Решение геометрические задачи на построение
Решая геометрические задачи на построение, следует опираться на определённые простейшие операции известные ещё с древних времён. Такие, как откладывание равного угла, деление отрезка пополам, опускание высоты, построение биссектрисы и т. д. Но нередко встречаются задачи, в которых не даны основные величины, по которым можно легко построить искомую фигуру. О методе решения таких задач, а именно о методе спрямления, пойдет речь в статьи.
Задача №1
«Построить треугольник по данной стороне, углу, к ней прилежащему, и сумме двух других сторон».
Дано: а - одна из сторон; b+c – сумма двух других сторон (b и с);
B – Угол прилежащий к стороне a.
Построить: ΔABC.
1)Анализ.
Предположим ΔАВС – искомый, где ВС=а, В - заданный угол. Продолжим сторону ВА и на её продолжении отложим AD=CA. Соединим C с D.
В ΔCBD имеем: BD=b+c; ВС=а; CBD = B.
ΔBCD можно построить по двум сторонам и углу между ними.
ΔCAD – равнобедренный (CA=AD), в котором AH-высота и медиана. Проведя серединный перпендикуляр (AH CD), определим вершину А.
2)Построение.
1) ΔCBD,где BC=a; B= CBD; BD=b+c;
2) AH CD и CH=HD.
3) Доказательство.
ΔABC – искомый, т. к. он удовлетворяет всем требованиям задачи: BC=a;
BC+AC=b+c; B равен данному.
4) Исследование.
Условие, необходимое для решения задачи, b+c>a. Докажем, что это условие и достаточно, т. е. если оно выполнено, то задача разрешима.
Если c+b>a, то в BCD C > D, а потому возможно провести линию AC по ACD к стороне CD, чтобы ACD= ADC, что позволяет восстановить серединный перпендикуляр к CD.
Итак, задача разрешима при b+c>a и имеет одно решение.
Задача №2
«Построить треугольник по данной стороне, углу, ей противолежащему, и разности двух других сторон».
Дано: a – одна из сторон; b-c – разность двух других сторон;
A – угол противолежащий стороне a;
Построить: ΔABC.
1)Анализ.
Пусть ΔABC – искомый. На АС отложим АВ и получим точку D. ΔBAD – равнобедренный.
В ΔBDC известны две стороны: BC=a и DC=b-c. Определим угол BDC. Он внешний по отношению к ΔBAD и равен сумме двух внутренних углов, с ним не смежных, т. е.
BDC= A+ DBA.
Но DBA= ADB=(180о- A):2.
Таким образом, BDC= A+ ABD= A+ = 90о+.
Итак, задача свелась к построению ΔBDC по двум сторонам a и b-c и BDC. Построение EA BD, причём BE=ED, до пересечения луча CD с EA даёт положение вершины А.
2)Построение.
1) BDC; DC=b-c; BC=a
2) середина BD=> E; EA BD; CD∩EA=>A
3)AB=>ΔABC
3)Доказательство.
ΔABC-искомый, т. к. удовлетворяет всем требованиям задачи: BC=a;
DC=b-c (т. е. AC-AB); угол А равен данному.
4)Исследование.
Условие, необходимое для решения задачи, a>b-c в противном случае a+c
Задача №3
«Дан отрезок h и отрезок P. Построить равнобедренный треугольник с периметром P и высотой h»
Дано: h - высота искомого треугольника;
P - периметр искомого треугольника.
Построить:ΔABC
1)Анализ.
Пусть ΔABC построен: AB=BC; AB+BC+AC=P; BO=h.
Отложим на прямой АС отрезки АА1=AB и CC1=CB, тогда A1C1=P. ΔA1BC1 – равнобедренный, A1B=C1B, BA1C1= BC1A1=α.
Тогда BCO=2α (как внешний угол треугольника BCC1), а OBC=90◦-2α (заметим, что углы при основание равнобедренного треугольника всегда острые, значит α<45◦).
Прямоугольный треугольник BOC, в котором BO=h и OBC=90◦-2α можем построить.
2) Построение.
1) На прямой l откладываем отрезок A1C1, равный P, строим серединный перпендикуляр этого отрезка и на нём откладываем OB=h.
Соединяем точки A1 и B и точки С1 и B.
2) От BC1 откладываем угол C1BC=α=BC1C. От BA1 откладываем угол A1BA=α=BA1A.
ΔABC-искомый.
3) Доказательство.
По построению треугольник ABC – равнобедренный (АО=ОС), BO AC, BO=h.
Так как угол OBC=90◦-2α, то угол BCО=2α, он внешний угол для треугольника BCC1, в котором угол BC1C=α, значит угол СВС1=α, ΔВСС1 равнобедренный, ВС=СС1.
Итак, ОС1=Р=ОС+СС1=ОС+ВС, что означает АС+2ВС=АС+ВС=Р.
4) Исследование.
Построение возможно, если α<45◦, т. е. если ВО=h Построение единственно. Задача №4 «Дан отрезок m. Построить квадрат, в котором сумма диагонали и стороны равна m» Дано: m – сумма диагонали и стороны. Построить: ABCD 1) Анализ. Предположим, что построен искомый квадрат ABCD. Поворачиваем диагональ АС так, чтобы она легла на прямую ВА отрезок AF=AС, тогда BF=m. Треугольник FAC будет равнобедренный, угол α при основании FC равен Мы можем построить прямоугольный треугольник BCF с катетом BF=m и углом BFC=. 2) Построение. 1) Строим прямой угол, делим его пополам и половину угла делим пополам. Получаем угол 45◦. Переходим к построению квадрата. 2) На прямой откладываем отрезок BF=m. Через точку B проводим прямую ВК, перпендикулярную прямой BF. 3) От луча FB откладываем угол BFE, равный ранее построенному углу , получаем точку С на прямой ВК. 4) Далее раствором циркуля, равным ВС от точки В, отмечаем точку А на прямой BF, и тем же раствором циркуля с центром в точках А и С проводим дуги, в пересечении получаем точку D. 5) ABCD – искомый квадрат. 3) Доказательство. По построению ABCD – ромб, все стороны равны, но ромб с прямым углом, т. е. квадрат. Угол CAF =45◦+90◦=135◦, угол AFC= , тогда в треугольнике AFC угол ACF= и AF=AC. Таким образом m=BF=BA+AC. 4) Исследование Построение единственно и всегда возможно. Понимание цели задачи, осознание данных нам условий и составление чёткого плана их применения для построения искомой фигуры помогает нам провести анализ, после чего построить фигуру не составит и труда. Также довольно интересно исследование каждой задачи, где мы доказываем условия возможности построения и количество различных решений.
Комментарии