Удивительный квадрат

Определение квадрата

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Замечательные свойства квадрата

Квадрат имеет много замечательных свойств. Некоторые из них рассматриваются в школьном курсе геометрии, например, такие:

1)Все углы квадрата прямые.

2)Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Прямые углы, равные стороны, симметричность придают квадрату простоту и известное совершенство формы; недаром он служит эталоном при измерении площадей. Эти же его качества лежат в основе и других увлекательных свойств квадрата, которые в школе не изучаются. Эти свойства интересны для каждого, кто стремится расширить рамки своих геометрических представлений.

Задачи на разрезание.

Не правда ли: «удивительный квадрат» очень похож на механизм с хорошо прилаженными частями, который можно разбирать и из тех же частей собрать новый механизм.

Для того чтобы из готовых частей квадрата составить его снова или составить несколько иных, заранее указанных фигур, не нужны какие-либо расчёты и построения – достаточно проявить настойчивость, терпение, смекалку.

Разрезать и сложить - вот два главных и непременных условия почти всех задач этого пункта.

Разрезать фигуру на наименьшее возможное число частей, чтобы потом сложить другую, - настоящее искусство. Вооружившись ножницами, смело пускайтесь самостоятельно в плавание по безбрежному океану задач на разрезание. Постепенно к вам придут навыки и умения; полученное мастерство поможет вам правильно, шаг за шагом, решить все поставленные задачи.

Лесенка

Превратите лесенку в квадрат, разрезав её на три части. Как это сделать?

Зубчатый квадрат

Превратите зубчатый квадрат в обычный, разрезав его на минимальное число частей. Необычная форма исходного квадрата даёт повод утверждать, что эта задача очень зубаста. А как думаете вы?

Дырявый зубчатый квадрат

Как разрезать фигуру чтобы затем сложить квадрат? На какое минимальное число частей нужно при этом разрезать зубчатый квадрат?

Разность квадратов

Из квадрата 13Х13 в центре удалён квадрат 5Х5. На какое минимальное число частей нужно разрезать эту фигуру, чтобы потом из полученных частей сложить квадрат? Как это сделать?

Продырявленный квадрат

Квадрат так искусно продырявлен, что потребуется ещё большее искусство, чтобы, разрезав его, сложить другой, совершенно нормальный квадрат. На какое минимальное число частей придётся при этом разрезать фигуру, чтобы выполнить все условия задачи?

Странный квадрат

Квадрат 3Х3, в угловой части которого отсутствует единичный квадрат, разрежьте на три части, чтобы потом можно было сложить квадрат. Как быстро вам удастся это сделать?

Превращение фигуры

Разрежьте фигуру на минимальное число частей, чтобы затем сложить квадрат. Как это сделать?

Квадрирование фигуры

Превратите приведённую здесь фигуру в квадрат, разрезав её на минимальное число частей.

Мальтийский крест

Разрежьте изображённую здесь фигуру на пять частей и сложите из них квадрат.

Фигуры и квадрат

Разрежьте изображённые здесь две крестообразные фигуры на минимальное число частей так, чтобы потом можно было сложить квадрат. На какие части разрезаются фигуры?

Из трёх квадратов – один

На восемь частей

Квадрат 7Х7 с вынутым единичным квадратиком разрежьте на восемь одинаковых частей.

Построения при помощи перегибания квадратного листа бумаги.

Традиционными инструментами геометрических построений являются циркуль и линейка. Но целый ряд геометрических задач можно будет решить, совсем не употребляя циркуля и линейки при помощи перегибания листа бумаги, на котором выполняется построение.

Пусть требуется разделить данный угол АВС пополам. Отогнём бумагу по прямым ВС и АВ (не на лицевую сторону), а затем перегибанием совместим отогнутый край ВС с отогнутым краем АВ. Получившийся сгиб BD и будет биссектрисой угла АВС.

Кусок бумаги произвольной формы можно при помощи перегибаний превратить в прямоугольник или в квадрат.

Отогните какую-либо часть данного куска бумаги. Пусть полученный таким образом сгиб будет ХХ1. Это – прямая линия. Теперь проводя ножом по сгибу, отрежьте меньшую часть куска. Отогните другую часть бумаги так, чтобы при этом край ХХ1 накладывался на себя. Получившийся прямолинейный сгиб YY1 , будет перпендикуляром к ХХ1 (смежные углы YBX и YBX1 – прямые, так как они совпадали при совмещении). Меньшую часть по сгибу отрежьте.

Повторяя указанный приём, образуйте края AD и CD. Фигура АВСD – прямоугольник.

Пусть АВ будет короткой стороной прямоугольника АВСD. Перегните прямоугольник АВСD наискось так, чтобы край АВ лёг на край ВС. Кусок EDCF – удалите. Оставшаяся фигура АЕFB – квадрат.

Таким образом, на куске бумаге нетрудно образовать перпендикулярные или параллельные сгибы.

Можно представить себе и более сложные задачи на построение, которые интересны тем, что решаются перегибанием квадратного листа бумаги.

Задача. Произвести «золотое сечение» стороны данного квадратного куска бумаги при помощи только перегибаний.

«Золотым сечением» называется деление данного отрезка АВ точкой К таким образом, чтобы выполнялась пропорция АВ = АХ или АХ2 = АВ ( ВХ.

Р е ш е н и е. Складывая данный квадрат АВСD пополам, найдём на стороне ВС её середину Е.

Построим прямолинейный сгиб АЕ. Наложим ВЕ на ЕА и в конце сгиба на стороне АВ отметим точку F, а на АЕ – такую точку К, что ЕК = ВЕ. Отложим на АВ отрезок АХ = АК (это тоже можно сделать перегибанием; линия сгиба АS), и тогда точка Х – искомая.

Для доказательства наложим ХВ на ХА (линия перегибания ХН) и точку пересечения линии сгиба ХН и прямой ЕА обозначим буквой L. Ясно, что при этом LX образует прямые углы с АВ. Построим ещё сгиб FK (по двум точкам). Углы при точке К – прямые, так как по построению один из них равен углу при вершине В. Прямоугольные треугольники АХL и AKF равны; они имеют общий острый угол А и два равных катета: : АХ = АК (по построению).

Отсюда ХL = FК, а так как FК = ВF, то ВF = ХL (1)

(АВЕ ( (АХL и ВЕ = АВ (по построению); следовательно, ХL = АХ. (2)

Из (1) и (2) имеем ВF = АХ (3)

Отметим на АВ точку Y такую, что BF =FY (4)

(наложением BF на FA), тогда АВ = AF + FB = AF + FY.

Очевидно также, что AY = AF – FY.

Перемножая полученные равенства, будем иметь:

АВ ( AY = (AF +FY)(AF – FY) = AF2 – FY2.

Из (1) и (4) следует: FY = FK; тогда АВ ( AY = AF2 – FK2. Но AF2 – FK2 = АК2 (из прямоугольного треугольника AKF); кроме того, АК = АХ (по построению). Таким образом, АВ ( AY = AF2 – FK2 = АК2 = АХ2 или АХ2 = АВ ( AY (5)

Но АХ – 2ХL = 2BF = BF + BF = BF + FY = BY.

Следовательно, АХ = BY, а отсюда AY = BX (6)

Из (5) и (6) имеем: АХ2 = АВ ( ВХ (7).

Таким же образом легко показать, что и BY2 = АВ ( AY, (8)

То есть точка Y в свою очередь делит отрезок АВ в крайнем и среднем отношении.

Любопытно, что при этом отрезок АХ делится точкой Y и отрезок BY делится точкой Х тоже в крайнем и среднем отношении.

Для доказательства образуем на отрезках АХ и ВY данного квадрата, как на сторонах, квадраты АХRM и BYNP. Получится линия сгиба РМ.

Равенство (8) показывает, что квадрат BYNP равновелик прямоугольнику со сторонами AY и AD или в силу (6) - прямоугольнику BXHC.

Отнимем от площади каждой из этих двух равновеликих фигур площадь прямоугольника BXRP; останутся равновеликие прямоугольник XYNR и квадрат CPRH.

Отсюда XY ( XR = PR2 или так как XR = AX и PR = BX = AY, то XY ( AX = AY2, что и доказывает одно из высказанных утверждений. Второе доказывается аналогично.

Танграм и другие головоломки, связанные с квадратом

Очень остроумно разрезал квадрат еще несколько тысяч лет тому назад китайский ученый Та-нг.

Вероятно, эти части квадрата первоначально служили для демонстрации геометрических фигур. В самом деле, легко можно составить из частей квадрата прямоугольник, параллелограмм, трапецию и т. д.

С течением времени было замечено, что из этих частей можно составить множество фигур-силуэтов самой причудливой формы, употребляя для составления каждой фигуры все семь частей квадрата. Так создалась увлекательная игра-головоломка «танграм», получившая широкое распространение, в особенности на своей родине - в Китае. Там даже устраиваются специальные состязания на составление наибольшего количество фигур с наименьшей затратой времени. Победители получают специальные призы.

Сделав несколько экземпляров этого квадрата, можно организовать коллективную игру по составлению «танграма».

Предлагаем вам из всех частей квадрата составить следующие фигуры:

Используя приёмы превращения квадрата и придумывая свои пути и способы, решите несколько задач, связанных с превращением квадрата.

Задача 1. Нарисуйте какой-нибудь квадрат. Как надо его разрезать, чтобы переложением полученных частей можно было составить 5 равных квадратов?

Задача 2. Нарисуйте какой-нибудь квадрат и превратите его в 8 равных квадратов.

Задача 3. Задача, предложенная каирским учёным Али учёному-врачу и математику Дель-Медиче, современнику Галилея:

«Имеем четырёхугольную доску размером 5х2. Построить из этого четырёхугольника квадрат, разрезав доску только на 4 части».

Трудно сказать, почему учёный XVI века не потребовал разрезать доску только на 3 части, чтобы составить из них квадрат. Может быть, он считал это невозможным? В таком случае он ошибся. Доску размером 5х2 можно превратить в квадрат, разрезав её не только на 4, но и на 3 части.

Найдите оба решения.

Сквэрворды

Сквэрворды (с англ. Square - квадрат, word - слово) - это квадрат, разделенный на клеточки, с записанными в нем определенным образом словами. При этом большая часть клеточек пуста. Задача состоит в том, чтобы заполнить эти пустые клеточки буквами из числа имеющихся так, чтобы в каждом горизонтальном, вертикальном ряду и в диагоналях квадрата не было двух одинаковых букв, т. е. каждая буква встречалась бы по одному разу.

Основной подход к решению задач такого типа заключается в отыскании клеточки, для которой будет установлена несомненность расположения той или иной буквы. Выбрав клетку, для ней нужно провести чёткий логический анализ, устанавливая количество букв, которые можно вписать в эту клетку. Если возможная буква одна, то вписываем её. Две и более – переходим к другой клетке, и так до тех пор, пока поиск не увенчается успехом.

Решите самостоятельно

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

Лабиринт - алфавит

Буквенная мозаика представляет собой увлекательную задачу на сообразительность и умение логически мыслить.

В 64 клетках квадрата 8Х8 вписаны буквы алфавита. Начиная с буквы А в верхнем левом углу, проведите несамопересекающуюся ломаную, состоящую из звеньев, которая проходила бы ровно 33 буквы алфавита и заканчивалась в нижнем правом углу квадрата на букве Я.

При этом звенья ломаной должны пересекать стороны маленьких квадратов, но не проходить через их вершины.

Условимся называть букву проводимой, если через неё проходит ломаная линия, и непроводимой в противном случае. Отмечать проводимую букву будем точкой, а непроводимую – крестиком. Будем называть отрезок ломаной, соединяющий две соседние проводимые буквы, звеном.

В ходе решения воспользуемся следующими положениями:

1. Буква А в верхнем левом углу и букву Я в нижнем правом углу лабиринта-алфавита являются проводимыми.

2. Любая буква, встречающаяся в лабиринте один раз, является проводимой.

3. Если проводимая буква «окружена» с двух сторон двумя непроводимыми буквами, непроводимой буквой и стороной большого квадрата, двумя сторонами квадрата (случай, когда она стоит в угловой клетке), то в направлении двух других сторон проводим по звену. Буквы, стоящие у второго конца звеньев, становятся проводимыми.

4. Если из нескольких одинаковых букв одна становиться проводимой, то все остальные тотчас же станут непроводимыми.

5. Буквы, стоящие в тупике (окруженные с трех сторон), являются непроводимыми.

6. Если из нескольких одинаковых букв все за исключением одной непроводимые, то последняя становится проводимой.

7. Не всегда можно соединять звеном две соседние проводимые буквы.

8. Ломаная линия не должна быть замкнутой на некотором промежутке, иначе она дважды пройдет через одну и ту же букву.

Чётко и неукоснительно придерживаясь изложенных правил, проводим линию, которая удовлетворяет всем условиям задачи:

Решите самостоятельно

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.