Роль геометрии в построении паркета

Равенство фигур

Если две фигуры точно совместятся друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны. Это значит, что если у двух треугольников соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны, то эти треугольники совмещаются движением. И обратно: если два треугольника совмещаются движением, то у них соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. Докажем оба эти утверждения.

Пусть треугольник АВС совмещается движением с треугольником А1В1С1 причем вершина А переходит в вершину А1, В - в В1 и С - в С1. Так как при движении сохраняются расстояния и углы, то для наших треугольников АВ = А1В1, ВС = В1С1 ,АС = А1С1 , ∟А = А1, ∟В = В1, ∟С = С1.

Пусть теперь у треугольников АВС и А1В1С АВ = А1В1, ВС = В1С1 ,АС = А1С1 , ∟А = А1, ∟В = В1, ∟С = С1. Докажем, что они совмещаются движением, причем вершина А переходит в вершину А1, В - в В1, С - в С1. Подвергнем треугольник АВС преобразованию симметрии относительно прямой а, перпендикулярной к отрезку АА1 и проходящей через его середину. Получим треугольник А1В2С2. Если точки В и В2 различны, то подвергнем его симметрии относительно прямой b, которая проходит через точку А1 и перпендикулярна к прямой В1В2. Получим Треугольник A1B1C3.

Если точки С1 и С3 лежат по одну сторону от прямой А1В1, то они совпадают, действительно, так как углы В1А1С1 и В1А1C3 равны, то лучи А1С1 и А1C3 совпадают, а так как отрезки А1С1 и А1C3 равны, то совпадают точки С1 и С3. Таким образом, треугольник АВС движением переведен в треугольник А1В1С1.

Если точки С1 и С3 лежат по разные стороны от прямой А1В1, то для доказательства надо еще применить симметрию относительно прямой А1В1.

Виды симметрии

Симметрией фигуры называется свойство фигуры, состоящее в том, что существует её наложение самой себе. Иными словами симметричным называется такой объект, который можно как-то изменять, получая в результате то же, с чего начали. Примеры симметрии пространственных фигур дают правильные призмы и пирамиды: они совмещаются сами с собой, например, поворотами вокруг оси, перпендикулярной плоскости основания и проходящей через его центр. Примеры симметрии плоских фигур дают правильные многоугольники.

Существует несколько видов симметрии. На плоскости – это осевая симметрия (отражение от прямой), поворот вокруг точки (частичный случай – центральная симметрия), параллельный перенос и скользящая симметрии. В пространстве к вышеперечисленным видам симметрии добавляется зеркальная симметрия.

Движение фигур на плоскости

Движение плоскости можно представить себе следующим образом. Вообразим, что на плоскости даны какие-то точки и фигуры. Наложим на неё лист кальки и обведем на нем те же точки и фигуры. Затем снимем кальку и вернем ее обратно на плоскость, но в новом положении. Поскольку калька полупрозрачна, видны как исходные точки и фигуры на плоскости, так и их изображения на смещенном листе кальки (образы). Каждая точка плоскости переходит в новое положение (образ). Это и есть геометрическое преобразование, называемое движением.

Любые две фигуры на плоскости, если они равны, можно совместить движением, т. е. отобразить фигуру в фигуру её равную.

Поворот – движение, поскольку расстояния между точками после поворота не изменяются. Заметим, что при геометрическом понимании движения обращают внимание лишь на начальное и конечное положение (образ) движущейся точки, отвлекаясь от ее промежуточных положений, скорости и т. д. этим геометрический подход к движению отличается от физического.

Движением является и параллельный перенос, когда все точки плоскости смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние. Вектор, соединяющий точку и ее образ при параллельном переносе на какой-то вектор.

Еще один пример движения – осевая симметрия. Пусть на плоскости начерчена прямая l (ось симметрии), а также какие-то фигуры и точки. Наложим на плоскость лист кальки и переведем на него прямую l, а также фигуры и точки. Затем перевернем кальку и наложим ее на плоскость обратной стороной так, чтобы каждая точка прямой l совместилась сама с собой. Тогда всякая точка и всякая фигура попадут в положение, симметричное первоначальному относительно прямой l. Можно осуществить осевую симметрию и перегибая чертеж по оси l.

Орнамент

Общее понятие орнамента

Принцип симметрии используется в построении орнамента. Орнамент (от лат. ornamentum – украшения) – узор, состоящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (посуды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений.

Рассмотрим виды симметрических построений орнаментов.

1. Зеркальная симметрия, в которой фигура и ее отражение в плоскости симметрии совмещаются при накладывании друг на друга.

2. Сложные виды динамической симметрии получаются при различного рода симметрических повторах, поворотах, переносах, отражениях исходной фигуры.

3. Бордюр – орнамент, в котором повторяемые фигуры перемещаются вдоль одной прямой или кривой линии (ленты, полосы, фризы, тяги, филенки, пилястры и т. д. ).

4. При точечной (лучевой, центральной) симметрии образование узора происходит при повторе фигуры вокруг оси симметрии на определенный угол (розетки, звезды).

5. Фигуры сетчатого (фонового) орнамента строятся по двум осям переносов, могут располагаться по пяти сеткам с различной системой узлов.

По характеру композиции и расположению на украшаемой поверхности орнамент может быть нескольких видов: ленточным (его называют еще бордюром), сетчатым и розетчатым. Насчитывают 17 возможных видов симметрии сетчатых орнаментов. Здесь могут осуществляться в разных сочетаниях такие виды симметрии: поворотная – второго, третьего, четвертого и шестого порядка, зеркальная и скользящее отражение. И в каждом случае определенный набор возможных отражений и поворотов влияет на ритмику узора, создает свою меру уравновешенности и подвижности, свои направления, по которым орнамент будет вести взгляд зрителя.

Виды орнаментов

Орнаменты разделяют на виды

1. Геометрический орнамент. В геометрическом орнаменте делается акцент на строгом чередовании ритмических и их цветовых сочетаний, иногда на активной стилизации отдельных мотивов природы.

2. Растительный орнамент. Это самый распространенный после геометрического орнамент, для которого характерны свои излюбленные мотивы, причем в различных странах, в разные времена. Растительный орнамент имеет наибольшие возможности в разнообразии используемых мотивов, приемов исполнения.

3. Каллиграфический орнамент. Он составляется из отдельных букв или элементов текста, выразительных по своему пластическому рисунку и ритму.

4. Фантастический орнамент. В основе орнамента лежат выдуманные изображения, чаще всего символичного и мифологического содержания.

5. Символический орнамент. Орнаментальные образы зачастую представляют собой символы или систему символов, имеющих какое-либо особое значение (гербы, орденские знаки, предметы воинского, музыкального, театрального искусства).

6. Фигуральный (человеческий) орнамент. Он составлен из человеческих тел, геометрических и растительных мотивов, отображает действия людей в окружении предметов военной жизни, быта, мифические и библейские сюжеты.

7. Пейзажный орнамент. Особенно часто использовался и используется ныне на текстильных изделиях производства Японии и Китая.

8. Астральный орнамент. Утверждает культ неба. Основными элементами были изображения неба, солнца, облаков, звезд.

9. Анималистический орнамент (животный). Реалистические, условные, стилизованные изображения птиц, зверей, животных (львы, пантеры, лошади, орлы, утки и т. д. ).

10. Смешанный орнамент (сложный). Собранный из разных элементов, например: геометрический и растительный, растительный и животный, ленты, оружейные щиты, атрибуты охоты, инструменты и т. д.

Паркет из правильных многоугольников

Понятие паркета как орнамента

Среди огромного разнообразия орнаментов выделяются «паркеты» (мозаики). Паркетом называют заполнение плоскости одинаковыми фигурами, которые не перекрывают друг друга и не оставляют на плоскости пустого пространства (иногда паркетом называют систему равных многоугольников, покрывающих всю плоскость, прилегая друг к другу по сторонам). Паркет (или мозаика) есть бесконечное семейство многоугольников, покрывающее плоскость без просветов и двойных покрытий. Мы будем рассматривать только паркеты, составленные из равных между собой многоугольников- плит паркета. Дополнительно всегда предполагается, что если паркет составлен из копий выпуклого многоугольника, то каждые две копии либо не имеют общих точек, либо имеют общую сторону (называемую также ребром паркета), либо общую вершину (называемую вершиной паркета).

Это такие же паркеты, как и в наших квартирах, как орнаменты на линолеуме, как рисунки на обоях.

Паркеты настолько часто встречаются в жизни, что мы не замечаем их. Тетрадный лист в клеточку – пример простейшего паркета. Элементом паркета здесь является квадрат. На этой решетке можно составить и другие паркеты (их можно назвать решетками).

Замощение окрестности точки правильными многоугольниками одного типа

Итак, какими же многоугольниками можно замостить плоскость? Часть школьного курса 9 класса посвящена теме: «Правильные многоугольники». Многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны, называется правильным. На рисунке изображены правильные треугольник, четырехугольник, пятиугольник и шестиугольник.

Найдем ответ на интересующий нас вопрос, рассмотрев замощение окрестности точки правильными многоугольниками одного типа. Пусть окрестность точки замощена одинаковыми правильными многоугольниками (т. е. , например, только 3-угольниками, или только 4-угольниками, , только n-угольниками). Выясним вопрос, для каких значений n возможно такое замощение.

Как известно величина угла правильного n-угольника определяется по формуле:

Используя эту формулу, для различных значений n получаем следующие величины углов правильных n-угольников:

n2 7 8 9 10 11 12

n3 42 24 18 15 66/5 12

Так как количество углов – целое число, очевидно, что случай n1 = 3, n2 = 11, n3 = 66/5 можно сразу исключить из рассмотрения.

Покажем, что комбинацией правильных многоугольников с количеством углов n1=3, n2 = 7, n3 = 42 уложить паркет невозможно.

Пусть окрестность вершины A покрыта указанными многоугольниками и ABC – правильный треугольник. Пусть к стороне AB правильного треугольника ABC прилегает 7-угольник, тогда к стороне AC прилегает 42-угольник. Но тогда к стороне BC невозможно приложить ни 7-угольник, ни 42-угорльник, если соблюдать условие, что в вершине сходятся 3-угольник, 7-угольник и 42-угольник.

Справедлива более общая теорема.

Теорема. Вокруг правильного многоугольника с нечетным количеством сторон невозможно последовательно уложить многоугольники двух типов, т. е. с разным количеством сторон, с чередованием типов.

Используя эту теорему, получаем, что при наборах (n1, n2, n3), равных (3,8,24), (3,9,18), (3,10,15), невозможно уложить паркет комбинацией правильных многоугольников с соответствующим количеством углов.

Комбинацию правильных многоугольников с количеством углов n1 = 3, n2 = 12, n3=12 можно реализовать.

1. Пусть n1 = 4.

Аналогично случаю 1 можно показать, что для n2 справедлива оценка:

4 < n2 ≤ 8, а значит, возможны следующие случаи:

n2 5 6 7 8

n3 20 12 28/3 8

Так как количество углов – целое число, очевидно, что случай n1 = 4, n2 = 7, n3= 28/3 можно сразу исключить из рассмотрения.

Применяя приведенную выше теорему к 5-угольнику, получаем, что при n1 = 4, n2=5, n3 =20 не существует укладки паркета правильными многоугольниками с соответствующим количеством углов.

Комбинации правильных многоугольников с количеством углов n1 = 4, n2 = 6, n3 = 12 и n1 = 4, n2 = 8, n3 = 8 можно реализовать на плоскости.

2. Пусть n1 = 5.

При n2 = 5 получаем комбинацию n1 = 5, n2 = 5, n3 = 10. Укладка паркета правильными многоугольниками с соответствующим количеством углов невозможна по теореме.

При n2 = 6 получаем комбинацию n1 = 5, n2 = 6, n3 = 15/2. Очевидно, что и в этом случае укладка невозможна.

При n2 ≥ 7 получаем:

Значит, n3 ≤ 6, n2 ≥ 7, а это противоречит допущению n2 ≤ n3.

3. Пусть n1 = 6.

Но n1 ≤ n3 ≤ n2. Получаем:

(по уравнению (1)), следовательно, n1 = n3 = n2 =6.

Эта комбинация реализуется правильными шестиугольниками.

Замощение окрестности точки четырьмя правильными многоугольниками

Пусть окрестность точки замощена правильными многоугольниками только четырех типов с количеством углов в них n1, n2, n3, n4. Будем предполагать, что n1 ≤ n2 ≤ n3 ≤ n4. Очевидно, что n1 ≥ 3.

Из этого уравнения следует и ограничений на n1 следует, что возможны следующие комбинации чисел n1, n2, n3, n4:

n1 n2 n3 n4

3 3 4 12

3 3 6 6

3 4 4 6

4 4 4 4

Для набора (3,3,4,12) реализация невозможна.

Набору (3,3,6,6) соответствует два варианта паркета.

Набору (3,4,4,6) соответствуют три варианта паркета.

Паркет соответствующий набору (4,4,4,4) изображен.

Замощение окрестности точки пятью и шестью правильными многоугольниками

Пусть окрестность точки замощена правильными многоугольниками только пятью типов с количеством углов в них n1, n2, n3, n4, n5. Будем предполагать, что n1≤n2≤n3≤n4≤n5. Очевидно, что n1 ≥ 3.

Из этого уравнения и ограничений на n1 следует, что возможны следующие комбинации чисел n1, n2, n3, n4, n5:

n1 n2 n3 n4 n5

3 3 3 4 4

3 3 3 3 6

Набору (3,3,3,4,4) соответствуют четыре варианта паркета.

Набору (3,3,3,3,6) соответствует один вариант паркета.

Замощение окрестности точки шестью правильными многоугольниками возможно только для случая n1 = n2 = n3 = n4 = n5 = n6 = 3. Соответствующий вариант паркета представлен.

Получить паркет из n-угольников можно путем различных преобразований. Такая технология изготовления плоских орнаментов приведена.

Построение паркета из фигур, отличных от правильных многоугольников

Как уже говорилось, паркетом называют покрытие плоскости правильными многоугольниками, при котором два многоугольника имеют либо общую сторону, либо общую вершину, либо совсем не имеют общих точек.

Некоторые определения паркета не ограничиваются многоугольниками. В этом случае паркетом называется покрытие плоскости без пропусков и перекрытий заданными фигурами (в частном случае – многоугольниками, правильными или неправильными, выпуклыми или невыпуклыми). В таком случае даже для паркетов из многоугольников может не соблюдаться требование «два многоугольника должны иметь общую вершину, общую сторону или совсем не иметь общих точек». Кроме того, появляется множество разнообразных паркетов, состоящих не из многоугольников, а из криволинейных фигур.

Технология изготовления плоских орнаментов

Стая птиц. Но как она получилась. Неужели элементом паркета здесь был какой-либо многоугольник, который мы как-то преобразовали или изменили? На самом деле за элемент паркета была взята фигурка в виде птицы. Мы знаем три вида движения фигур на плоскости. Это поворот, параллельный перенос и осевая симметрия. Для того чтобы получить паркет с изображением стаи птиц воспользовались параллельным переносом, первоначально задав вектор перемещения. Вот так несложно, казалось бы, можно получить стаю птиц. Другие примеры паркетов, полученные с помощью параллельного переноса, представлены.

Рассмотрим другой паркет и с другим изображением. Как же получили такой затейливый рисунок? Можно заметить серии фигур на данном паркете, у которых есть одна общая точка; т. е. это небольшие группы птиц, которые имеют центр, соответствующий совмещения их клювов. Эта точка является центром данной группы фигур. Предположим, что плоскость чертежа поворачивали на некоторый угол вокруг некоторой точки. На нашем паркете такой точкой является центр группы фигур или точка совмещения клювов. Из этого следует, что данный паркет получили в результате поворота серии фигур. Еще одним примером такого построения паркета является.

Для достижения поставленных целей нам необходимо было определить из каких фигур можно составить паркет. И по окончанию исследования сделать собственные разработки паркета.

Нами было сделано предположение, что паркет можно получить только из таких правильных многоугольников как квадрат, треугольник и шестиугольник. В ходе работы мы выяснила, что это действительно так. И никакой пятиугольник или семиугольник не сможет стать элементом паркета. Ведь паркет – это заполнение плоскости несколькими фигурами без пробелов и перекрытий. Почему именно эти три правильных многоугольника заполняют плоскость так как надо? Оказалось, что ответ на этот вопрос можно найти из подсчета углов. Для начала необходимо определить величину каждого угла правильного многоугольника, для этого сумму углов выпуклого n-угольника делим на число углов. Чтобы получить паркет надо набрать сумму углов в 360о. Поэтому число многоугольников, которые должны сходиться в вершине паркета, определяется при делении 360о на величину угла выпуклого n-угольника. Отсюда можно сделать вывод, что существует закономерность построения паркета из фигур отличных от правильных многоугольников. Тем самым получается, что я подтвердила вторую гипотезу.

После исследования и выявления закономерностей построения паркета из правильных многоугольников нами были нарисованы эскизы паркетов. Это занятие показалось очень увлекательным. Экспериментируя с цветовой гаммой, были подобраны такие цвета, которые придают законченную форму паркету.

Паркет – это орнамент. А орнамент предназначен для украшения различных предметов и архитектурных сооружений. Связанный с поверхностью, которую он украшает и зрительно организует, орнамент, как правило, выявляет и подчеркивает своим построением, формой и цветом конструктивные особенности предмета, природную красоту материала. Паркет придает поверхности четкую ритмическую организацию. Использование орнаментального искусства можно проследить на протяжении всего развития народного творчества. От орнаментов Древнего Египта до применения орнаментов в наши дни.

Одним из главных достижением данной работы мы считаем то, что были составлены четыре разработки паркета. Это «Звездное небо», «Цветная поляна», «Лес» и «Геометрическая бездна».

Технологию изготовления плоских орнаментов.

Возьмем за основу шестиугольник.

1. Изменим сторону FA шестиугольника.

2. Тогда, чтобы наша фигуру «вдвинулась» одна в другую, так же изменим и противоположную сторону DC.

3. К стороне AB пририсуем треугольник.

4. Такой же треугольник мы должны вырезать с противоположной стороны ED.

5. К стороне FE пририсуем треугольник.

6. Такой же треугольник вырежем с противоположной стороны BC.

Вот как видоизменился наш шестиугольник. А теперь раскрасим его.

У нас получились разбойники. Использую тот же контур, но с другим рисунком внутри, можно нарисовать таких симпатичных собачек.