Красота вещей в математике

Математика выявляет порядок, симметрию и определённость, а это – важнейшие виды прекрасного.

Аристотель.

Почему мы считаем одни вещи красивыми, а другие нет? Почему некоторые люди кажутся нам более привлекательными, а другие менее? Кристи Тарлинктон – супермодель, признанная одной из самых красивых женщин в мире, - считает, что по большей части своим успехом в качестве модели она обязана идеальной симметрии своих губ. Почему симметрия приятна для глаз? С детства мы видим симметричных родителей, потом у нас появляются симметричные друзья

Мы видим зеркальную симметрию в бабочках, птицах, животных, рыбах, поворотную – в оградах парков, решетках мостов, лестничных маршах, бордюрах. Таким образом, симметрия воспринимается человеком, как проявление закономерности, порядка, царящего в природе. Вся античная архитектура и скульптура воплощали в себе принципы симметрии. Пифагорейцы считали, что только с помощью симметрии можно создать порядок, красоту и совершенство. Проблемы симметрии волновали умы многих великих людей, далёких от математики.

Много раз рисуя разные фигуры, мы были поражены мыслью: почему симметрия приятна для глаз? Что такое симметрия? Это врождённое чувство, отвечали мы сами себе. На чём же оно основано? Разве во всём в жизни симметрия? Давайте попытаемся ответить на все эти вопросы.

Вопрос о математических предпосылках прекрасного, о роли математики в искусстве волновал ещё древних греков, причём свой интерес они унаследовали от предшествующих цивилизаций. В наше время геометрия – необходимый элемент общего образования и культуры – представляет большой исторический интерес, имеет серьёзное практическое применение, обладает внутренней красотой. И именно геометрия глубоко помогает нам рассмотреть такое понятие, как симметрия.

«Симметрия, - пишет известный учёный – устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, естественным отбором, теорией групп, рабочими привычками пчёл в улье, строением пространства, рисунками ваз, лепестками цветов, делением клеток морских ежей, романскими соборами, снежинками, музыкой

Симметрия – является той идеей с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту, совершенство.

С симметрией мы встречаемся всюду – в природе, технике, искусстве, науке, например, симметрия форм автомобиля и самолета, симметрия в ритмическом построении стихотворения и музыкальной фразы, симметрия орнаментов и бордюров. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки.

Вот хотя бы стихотворение Пушкина:

На холмах Грузии лежит ночная мгла;

Шумит Арагва предо мною.

Мне грустно и легко; печаль моя светла;

Печаль моя полна тобою.

Тобой, одной тобой Унынья моего

Ничто не мучит, не тревожит,

И сердце вновь горит и любит – оттого,

Что не любить оно не может.

Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.

Иоганну Кеплеру принадлежат слова: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них – теорема Пифагора, другое – деление отрезка в среднем и крайнем отношении». Деление отрезка в среднем и крайнем отношении называют золотым сечением. В истории утвердилось ещё одно название – «золотая пропорция».

Золотое сечение – гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении, деление отрезка на две части т. о. , что большая его часть является средней пропорциональной между всем отрезком и меньшей его частью.

Симметрия пронизывает наш мир гораздо глубже, нежели это можно увидеть глазами. Осмысление этого факта происходило в течение многих веков. В результате само понятие симметрии претерпело существенную эволюцию. От тех времен до наших дней понятие «симметрия» прошло длинный путь развития. Из чисто геометрического понятия оно превратилось в фундаментальное понятие, лежащее в основе законов природы. Мы знаем теперь, что симметрия – это не только то, что можно видеть глазами. Симметрия не просто вокруг нас, она сама в основе всего. Во всем в жизни симметрия. Симметричным мир делает вселенская сила – сила тяготения

Согласно современным представлениям, понятие симметрия характеризуется определенной структурой, в которой объединены три фактора: 1) объект (явление), симметрия которого рассматривается, 2) преобразования, по отношению к которым рассматривается симметрия; 3) неизменность, сохранение каких-то свойств объекта, выражающая рассматриваемую симметрию. В древности слово «симметрия» употреблялось как «красота», «гармония». Термин «гармония» в переводе с греческого означает «соразмерность, одинаковость в расположении частей». Известный немецкий математик нашего столетия Герман Вейль дал определение симметрии таким образом : «Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство». В широком смысле этого слова под симметрией понимают всякую правильность во внутреннем строении тела или фигуры. Учение о различных видах симметрии представляет большую и важную ветвь геометрии, тесно связанную со многими отраслями естествознания и техники, начиная с текстильного производства (разрисовка тканей) и кончая тонкими вопросами строения вещества.

Основными видами симметрии являются следующие три.

Она хорошо знакома каждому из нас из повседневного наблюдения. Геометрическое определение зеркальной симметрии таково: две фигуры называются симметричными относительно плоскости.

Важно отметить, что два симметричных друг другу тела, вообще говоря, не могут быть «вложены друг в друга»; иначе, одно из этих тел не может занять места другого. Так, перчатка с левой руки не годится для правой руки.

Симметричные фигуры при всем их сходстве существенно отличаются друг от друга.

Симметричные предметы нельзя назвать равными в узком смысле этого слова. Их называют зеркально равными. Вообще зеркально равными телами (или фигурами) называют тела (или фигуры) в том случае, если при надлежащем их смещении они могут образовывать две половины зеркально симметричного тела (или фигуры).

Поворот на 180 градусов называется – центральная симметрия. Центр поворота называется центром симметрии, фигуры – центрально симметричными.

Однако, вообще говоря, одна половина тела с центральной симметрией не может занять места другой, как и две половины тела, обладающего зеркальной симметрией.

Две половины тела с центральной симметрией зеркально равны друг другу.

Самая простая из геометрических симметрий - осевая симметрия. На языке рисунков она означает, что при перегибании плоскости по некоторой прямой совмещаются либо две половинки одной фигуры, либо две различные фигуры. При этом прямая называется осью симметрии, а сами фигуры называются симметричными.

Шар обладает и центральной, и зеркальной, и осевой симметрией. Центром симметрии является центр шара, плоскость симметрии – плоскость любого большого круга, осью – любой диаметр шара. Порядок оси – любое число.

Фигуры также могут иметь одну, несколько осей симметрии, или не иметь вообще.

Равнобедренный треугольник имеет одну ось симметрии, а равносторонний треугольник три оси симметрии. Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии, а квадрат четыре оси симметрии. У окружности их бесконечно много – любая прямая, проходящая через её центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм, отличный от прямоугольника, разносторонний треугольник, клякса.

Сочетание симметричности и ассиметричности создаёт основу эстетического восприятия человеком природы и произведений искусства.

Глаз человека привыкает видеть симметричные объекты. Они воспринимаются как гармоничные и совершенные. Симметрия воспринимается человеком как проявление закономерности, а значит внутреннего порядка. Этот внутренний порядок воспринимается как красота. Симметричные объекты обладают высокой степенью целесообразности – ведь симметричные предметы обладают большей устойчивостью и равной функциональностью в разных направлениях. Всё это привело человека к мысли, что чтобы сооружение было красивым оно должно быть симметричным. Всюду сочетания повторяющихся элементов создаёт ощущение соразмерности, порядка, гармонии. Соблюдение симметрии является первым правилом архитектора при проектировании любого сооружения. Стоит только посмотреть на великолепный Казанский собор в Санкт - Петербурге, чтобы убедиться в этом. Если мы мысленно проведём вертикальную линию через шпиль на куполе и вершину фронтона, то увидим, что с двух сторон от неё абсолютно одинаковые части сооружения (колоннады и здания собора).

«Музыка – посредник между духовной и чувственной жизнью»

Арним Музыка.

Один из видных деятелей русской и советской музыкальной культуры Розенов впервые применил закон «золотого сечения» в музыке. Анализируя «Хроматическую фантазию и фугу» И. С. Баха, учёный пришёл к выводу, что « она, оказывается сотворена по естественным законам природного формообразования, подобно человеческому организму, в котором совершенно также господствуют оба закона – закон золотого сечения и закон симметрии, с такими же мелкими художественными неточностями в индивидуальном строении живого тела, которыми оно отличается от мёртвых форм отвлечённого или фабричного происхождения». Определяя зону золотого сечения, можно убедиться, что она не в начале, не в середине пьесы, а ближе к концу (кульминация произведения). В мире, живом и неживом, всё связано и всё взаимообусловлено, всё подчинено одним законам. Человек в своей разносторонней деятельности – в науке, технике, художественном творчестве – не может не подчиняться тем же законам. Музыка – искусство звука, звук – сама материя музыкизвук должен быть закутан в тишину, звук должен покоиться в тишине, как драгоценный камень в бархатной шкатулке. Весь огромный звукоряд делится на три основные регистра: низкий, средний и высокий, и составляют его 88 звуков. Казалось бы, что их так немного. Но из этих 88 звуков созданы грандиозные симфонии, оратории, величайшие музыкальные творения.

Небосвод Вселенной разделён тоже на 88 секторов, которые в свою очередь распределены между 12 уровнями – от низшего к высшему. Каждому уровню соответствует свой знак Зодиака. Таким образом, существует неразрывная связь космоса с музыкальной системой. И в ней отражаются извечные нерушимые законы мироздания. Пифагор писал о гармонии, музыке трёх сфер – звёзд (включая планеты), Луны и Солнца, которые соотносились с тремя музыкальными интервалами. Они–то и легли в основу настройки четырёх струн орфеевой лиры. Особенно пифагорейцы чтили число 10 – сумму первых натуральных чисел 1,2,3 и 4, которые графически представлялись с помощью точек магического (равнобедренного) треугольника – символа, на котором приносилась их клятва.

Закономерности цветового строя в изобразительном искусстве есть не что иное, как переработанные творческим сознанием художника некоторые закономерности действительности. Цветовая гармония, колорит, контрасты представляют собой модель цветовых сочетаний, которые существуют в действительности и которые художник воспринимает, обобщает и интерпретирует по-своему. Художник творит и по правилам и по законам, только он их не всегда осознаёт. Дидро очень хорошо сказал о вкусе как о « приобретённой повторным опытом способности схватывать истину». Многочисленные высказывания художников о тоне, колорите, цвете и т. д. , рассыпанные в отдельных статьях, письмах и мемуарах, содержат очень тонкие и интересные, но субъективные и часто противоречивые наблюдения, и это вполне естественно, потому, что они отражают индивидуальный творческий опыт. Идея гармонии, основанной на золотом сечении, не могла не коснуться греческого искусства. Природа, взятая в широком смысле, включала в себя и творческий мир человека, искусство, музыку, где действуют те же законы ритма и гармонии. Предоставим слово Аристотелю: «Природа стремится к противоположностям и из них, а не подобных вещей, образует созвучие,Она сочетала мужской пол с женским. А не каждый из них с однородным, и таким образом первую общественную связь она образовала через соединение противоположностей, а не посредством подобного. Также и искусство, по-видимому, подражая природе, поступает таким же образом. А именно живопись делает изображения, соответствующие оригиналам, смешивая белые, чёрные, жёлтые и красные краски. Музыка создаёт единую гармонию, смешав в совместном пении различных голосов звуки высокие и низкие, протяжные и короткие. Грамматика из смеси гласных и согласныхсоздала целое искусство».

Заканчивая работу, надеемся, мы смогли донести до вас, что симметрия это не только алгебра и геометрия, она имеет широкое распространение во многих сферах жизни человека: музыка, живопись, архитектура, скульптура.

Иоганн Кеплер говорил, что геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением. О теореме Пифагора слышал каждый школьник, о золотом сечении – далеко не все. В нашей работе мы попытались рассказать о том, что такое золотое сечение, а также что симметрия живых организмов и растений обусловлена воздействием внешней среды, которая принимает самое активное участие в формировании внешнего облика нашей планеты. Актуальность темы нашей работы – бесспорна – симметрия это гармония и красота и эти два понятия, безусловно, будут необходимы человеку всегда.

Лейтмотивом всей работы является понятие симметрии, играющей (есть мнение) ведущую, хотя и не всегда осознанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни. Красота и разнообразие реальных объектов непосредственно связаны с такими свойствами, как симметричность, то есть правильность, упорядоченность, повторяемость, гармония. Симметрия пронизывает буквально всё вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Здесь уместно привести высказывание Ньюмена, который особенно удачно подчеркнул всеохватывающие и вездесущие проявления симметрии: «Симметрия, – устанавливает забавное и удивительное родство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, естественным отбором, теорией групп, рабочими привычками пчёл в улье, строением пространства, рисунками ваз, лепестками цветов, делением клеток морских ежей, романскими соборами, снежинками, музыкой

Не смотря на сложность и многообразие терминов связанных с симметрией в различных её проявлениях, несомненно одно, - мир симметричен!

А закончить наше выступление мы хотели бы этим стихотворением.

На зеркальной поверхности сидит мотылёк,

От познания истины бесконечно далёк,

Потому что, наверное, и не ведает он,

Что в поверхности зеркала сам отражён.