометрических задач, а также учителям для подготовки учащихся к олимпиадам и проведения факультативных занятий.

В дальнейшем я планирую поработать с теоремой Пика для вычисления площадей многоугольников, вершины которого расположены в узлах клетчатой бумаги и для вычисления объемов многогранников, расположенных на целочисленной решетке в пространстве.