Построение паркетов в программе «Живая геометрия»

Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта, должны быть красивы; идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически.

Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики.

Дж. Харди

Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики

Г. Вейль

Паркеты с древних времён привлекали к себе внимание людей. Ими мостили дороги, украшали полы в помещениях, стены домов использовали в декоративно прикладном искусстве.

Знаменитый голландский художник Мариус Эшер (1898-1972) посвятил паркетам несколько своих картин. Проявление свойств паркетов сказывается на свойствах различных природных минералов и кристаллов. В то же время паркеты являются объектом исследования математиков. Важные результаты здесь получены отечественными учёными академиками А. Д. Александровым, В. Н. Делоне, Е. С. Фёдоровым и др.

История паркета

В давние времена составление паркетов являлось искусством, которым в совершенстве владели крепостные мастера, создававшие паркеты во дворцах царей и вельмож.

Паркет в Итальянском зале Павловского дворца

А вот мозаики Эшера. Эшер использовал базовые образцы мозаик, превратив их в животных, птиц, ящериц и т. д.

Определение паркета. Виды паркетов. Геометрические приёмы составления паркетов

Паркет- это покрытие плоскости геометрическими фигурами без зазоров и пересечений.

Хотя изучение паркетов не входит в школьную программу по математике, тем не менее эта тема непосредственно связана с такими понятиями как многоугольник, правильный многоугольник, параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрия и др.

Рассмотрим частные случай: покрытие плоскости многоугольниками.

Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором вся плоскость оказывается покрытой этими многоугольниками и любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

В ходе изучения паркетов, я пришёл к выводу, что основные геометрические приёмы составления паркетов – это параллельный перенос, поворот, осевая и центральная симметрия. Не так уж много, но какая красота получается!

Я построил паркеты в программе Живая Геометрия, версия 4.

Паркет называется правильным, если он состоит из равных правильных многоугольников. Уже пифагорейцам было известно, что имеется только три вида правильных многоугольников, которыми можно полностью замостить плоскость без пробелов и перекрытий, — треугольник, квадрат и шестиугольник.

Паркет называется полуправильным, если он состоит из правильных многоугольников (возможно с разным числом сторон), одинаково расположенных вокруг каждой вершины, т. е. паркет из нескольких видов правильных многоугольников. Всего таких паркетов – 8. Вот они.

Паркеты, придуманные автором

Паркеты, в которых есть звёздчатые многоугольники

Паркеты из окружностей

Паркеты из дуг окружностей

2,3,4 получены поворотом на 90 и т. д

Паркеты из квадратов

Любую плоскость можно заполнить четырёхугольниками

Заполнение плоскости выпуклыми четырёхугольниками.

Заполнение плоскости невыпуклыми четырёхугольниками.

Паркеты из шестиугольников, у которых противоположные стороны равны и параллельны

Паркеты из фракталов.

Очень красивые паркеты получаются, если внутри квадрата, треугольника или шестиугольника поместить геометрические фигуры - фракталы, которые также можно построить в программе «Живая геометрия» (построены в версии 3)

Паркеты из роз Гвидо Гранди

Розами, или кривыми Гвидо Гранди, называют семейство кривых, полярное уравнение которых записывается в виде r = asink или r = acosk, где а и k – некоторые положительные числа. Я построил розы и цветы в версии 4, раскрасил в Paint, поместил в квадраты и ими замостил плоскость.

Паркеты, в которых присутствуют люди и животные

Красота и математика

Мы с наслаждением познаём математику Она восхищает нас, как цветок лотоса

Аристотель

Математика — один из видов искусства

Н. Винер

Красота математики не случайна, она заложена изначально в самой природе математики.

А. Реньи

Математике, как таковой, присуща известная красотаГёте удачно назвал благородный собор «окаменелой музыкой», но, быть может, ещё лучше было бы назвать такой собор «окаменелой математикой»

. Красота математики среди наук недосягаема, а красота является одним из связующих звеньев науки и искусства

Волошинов А

математика во все времена была и остаётся «первой красавицей» среди наук и, следовательно, эстетические принципы науки наиболее ярко проявляются в математике

Волошинов А

математика несёт красоту в любую науку

Волошинов А. [

Но ведь мы определённо носим в себе ощущение математической красоты, гармонии чисел и формы, геометрического изящества. Все эти чувства – настоящие эстетические чувства, и они хорошо знакомы всем настоящим математикам

А. Пуанкаре

В математике есть тоже своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчётливых, ярко очертанных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее

Н. Е. Жуковский

Холодные числа, внешне сухие формулы математики полны внутренней красоты и жара сконцентрированной в них мысли

А. Д. Александров

Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее древнюю часть известной нам высшей математики

Г. Вейль

В математике красота играет громадную роль

Н. Г. Чеботарёв

В математике не меньше логики и красоты, чем в шахматах. И есть преимущество: математики не разыгрывают между собой звание абсолютного чемпиона

Эйве М.

Я установил множество исключительно красивых теорем

П. Ферма

Математика, правильно понятая, обладает не только истиной, но также величайшей красотой, какой обладает искусство ваяния.

Б. Рассел

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой — красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства

Б. Рассел

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой, доступной только величайшему искусству

Б. Рассел

Умение строить паркеты, пользуясь определенными математическими приемами, позволяет увидеть красоту математики. Увидеть внутреннюю красоту математики не все могут (см. п. 5), а внешнюю – все. Я показал на примере своей работы внешнюю красоту математики.