Математика. Компьютер. Творчество

Сегодня мир уже перешел ту незримую линию, когда в обществе на смену материального богатства приходит новое богатство - знание и появилась новая движущая сила общества - носитель знания. Это означает, что наступает новая эра в его истории, новый образ жизни и новая формация - общество знаний. И то общество, которое лучше других сможет реализовать эти отношения, станет недосягаемым для других общественных систем. Древнегреческий мыслитель Платон еще за пять столетий до нашей эры, считал идеальным государством такое, где властвует знание как главная составляющая триединой ипостаси успешного государства: Знание, Сила, Богатство. Этой формулы особенно тщательно придерживаются развитые страны, в которых сформировалась инновационная модель общественного развития, которая базируется на интенсивном использовании новых знаний, за счет воплощения их в образование.

В недалеком будущем мы будем жить в цифровом мире: миллиарды компьютеров в сети сделают информацию доступной каждому в любое время, в каждом уголке планеты. Для создания и развития цифрового мира нужны квалифицированные кадры - информационно грамотные, которые умеют работать с высокой производительностью и эффективно общаться. К тому времени, когда сегодняшние школьники пополнят ряды трудоспособного населения, на рынке работы 90% профессий будут представлять собой совсем новые виды деятельности, которые требуют соответственно новых, более глубоких и широких знаний. Все это означает, что необходимо, уже со школьной скамьи готовить детей к жизни в обществе, которое базируется на информационных технологиях.

Это подтверждают международные конференции, конкурсы, проекты, круглые столы под названием „ХХІ столетие: образовательная среда и перспективные технологии обучения”.

Современное математическое образование предусматривает создание таких условий, при использовании компьютерных технологий, когда учебный материал становится предметом самостоятельной творческой или исследовательской работой каждого ученика.

Предлагаемое исследование - это использование информационных технологий при изучении математики. Это - составление конспектов тем математики, проведение математических экспериментов, создание творческих презентаций по отдельным вопросам алгебры-геометрии, самостоятельное исследование компьютерных программ и тем математики, создание педагогической модели использования компьютерных технологий. Творчество работы заключается в моделировании таких задач, чтобы в проблемных ситуациях ученики постоянно находили нестандартные (качественно новые) алгоритмы решения проблемных ситуаций за счет порождения (создание) своих собственных новых творческих способностей.

Осознание этих преимуществ обусловило провести экспериментальное исследование по направлениям:

• изучение новейших технологий обучения;

• исследование компьютерных программ: Microsoft Word, Microsoft Excel, Microsoft PowerPoint, Microsoft FrontPage, Gran2D, Gran3D, Paint, Advanced Grapher, Functor-2. 5, 3D-Grapher, 3DS max 5. 0, Компас-3D LT 5. 10 по линии применения при изучении математики;

• исследование тем школьной математики на необходимость проведения математических, компьютерных экспериментов;

• разработка творческого практикума (компьютерных, математических экспериментов) и внедрение в практику работы школы;

• создание презентаций на двух языках (русском и английском);

• разработка квалиметрической модели оценки творческих и исследовательских работ учеников, выполненных с помощью компьютерных технологий;

• создание авторской педагогической модели процесса использования информационных технологий при изучении математики.

При проектировании работы был использован большой объем литературы по темам: роль компьютерного эксперимента в обучении, система „Компьютер - Ученик”, перспективные направления исследования использования современных сетевых технологий в обучении, информационные технологии в системе подготовки американских учителей. Но специфика работы такая, что теоретической литературы недостаточно, поэтому большое место занимают ресурсы INTERNET и среди них материалы международных конференций, проектов.

Проанализировав литературу и материалы veb-страниц, делаем выводы, что информационные технологии и педагогическая эффективность - понятия, которые достаточно трудно определить, но главным, является то, каким образом эти технологии изменяют процесс обучения учеников, как удачно они интегрируются в общую педагогическую философию.

Общая характеристика и исследование компьютерных программ при изучении математики

Компьютерные математические системы позволяют быстро и эффективно проводить вычисления, решать задачи алгебры, геометрии, математического анализа, статистики (находить пределы, дифференцировать, интегрировать, строить графики, диаграммы, изображать стереометрические фигуры). Грамотное применение компьютерных технологий в учебном процессе:

- повышает фундаментальность математического образования;

- вызывает интерес к изучению математики;

- повышает компьютерную грамотность;

- стимулирует развитие детского творчества;

- способствует интеграции образовательной системы с образовательными системами наиболее развитых стран мира, где подобные методы обучения уже давно применяются;

- дает возможность участвовать в международных, дистанционных проектах.

Банк компьютерных программ в школе может состоять из следующих программ: Microsoft Word 2000, Microsoft Excel 2000, Microsoft PowerPoint, Gran2D, Gran3D, Paint, Advanced Grapher, Functor-2. 5, 3D-Grapher, 3DS max 5. 0, «Курс математики-2000», Компас-3D LT 5. 10, Mathematics Encyclopedia.

Продукт Microsoft Word (работы 2,3,4,5,12)

Работа с программой представляет неограниченные возможности для развития пространственного и рационального мышления учеников. Программу можно применять при:

- составлении учениками коротких и полных конспектов тем;

- построении всяческих моделей (призмы, шара, конуса, пирамиды), дает возможность увидеть данное геометрическое тело из разных позиций, так как отличительной особенностью есть возможность вращения пространственного геометрического тела, а также увеличение или уменьшение фигуры, возможность выполнять над объектом разнообразные операции;

- создании электронного учебника (mini-book), в котором формула иллюстрируется примерами, что дает возможность применять при формировании новых знаний, а также при актуализации предыдущих знаний.

- ученику предлагается новый способ решения задач: вместе с компьютером, который подскажет при необходимости верный путь решения.

- составлении рефератов.

Продукт Microsoft Excel (работы 1,6,9,10,11)

Уникальная программа для применения при изучении школьного курса математики. Разрешает на одной координатной плоскости изображать:

- графики функций f(x), f(x+a), f(x-a) a>0

- графики функций f(x), f(x)+b, f(x)-b b>0

- графики функций f(kx+b)+c, f(kx+b)+c, f(kx+b)+c

- график y=f(x), определить производную и построить график производной;

- построению разнообразнейших диаграмм и гистограмм, вычислений длин, площадей, объемов геометрических объектов;

- решение уравнений и неравенств.

Компьютерная программа позволяет ученикам решать исследовательские задачи: на определение вогнутости, выпуклости кривых, построении касательной и нормали в любой точки области определения функции, исследовании точек максимума и минимума. А также наибольшего и наименьшего значений на промежутке и определение площади фигуры, ограниченной линиями. В MS Excel входят около 300 функций с помощью которых можно решать разнообразнейшие задачи на вычисление. Очень важная и интересная задача типа: спроектировать рабочую книгу которая будет вычислять разные элементы треугольников по трем его сторонам, площади и объемы круглых тел и многогранников по заданным элементам. Использование программы дает возможность значительно интенсифицировать процесс обучения.

Продукт Microsoft PowerPoint (работы 7,8)

Уникальная программа!!! Абсолютно самостоятельно ученики исследуют эту программу, создают авторские творческие презентации по отдельным темам математики. Создается „Виртуальная математическая энциклопедия - XXI”. Также дети составляют учебные презентации для изучения темы по математике или для обучения в определенной программе. Это неограниченные возможности для развития творческих способностей.

Продукт Microsoft Access

Программа применяется при создании базы данных элементарных функций, многоугольников, многогранников, круглых тел. А также для создания базы „школа”.

Компьютерная программа Advanced Grapher

Автор Michael Serpik

Уникальная программа для применения при изучении школьного курса математики. Позволяет на одной координатной плоскости изображать:

- графики функций f(x), f(x+a), f(x-a) a>0

- графики функций f(x), f(x)+b, f(x)-b b>0

- графики функций f(kx+b)+c, f(kx+b)+c, f(kx+b)+c

- график y=f(x), одновременно определить производную и построить график производной, что позволит провести исследование данной функции с помощью производной.

- решение систем уравнений и неравенств основного, продвинутого и углубленного уровней.

Компьютерная программа позволит учащимся решать исследовательские задания: на определение вогнутости, выпуклости кривых, построение касательной и нормали в любой точке области определения функции, нахождения точек максимума и минимума, наибольшего и наименьшего значений на промежутке, определения площади фигуры, ограниченной линиями.

Компьютерная программа 3DS max 5. 0

Популярная программа трехмерной компьютерной графики и анимации. Данная программа занимается построением всевозможных моделей (вид которых: стандартные примитивы, составные объекты, расширенные примитивы, корректирующие сетки, системы частиц, нестандартные поверхности, динамические объекты), дает возможность увидеть данное геометрическое тело с разных позиций: в перспективе, сверху, впереди, слева.

Одной из возможностей 3D max 5. 0 является построение выпуклых многогранников, к которым относятся: тетраэдр, октаэдр, додекаэдр. Очень интересной особенностью программы является изменение параметров семейства гедры: тетра, куб, октаэдр, звезда1, звезда2.

Компьютерная программа Gran

Украинская программа Gran предназначена для графического анализа функций. Основные функциональные возможности программы: построение графиков функций, вычисление значений выражений функции в заданных точках, графическое решение уравнений, систем уравнений, неравенств и систем неравенств. Также программа позволяет вычислять объемы и площади тел вращения. Использование программы дает возможность значительно интенсифицировать процесс обучения.

Программа Gran3D предназначена для построения базовых пространственных объектов в трехмерном пространстве и их детального анализа. Отличительной особенностью является возможность вращения пространственного геометрического тела за счет передвижения ползунков (горизонтального и вертикального). Программа дает полную характеристику объекта: точки максимума, точки минимума, объем, площадь поверхности, количество вершин. В резерв программы входит возможность построения усеченных моделей (при нажатии на кнопку «Создание базовых объектов» появляется диалоговое окно, в котором необходимо поставить значок возле слова «усеченный», а также указать параметры верхнего основания). Итак, возможности украинской программы Gran3D довольно обширны.

Компьютерная программа Paint

Данная компьютерная программа позволяет изображать планиметрические и стереометрические фигуры, комбинации фигур, плоские сечения и использовать их при решении планиметрических и стереометрических задач.

Компьютерная программа «Курс математики-2000». Автор Л. Я. Боревский

Темы: Тригонометрические, показательные, логарифмические тождества, уравнения, неравенства.

Каждая программа “Курса математики” снабжена гипертекстовым учебником, в котором любая формула или теорема обязательно проводится с доказательством, а также иллюстрируется рисунком или примерами, что позволяет применять при формировании новых знаний и способов действий, а также при актуализации прежних знаний. Для каждого ученика программа ведет отдельный дневник с полной статистикой по всем решавшимся задачам, что позволяет легко определить темы, требующие дополнительной проработки. Диск содержит 450 задач.

Компьютерная программа Functor-2. 5

Программа для построения графиков трехмерных функций Z=f(x,y) и их детального анализа, изменения настройки вида графиков и систем координат. Отличительной особенностью является возможность вращения пространственной модели одним движением мыши. Работа с программой представляет неограниченные возможности для развития пространственного мышления учащихся.

Компьютерная программа 3D Grapher

Компьютерная программа позволяет произвести построение поверхности одной и той же функции в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. Выделить цветом. Сравнить изображения. Функции задаются в параметрическом виде. Например: x(u,v,t)=u; y(u,v,t)=v; z(u,v,t)=u2+v2+t2. Также имеется возможность одновременной иллюстрации всех трех видов поверхностей.

Компьютерная программа Компас-3D LT 5. 10

Программа применяется при изучении курса черчения, но может быть применена при изучении стереометрии (изображение фигур в трехмерном пространстве, построение их сечений).

Исследование курса математики 10-11 классов.

Создание математических экспериментов с использованием информационных технологий.

Алгебра и начала анализа

Тема: Производная. Применение производной (использование программ: Advanced Grapher, Gran).

- построение графика функции и графика ее производной на одной координатной плоскости на экране компьютера. Исследование зависимости промежутков возрастания, убывания функции от знака производной (прил. А);

- изображение графика функции, касательной и нормали в данной точке. Обоснование геометрического смысла производной.

- построение графика функции и графика второй производной. Исследование функции на вогнутость и выпуклость в зависимости от знака второй производной;

- проведение полного аналитического исследования функции с помощью производной, построение графика функции в тетради с последующим сравнением его на экране компьютера (прил. С);

- исследование точек максимума, минимума, перегиба на изменение знака в окрестностях этих точек.

Тема: Первообразная и интеграл (Advanced Grapher, Gran)

- построение графика функции и графиков совокупности первообразных данной функции. Обоснование геометрического смысла основного свойства первообразных;

- изображение и вычисление площади фигуры, ограниченной линиями аналитически и с помощью компьютера (прил. B);

- вычисление определенного интеграла.

Тема: Тригонометрические, логарифмические и показательные функции (использование программ: Advanced Grapher, Gran, Functor-2. 5, 3D-Grapher)

- построение графиков функций y=f(x), y=f(x+a), y=f(x-a) a>0;

- графиков функций y=f(x), y=f(x)+b, y=f(x)-b b>0

- графиков функций y=f(kx+b)+c, y=f(kx+b)+c, y=f(kx+b)+c. Провести исследование вида графиков в зависимости от коэффициентов а, b, с и положения модуля. Обосновать выводы.

Тема: Тригонометрические, логарифмические и показательные уравнения, неравенства и системы (использование программ: «Курс математики-2000», Advanced Grapher, Gran)

- графическое решение уравнений и систем уравнений. Исследование количества решений;

- графическое решение неравенств и систем неравенств. Обоснование вида изображения на экране компьютера;

- решение исследовательских заданий из компьютерной программы «Курс математики-2000»

- исследование параметрических уравнений

Геометрия

Тема: Многогранники и круглые тела (Word, Excel, PowerPoint, Gran3D, Pаint, 3DS max 5. 0,) (прил. D)

Учитывая свойства параллельного проектирования выполнить:

- изображение стереометрических фигур;

- изображение сечений многогранников;

- изображение комбинаций многогранников;

- изображение выпуклых, звездчатых многогранников;

Вычислить:

- длины, площади, объемы геометрических объектов.

Тема: Декартовы координаты в пространстве (использование программ: Functor-2. 5, 3D-Grapher)

- исследовать координатные системы: декартовые, цилиндрические и сферические. Установить общие и отличительные признаки.

- построить в трех координатных системах одну функцию. Исследовать вид изображенных поверхностей (работа 3).

3. Аналитическое исследование

„Виртуальной математической энциклопедии – XXI”.

Общая характеристика

Проведены аналитические исследования лучших работ учеников выполненных в программах Microsoft Word, Microsoft Excel, Microsoft PowerPoint, Advanced Grapher, Functor-2. 5, 3D-Grapher. Эти работы являются составляющей „Виртуальной математической энциклопедии - ХХІ”.

При реализации проекта „Виртуальная математическая энциклопедия - XXI” происходит интегрирование знаний из учебных предметов: алгебры и начал анализа, геометрии, информатики, литературы, языка. Основная идея проекта состоит в создании учениками „Виртуальной математической энциклопедии - XXI” с помощью компьютерных технологий (Microsoft PowerPoint), используя любые источники: электронные библиотеки, поисковые системы Интернет, энциклопедии, школьные учебники и любую научную литературу. Виртуальный проект это не столько информационная среда, сколько среда собственного самодвижения, саморазвития, а главный результат - генерирование новых собственных творческих способностей. На уроках математики и информатики ученики проводят исследование тем алгебры и начал анализа и геометрии на необходимость применения информационных технологий. Компьютерные программы разрешают ученикам решать исследовательские задачи: на определение вогнутости, выпуклости кривых, в построении касательной и нормали в любой точки области определения функции, исследование точек максимума и минимума, наибольшего и наименьшего значений на промежутке, определение площади фигуры, ограниченной линиями. А также, для построения графиков трехмерных функций Z=f(x,y) и их детального анализа, изменения настройки вида графиков и систем координат, возможность обращения пространственной модели одним движением мыши.

Работа с программами представляет неограниченные возможности для развития пространственного и исследовательского мышления учеников. Ключевой вопрос проекта: Как с помощью компьютерных технологий «оживить» математику, как создать электронный mini-book из избранной темы, чтобы школьникам было интересно его «читать», чтобы он был научным, интересным и доступным? Ученики проводят исследование по направлениям: определение содержания работы, выбор компьютерных программ для наиболее точной передачи свойств того или другого математического объекта, определение оптимального количества слайдов, цветовой гаммы, видов заставок, анимаций, включение музыкального оформления. Начинается поиск разнообразнейший информации по теме. Изучая возможности Всемирной сети Интернет, дети ищут адреса информационных Интернет-ресурсов. Обращаются к педагогике, исследуют закон Эбингаузена, временные зоны запоминания, свойства зрительной памяти и восприятие научной информации. Объединяют информационную, суггестивную и педагогическую технологии.

Заключительный этап проекта (июнь). Государственная аттестация по математики. Ученики защищают свои творческие работы-презентации, созданные в компьютерной программе Microsoft PowerPoint. На экране компьютера появляются теоремы и свойства, графики функций и поверхностей, исторические и авторские задачи. И каждая ученическая работа неповторимая и уникальная по своему смыслу, цветовой гаммой, техническим воплощением идеи. Учителя математики отбирают презентации для будущей работы в своих классах. Лучшие творческие работы записываются на лазерный диск «Виртуальная математическая энциклопедия - XXI”.

Результаты государственной аттестации в 11 классе показали фундаментальность математической подготовки и высокий уровень компьютерной грамотности. В результате работы над проектом происходит формирование личности ученика, личности информационной цивилизации. Участниками проекта были созданные творческие работы-презентации по темам: «Математическая оптимизация. Исследовательские задачи», «Числа Фибоначчи и формула Красоты», «Исследование функции в разных системах координат», «Комбинаторика», «Логарифмы. Уравнение. Неравенства», «Конические сечения», «Математика Золотого Сечения», «Бином Ньютона», «Статистика» и даже «Компьютеры Фибоначчи» и прочие. Дети самостоятельно исследовали тему по математике, развивали литературные способности, улучшали знание языка, исследовали свои творческие работы на воспитательную и методическую ценность, на рациональность дизайнерского замысла (цветная гамма, единство стиля, проектирование структуры), на последовательность, лаконичность и доступность изложения учебного материала.

Мы, авторы этого исследования, являлись консультантами по информационным технологиям в 10-б и 11-а классах.

Творческие работы учеников, созданные в MS WORD (2006 год)

Компьютерная грамотность: создание и хранение документов, введение и редактирование текста, выделение текста, операции с выделенным фрагментом текста, вставка фрагмента, копирование, проверка орфографии, форматирование символов, абзацев, страниц, границы и заливка, стили форматирования, объекты в документах, вставка рисунка, формат рисунка, текстовые эффекты, вставка таблицы, нумерование страниц, колонтитулы, просмотр документов. Литература: В. Д. Руденко, О. М. Макарчик, М. О. Патланжоглу „Базовый курс информатики”.

- Полные конспекты тем по математике.

- Краткие конспекты тем (работа 2).

- Тесты с ответами (работа 5).

- Графики функций.

- Графики поверхностей в пространстве.

- Исследование вида функций в декартовой, цилиндрической, сферической системах координат (работа 3);

- Психологический тип учеников.

Творческие работы учеников, созданные в MS EXCEL (2006 год)

Компьютерная грамотность: создание и хранение документа, окна книг, работа с листами, переименование листов, операции с файлами книг, установление параметров страниц, ориентация страниц, введение и редактирование данных, введение формул, редактирование выделенного диапазона, форматирование диапазонов, использование формул, встроенные функции, вычисление формул, вставка примечаний, построение диаграмм и графиков, просмотр документов. Литература: В. Д. Руденко, О. М. Макарчик, М. О. Патланжоглу „Базовый курс информатики”.

- Графики функций.

- Создание банка функций с полным исследованием и изображением в разных системах координат (работа 1);

- Конспекты тем.

- Исследование поверхностей и объемов стереометрических фигур (работа 9, 11, 6).

- Вычисление логарифмических, показательных, тригонометрических и нестандартных примеров (работа 10).

- Образовательная траектория учеников.

Творческие работы, созданные в MS PowerPoint (2006 год)

Компьютерная грамотность: создание и хранение презентации, шаблоны, режим слайда, структуры, страницы, введение текста, редактирование, форматирование, создание анимаций, показ слайдов, вставка рисунков, проверка орфографии, просмотр презентации.

- Презентации по математике.

- Учебные презентации: работа в среде WS WORD, работа в среде WS EXCEL, работа в среде MS PowerPoint (работа 8).

- Электронные пособия: „Стереометрия”, „Логарифмы”, „Тригонометрия”, „Математика Золотого Сечения” (работа 7).

Приоритетом такого обучения есть творческое и информационное развитие учителя и ученика. В результате нашего исследования разработана квалиметрическая модель оценки творческих и исследовательских работ учеников, выполненных с использованием компьютерных технологий.

4. Оценивание творческих и исследовательских работ учеников выполненных с использованием компьютерных технологий

1 вариант (творческие работы)

(=a + b+ c a - информационная ценность и математическая грамотность (1- 4 балла); b - графическое оформление(1- 3 балла); с - творческая ценность (1- 3 балла).

max = 10 балл.

2 вариант (творческие работы в нескольких вариациях)

( =( ai +( bi+( ci

( ai – сумма баллов за информационную ценность;

( bi – сумма баллов за графическое оформление;

( ci - сумма баллов за творческую ценность (i-кол-во вариаций, і=1,2, 3) max=12балл.

3 вариант (исследовательские работы в нескольких вариациях)

( = ( aij + ( bij+ ( cij+ ( dij (i = 1 n, j = 1 3)

( aij – сумма баллов за информационную и математическую грамотность;

( bij – сумма баллов за графическое оформление;

( cij - сумма баллов за творческую ценность;

( dij - сумма баллов за исследовательскую ценность.

і - номер задачи; j - подпункт задачи; max = 12 балл. +12 балл.

В результате суммирования баллов относительно проявления творческих и исследовательских способностей получаем интегральную оценку творчества и научного исследования.

5. Создание педагогической модели использования компьютерных технологий при изучении математики

Модель - это искусственно созданный объект в виде схемы, который отображает свойства, взаимосвязи и отношения между элементами этого объекта. В педагогике моделируют как содержание, так и учебную деятельность. Педагоги строят педагогические модели как аппарат для преподавания учебных дисциплин.

Общие положения педагогического моделирования: описание предмета исследования, постановка задач моделирования, конструирование модели с уточнением взаимосвязей и отношений между элементами объекта исследования, применение модели в эксперименте, содержательная интерпретация результатов моделирования.

Наше педагогическое моделирование - это создание авторской модели дающей представление о том, каким должен быть процесс обучения математики в 10-11 классах с использованием информационных технологий.

6 Определение уровней творчества

После того, как учащиеся самостоятельно начали создавать обучающие презентации, возникла необходимость определения уровней творчества при работе с компьютерными программами.

I уровень. После детального объяснения учителем основных моментов работы в компьютерной программе учащиеся выполняют математические эксперименты. Проводят исследования. Делают выводы. Составляют краткие и полные конспекты изученных тем по математике.

II уровень. Учащиеся с помощью обучающих презентаций учатся работать в новых компьютерных программах. Проводят математические эксперименты, исследования, сами составляют задания математических экспериментов. Создают творческие презентации по определенным темам математики.

III уровень. Учащиеся сами исследуют новую компьютерную программу. Самостоятельно определяют правила работы в ней. Проводят эксперименты, делают выводы. Создают обучающие презентации по изучению отдельных тем математики и по работе в определенной компьютерной программе.

8. Выводы

Материалы исследования используются учениками и педагогами школы № 6 города Дружковки, Донецкой области в 10-11 классах.

Педагогическая модель процесса использования информационных технологий была рассмотрена и признанная научной на заседании областной творческой группы учителей математики по теме „Использование компьютерных технологий при изучении математики” (город Донецк, 6 декабря 2006г. ). Фрагменты учебного электронного пособия были использованы на курсах повышения квалификации учителей математики (город Донецк, Донецкий областной институт последипломного педагогического образования, ноябрь, 2006). Творческие работы „Виртуальной математической энциклопедии – XXI” расположены на сайте Министерства образования Украины и рекомендованы для внедрения в работу общеобразовательных школ, лицеев, гимназий http://www. itcomp. edu-ua. net/www. itcomp. edu-ua. net.

Полученные в результате исследования материалы учебного электронного пособия могут быть использованы педагогами, студентами и учениками старших классов для повышения фундаментальности математического образования и развития творческих способностей, а также преподавателями курсов последипломного образования. Следует отметить, что подобную работу следует начинать из Философии Успеха, с перспективной точки зрения на ученика:

- Успех приходит к тому, кто мыслит категориями успеха. Поражение сопутствует тем, кто мыслит категориями поражения.

- Как скрипач заставляет прекрасную музыку звучать со струн скрипки, так и вы можете разбудить ваш гений, всего лишь дремлющий в ваших умственных способностях, и заставить его привести вас к цели, которую вы для себя наметили.

- Все в вас самих. И невозможное - возможно!