Измерение больших расстояний. Триангуляция

В общеобразовательном школьном курсе геометрии изучается тема «Подобие треугольников». В списке задач отсутствуют задачи с практическим применением. Невольно возникает вопрос у любознательных учащихся: «А для чего мы изучаем эту тему, где она нам понадобится в жизни?»

Отвечая на этот вопрос, учительница произнесла неизвестное нам слово «триангуляция». Оно нас заинтересовало, и мы решили пополнить свои знания в этом вопросе. Изучив признаки подобия треугольников, воспользовавшись различной литературой по геометрии, физике, астрономии, различными справочными материалами мы рассмотрели методы их применения. Затем, используя один из способов определения расстояния с помощью триангуляции, выполнили измерительные работы на местности.

Проделав эту работу, мы решили разработать пособие для тех учащихся, кто желает самостоятельно овладеть теоретическим материалом о практическом применении признаков подобия треугольников в различных областях науки и техники.

Используя дополнительную литературу, подробно изучить практическое применение темы «Подобие треугольников», называемое триангуляцией или измерение больших расстояний. Дать наиболее полное представление по данному вопросу и составить пособие для учащихся восьмых и девятых классов по теме «Измерение больших расстояний. Триангуляция».

Определение триангуляции

Для измерения достаточно больших расстояний на земной поверхности можно использовать метод, состоящий в том , что определяется, сколько раз какой-то стандарт длины укладывается «конец к концу» на измеряемом расстоянии.

Этот метод часто применяется при межевании, но во многих случаях он оказывается неудобным. Для определения расстояния до какого-нибудь объекта, расположенного за рекой, или для измерения высоты горы, для определения расстояния до звезды мы можем использовать очень простой косвенный метод. Этот метод, основанный на геометрических свойствах треугольника, называется триангуляцией. Какие же геометрические свойства треугольника используются? Это подобие треугольников.

Если треугольники подобны, то

Признаки подобия треугольников

1 признак Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника.

2 признак Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами в этих треугольниках, равны.

3 признак Два треугольника подобны, если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника.

Один из способов определения расстояния с помощью триангуляции изображен на рисунке. Нам нужно найти ширину реки в данном месте. Обозначим данное расстояние на рисунке АТ, причем точки А и Т находятся на разных берегах реки. Точку Т выбираем так, чтобы в этой точке находился заметный объект, например дерево. В точке А вбиваем стойку. Визируем через две стойки А и В дерево Т, расположенное на другой стороне реки. Затем при помощи большого плотницкого или школьного прямоугольного треугольника строим прямой угол ВАС. После этого забиваем стойку в точке С, находящейся на определенном расстоянии от А. Например 60м. Далее продолжаем линию АС и забиваем в землю другую стойку D, также на каком-то известном расстоянии от С, например 2м. Теперь строим прямой угол CDE. Затем вбиваем стойку Е в точке, расположенной на линии, проходящей через дерево Т и точку С. Затем измеряем расстояние DE. ( DE=6м ).

Как видно из рисунка, треугольники ТАС и EDC подобны, потому что они имеют по два равных угла: угол ТСА равен углу DEC как вертикальные углы, углы ТАС и DCE – прямые. (1признак подобия треугольников).

Можно использовать признак подобия прямоугольных треугольников по одному из острых углов. Поэтому сходственные стороны пропорциональны, и мы можем написать Отсюда

Если мы измерим АС, DC и DE, то можем определить расстояние АТ через реку. Найдем это расстояние из нашего примера. Имеем следующие значения: АС=60м, DC=2м, DE=6м. Тогда

Можно упростить процедуру этих измерений. Нужно построить прямой угол ТАС, отмерить удобное расстояние АС, называемое базисом, и измерить угол ТСА. После этого, сделав чертеж на бумаге, легко получить искомое расстояние.

Можно сконструировать прибор, при помощи которого измерение углов и все геометрические построения будут производиться автоматически. Примером такого триангуляционного прибора для измерения расстояний просто с помощью глаза является дальномер, имеющийся почти во всех фотоаппаратах.

С помощью дальномера фотоаппарата можно измерять только расстояния до близких объектов, потому что базис поля зрения не может превышать размера фотоаппарата и из-за этого объект ( вспомним рисунок Т-объект ) будет виден с обоих концов базиса ( на рис. точки А и С ) почти под одинаковыми углами. Можно сделать дальномер с большим базисом, и тогда легко убедиться, что чем больше базис, тем большее расстояние можно измерять с его помощью. Так у больших дальномеров на военных кораблях величина базиса ограничена размерами корабля.

Историческая справка

Впервые в 1617г. предложил использовать метод подобия треугольников при проведении геодезических измерений голландский математик, физик и астроном Виллеброрд Снелл Ван Ройен. Он родился в Нидерландах в 1580г. в Лейдене в семье профессора математики. В 1613г. стал преемником отца на должности профессора Лейденского университета. В его работе « Голландский Эратосфен », опубликованной в 1617г. , описывался метод триангуляции.

Астролябия - сложный угломерный инструмент для определения положения звезд. Он появился еще в Древней Греции. К IX в. астролябия получила широкое распространение в странах арабского Востока, где с ее помощью решали многие практические задачи. Например, определяли время, продолжительность дня и ночи, измеряли горизонтальные углы на поверхности Земли, осуществляли различные математические вычисления.

Приблизительно в Х в. восточные астролябии попали в Испанию, а затем стали известны в других странах Западной Европы. Со временем их стали изготавливать и в европейских мастерских. Первоначально эти инструменты были лишь копиями с арабских, и только в XVI в. в Европе начали создавать астролябии по собственным расчетам и по собственному проекту. При этом уделялось большое внимание художественной стороне, поэтому астролябии стали предметом моды и коллекционирования при королевских дворах. Одним из лучших инструментальщиков того времени был фламандский мастер Гуалтерус Арсениус (1530 - 1580). Он выполнял заказы испанского короля Филиппа II и других знатных особ, которые воспринимали астролябии, прежде всего как астрологические инструменты.

На сегодняшний день в мире известна 21 астролябия Арсениуса. Одна из них, изготовленная в 1568 г. , принадлежала австрийскому полководцу времен Тридцатилетней войны (1618-1648) Альбрехту Валленштейну. В XIX в. она хранилась у великой княгини Елены Павловны и была преподнесена ею в дар Публичной библиотеке (сейчас - Российской национальной библиотеке), откуда и поступила в музей М. В. Ломоносова.

Диаметр астролябии 33,5 см.

Она включает следующие части:

• основание - диск с бортом и подвесным кольцом для точной ориентировки прибора относительно горизонта;

• три тимпана - плоские диски с выгравированными проекциями небесных координат для широт европейских городов 510, 51015', 520;

• решетку-проекцию небесной сферы северного полушария с указанием положения 45 наиболее ярких звезд, с зодиакальным кругом;

• алидаду - визирную линейку;

• ось, соединяющую все детали.

В навершии астролябии изображены две фигуры - Фавна и Фавны, в античной мифологии их связывали с даром предсказания.

В основании трона - подпись мастера: "G. A. neros Gemm50086 Fris50111 Louan50111 Fecit anno 1668. ".

Астролябия Арсениуса, выполненная с удивительной точностью и художественным мастерством, - единственная в нашей стране.

Выставка проходила: май - август, 2001 г.

(Викинезия свободная энциклопедия. )

Измерительные работы на местности

Изучив метод измерения больших расстояний (триангуляция ), мы применили его на практике. Мы выбрали объект исследования, расположенный на территории п. Городище – это Уваровский пруд.

Мы поставили перед собой следующие задачи:

- выполнить большое количество измерений, последовательно расположен- ных расстояний между противоположными берегами пруда;

- обработать полученные измерения и получить таблицу расстояний;

- по данным расстояний составить в масштабе план Уваровского пруда;

- сравнить, полученный план, с картографией пруда.

Мы сделали десять деревянных стоек, взяли большой школьный прямоугольный треугольник и рулетку, разбились на две группы по два человека: Шипинский Сергей и Ульянов Анатолий, Абдулкеримов Ренат и Замалетдинов Руслан, и отправились к Уваровскому пруду. Распределив фронт работ, приступили к процедуре измерений. Каждая группа нашла на противоположном берегу пруда дерево (ориентир), завизировали его двумя стойками на этом берегу, с помощью треугольника построили прямой угол и отмерили расстояние (а – базис) от вершины прямого угла вдоль берега пруда, вбив в землю третью стойку. Затем забили четвертую стойку на расстоянии 2м на одной прямой с первой и третьей стойками. Далее построили прямой угол с помощью прямоугольного треугольника с вершиной в точке расположения четвертой стойки и, отмерив на стороне прямого угла расстояние, вбили последнюю пятую стойку так, чтобы пятая стойка оказалась на одной прямой с деревом и третьей стойкой. Таким образом мы получили на местности два подобных прямоугольных треугольника. Осталось лишь выполнить вычисления и найти искомое расстояние между двумя точками на разных берегах пруда: ориентиром и первой стойкой. Каждая группа выполнила большое кол-во разметок и замеров, все результаты измерений внесли в общую таблицу. Чтобы упростить процедуру вычислений мы придумали следующее: изменять базисное расстояние, а вот расстояние между третьей и четвертой стойками делать неизменным: 2м.

в – искомое расстояние.

с – расстояние между 4 и 5 стойками.

№ а Расстояние с В

базис, м между 3 и 4 расстояние искомое стойками, м между 4 и 5 расстояние, м стойками, м

1. 35 2 6 105

2. 36 2 5 90

3. 36 2 5 90

4 37,5 2 8 150

5. 40 2 6 120

6 26 2 4,6 59,8

7 40 2 9 180

8 16 2 7,5 60

Из подобия треугольников находим: ; ;

Выполняем вычисления по формуле

Следующим шагом нашей работы является построение плана Уваровского пруда по данным таблицы.

Вид на пруд со стороны плотины.

Определение расстояний до тел Солнечной системы и размеров этих небесных тел

Измерение расстояний триангуляционным методом используется в астрономии для определения расстояний до тел Солнечной системы, а так же для размеров небесных тел.

Для измерения расстояний до планет астрономы используют базисы, превышающие радиус земного шара. Наибольший базис, которым они располагают, представляет собой диаметр земной орбиты, т. е. расстояние от одной точки на пути Земли вокруг Солнца до другой, достигаемой Землей через полгода.

Измерения такого рода являются пределом, который может быть достигнут при определении больших расстояний геометрическим методом.

Используя базис для измерения расстояния до какого-нибудь объекта, мы должны определить направление на объект с обеих концов базиса. Теперь необходимо найти ориентир. Для этого используем хорошо нам знакомое обстоятельство. Когда мы едем в автомобиле с большой скоростью, то близко расположенные к нам объекты представляются движущимися относительно нас в противоположном направлении, а далеко находящиеся от нас кажутся неподвижными. Подобным же образом, очень удаленные от нашей Солнечной системы звезды, кажутся нам неподвижными, а близко расположенные звезды и планеты кажутся перемещающимися по небосклону. Итак, неподвижные звезды мы можем выбирать в качестве ориентира.

Если мы измерили длину базиса и знаем направление на удаленную звезду с каждого конца базиса, то можно найти расстояние до объекта ( звезды или планеты ).

Удаленная звезда

Для определения расстояния до близкой звезды или планеты геометрическим методом астрономы используют фотокамеры. Рассмотрим идею этого метода.

d – расстояние до близкой звезды b – диаметр земной орбиты k – длина пути света в фотокамере s – расстояние между изображениями далекой и близкой звезд

Треугольники, изображенные на рисунке, подобны, поэтому s/b = k/d или d = bk/s

В какой-то момент времени астроном видит через объектив фотоаппарата, что одна из близких звезд лежит на линии, проходящей через центр объектива и через далекую звезду, делает снимок. Затем астроном ожидает полгода, чтобы Земля оказалась на другом конце базиса, и фотографирует далекую звезду, направление на которую должно остаться прежним. Поскольку Земля движется, обе звезды, близкая и далекая, уже не лежат на одной прямой, соединяющей близкую звезду и центр объектива, поэтому на снимке получаются два отдельных изображения близкой звезды. Затем по формуле находим d.

Этим методом можно измерить расстояние лишь до нескольких сотен звезд, расположенных очень близко к Земле. Для измерения больших расстояний во Вселенной применяются другие методы.

Другие практические применения триангуляции

Триангуляционный метод измерения используется в геодезии. Метод определения положения геодезических пунктов построением на местности систем смежно расположенных треугольников, в которых измеряют длину одной стороны ( по базису ) и углы, а длины других сторон находят тригонометрически.

Геодезия – это наука об определении формы и размеров Земли и об измерениях на земной поверхности для отображения ее на планах и картах. Именно в этом разделе и используется триангуляция, в топографии, картографии, инженерном деле и др.

Конечно геометрические методы измерения на практике намного сложнее тех, что мы рассматривали в нашей работе, мы разбирали принцип триангуляционного метода. На практике же при измерениях на местности используют сложные приборы, позволяющие измерять горизонтальные углы. Геодезические инструменты, отвечающие таким требованиям, называются теодолитами.

При геодезических работах измеряют не углы между сторонами на местности, а их ортогональные проекции.

В астрономии при определении расстояния до недоступного объекта прибегают к методу определения расстояний по параллаксам света.

АВ – базис. Из точек А и В угломерным геодезическим инструментом измеряют углы САВ и СВА. Таким образом, в треугольнике АВС известны два угла и сторона. Остальные элементы треугольника АВС можно вычислять по формулам тригонометрии.

Угол АСВ, под которым из недоступного места виден базис, называется параллаксом. В пределах Солнечной системы в качестве базиса используют экваториальный радиус Земли.

Мы занялись подробным изучением практического применения подобия треугольников после того, как однажды услышали от учителя заинтересовавшее нас слово – триангуляция. Для нахождения материала для нашего проекта мы использовали учебники по математике, астрономии и геодезии, энциклопедии и энциклопедические справочники, учебные пособия.

В процессе выполнения практической части нашего проекта - построения плана Уваровского пруда, мы, используя триангуляционный метод, на собственном опыте убедились в эффективности его применения.

Мы надеемся, что наша работа поможет любознательным учащимся пополнить свои знания не только по геометрии при изучении подобия треугольников, но и по астрономии, истории, физике.

Данную работу можно использовать на факультативных занятиях по математике, на уроках геометрии при решении задач практического применения.

Шаг за шагом изучая способы измерения больших расстояний, мы обнаружили, что слово триангуляция имеет более емкий смысл, чем мы предполагали первоначально. Оказывается можно находить площадь произвольного многоугольника через разбиение его на треугольники, объем многогранника разбиением его на не имеющие общих внутренних точек тетраэдры. Поэтому мы не будем останавливаться на достигнутом и планируем продолжить работу над проектом по мере изучения в 9 и старших классах таких тем как « Площадь многоугольников » и « Объем многогранника ».