Конструирование моделей многогранников

Соприкосновение, скажем, с математикой как творчес- кой деятельностью имеет большое значение для разви- тия творчества вообще

(Колмогоров А. Н. )

Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей сознательной деятельности – от двухлетнего ребенка, играющего деревянными кубиками, до зрелого математика. Некоторые из правильных и полуправильных тел встречаются в природе в виде кристаллов, другие в виде вирусов. Пчелы строили шестиугольные соты за долго до появления человека, а в истории цивилизации многогранных тел (подобных пирамидам) наряду с другими видами пластических искусств уходит в глубь веков. Но наряду с этим существует большое количество многогранников, которые еще очень мало изучены или вообще не рассматривались.

На протяжении многих лет математики интересовались телами Платона и Архимеда, рассмотрены модели их объединений и их свойства. И мало кому известно, что с помощью этих хорошо известных многогранников можно получить новые многогранники - их звездчатые формы. Поэтому объектом моего изучения выбраны звездчатые формы многогранников.

Цель статьи – рассмотреть наиболее простой способ для изготовления довольно сложных разверток звездчатых форм многогранников и с помощью него найти новую звездчатую форму. Объяснения проиллюстрированы чертежами, хотя и чертежи не смогут передать всю красоту и великолепие моделей. Надеемся, что Вам самим захочется сконструировать какую-нибудь модель многогранника, тогда не трудно будет понять, почему меня заинтересовала эта тема.

Исходя из целей исследования, были поставлены следующие задачи:

− проанализировать научную литературу;

− разработать методические рекомендации для построения моделей многогранников;

− рассмотреть способ конструирования звездчатых форм многогранников с помощью эпюр.

Рассматривая многогранные формы, обнаруживаются приложения, имеющие серьезное прикладное значение. Можно найти множество примеров, позволяющих судить о применении многогранников в архитектуре и строительстве, особенно, если обратить внимание на конструкции сложных «геодезических» куполов и перекрытий. Впрочем, многие из рассказанных мною многогранников ранее никогда не использовались. Видимо, это объясняется тем, что они мало кому известны. Но главное, мне хотелось понять устройство многогранников, а для этого следует определить, как они выглядят «с лица».

Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения.

В первой главе изложен теоретический материал о многогранниках.

Во второй главе описаны основные правила моделирования, рассмотрено конструирование 3-х наиболее известных групп многогранников: тела Платона, Архимеда, Кеплера - Пуансо.

Третья глава работы посвящена способу получения звездчатых форм многогранников с помощью эпюр: получение эпюр и построение по ним разверток. А также описано получение новой звездчатой формы многогранника, являющегося объединением двух икосаэдров, и способ классификации звездчатых форм.

В приложении содержатся изображения моделей многогранников, их трафареты и развертки, эпюры, чертежи, необходимые для прочтения данной работы.

Чему же сможет научиться читатель, внимательно изучивший данную работу или даже попытавшийся самостоятельно изготовить те или иные описанные модели? Прежде всего, моя работа будет способствовать развитию его «пространственного видения». Но гораздо более важным кажется мне то, что читатель научится многосторонне воспринимать имеющую огромное общеобразовательное значение идею симметрии – и это не зависимо от того, знаком он с математическим определением симметрии или нет. Кроме того, читатель научится распознавать (и создавать) ту «холодную» красоту многогранных форм, которую с известным основанием можно рассматривать как «прообраз» красоты вообще.

Теория многогранников

Исторические сведения

Моя работа посвящена разделу геометрии - теории многогранников. Чем же привлекательны многогранники?

С одной стороны, они имеют тысячелетнюю историю. Впервые упоминания о многогранниках известны еще у египтян и вявилонян за 3000 лет до н. э. В то же время теория многогранников - современный раздел математики.

Теория многогранников тесно связана с другими разделами современной математики: топологией, теорией графов. Она имеет большое значение не только для теоретических исследований по геометрии, но и для практических приложений в других разделах математики, например в алгебре, теории чисел, в естествознании, в бурно развивающихся в последние десятилетия в областях прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления.

Многогранники интересны и сами по себе. Они выделяются необычными свойствами. Многогранники имеют красивые формы, например правильные, полуправильные и звездчатые многогранники. Они обладают богатой историей, и я хочу предложить вам небольшой исторический очерк, имена тех людей, которые стали основателями теории многогранников. Итак, с чего же все начиналось?

Геометрия как теоретическая наука стала складываться в Древней Греции в период с VII по III век до н. э. Известны, правда, и более ранние сведения о геометрии, в частности о многогранниках, но это были отдельные разрозненные факты. Так, например, многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды и самую известную из них пирамиду Хеопса.

В Древней Греции основную роль сыграли так называемые философские школы Фалеса, Пифагора, Платона, Александрийская и другие. Фалес (635 - 548 года до н. э. ) из Милета определил высоту предмета по его тени, пользуясь тем, что ему было известно, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами. Он измерял высоту пирамиды, "наблюдая тень пирамиды в тот момент, когда наша тень имеет такую же длину, как и мы сами". Фалес измерял высоту пирамиды, считая, что отношение длины вертикально поставленной палки к длине ее тени равно отношению высоты пирамиды к длине ее тени. Этим Фалесу приписывается теорема о том, что равноугольные треугольники имеют пропорциональные стороны.

Ведущая роль в развитии математики следующего периода принадлежит Пифагору (570 - 470 года до н. э. ).

Пифагорейцы занимались изучением правильных многогранников. Даже отличительным знаком их братства был правильный звездчатый пятиугольник. Именно школе Пифагора приписывают открытие существования пяти типов правильных многогранников, которые использовались для философских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия: огонь, земля, воздух, вода - имеют форму правильных многогранников, соответственно правильного тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму правильного додекаэдра имела вся вселенная.

Другой знаменитой философской школой была школа Платона (V-IV века до н. э. ). Ее основатель - Платон не был математиком и не получил никаких результатов в этой науке, но в своих многочисленных произведениях любил говорить о математике. В частности, в трактате "Тимей" он изложил учение пифагорейцев о правильных многогранниках, которые именно по этому стали называться Платоновыми телами.

Более поздняя школа - Александрийская. В 334 году до н. э. Александр Македонский начал завоевание Персии. После его смерти в 323 году до н. э. весь Ближний Восток был в руках греков. Началась эпоха эллинизма, которая дала миру трех знаменитых ученых: Евклида, Архимеда, Аполлония.

К сожалению, сведения о жизни Евклида не дошли до нас. Известно только, что жил он около 300 года до н. э. что расцвет его творчества приходится на александрийский период развития эллинской культуры и науки. Евклид является центральной фигурой этого периода, а вместе с тем и всей древнегреческой математической науки. Из работ, написанных Евклидом, главным произведением является "Начала". Оно состоит из 13-ти книг. Из них книги I-VI посвящены планиметрии, книги VII-IX - арифметике, книга X -несоизмеримым величинам. Книги XI-XII посвящены стереометрии. В них излагаются начала стереометрии, определяются отношением площадей кругов, объемов пирамид и других тел, излагается теория правильных выпуклых многогранников. Книга XIII посвящена теории правильных многогранников.

Кроме Евклида крупным ученым эпохи эллинизма был Архимед (287 - 212 до н. э. ), живший в Сиракузах, где он был советником царя Герона. Архимед был уникальным ученым - механиком, физиком, математиком. Основной чертой его творчества было единство теории и практики, что делает изучение его труда интересным для ученых многих специальностей.

Наиболее существенный вклад Архимед внес все же в математику. Ему принадлежат теоремы о площадях плоских фигур, объемах тел. Вслед за Евклидом Архимед занимался изучением правильных многогранников. Убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноименные многоугольники, и в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число ребер. Получились так называемые равноугольные полуправильные многогранники. До нас дошла работа самого ученого, которая называется "О многогранниках", подробно описывающая 13-ть таких многогранников, получивших название тела Архимеда. Архимед, по выражению современников, был околдован геометрией, и, хотя у него было много прекрасных открытий, он просил на своей могиле начертить цилиндр и содержавшийся в нем шар и указать соотношение между объемами этих тел. Позже именно по памятнику с этим изображением и была найдена могила великого ученого.

Итак, к началу нашей эры ученые древности положили достаточно сведений по теории многогранников. Они описали комбинаторные свойства (связанные с количеством граней, вершин, ребер) основных простейших выпуклых многогранников, знали метрические свойства этих многогранников, в том числе умели вычислять объем пирамиды, применяя метод исчерпывания, использовали многогранники в строительстве и архитектуре.

Чтобы приступать к рассмотрению многогранников нам необходимо дать точное их определение:

Многогранником называется тело, граница которого является объединением конечного числа многоугольников.

Многогранник будет выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждой своей грани.

Следующие пункты этой главы я хочу посвятить правильным многогранникам, телам Архимеда и Кеплера - Пуансо и некоторым их звездчатым формам.

Правильные многогранники

В средние века учение о правильных многогранниках возродил в своих трудах знаменитый Иоган Кеплер (1571 - 1630). Еще в молодые годы Кеплером овладевала идея поиска симметрии или гармонии мира. В первой же работе "Тайна мироздания"(1597) Кеплер, опираясь на геометрию, решил вывести число орбит, их относительные размеры и характер движения планет, т. е. проникнуть в замысел самого творца. Эта работа принесла Кеплеру большой успех и широкую известность. В ней ученый вывел свой геометрический принцип, по которому с помощью пяти правильных Платоновых тел объединяет число известных тогда планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн) и относительные размеры их орбит. Геометрия солнечной системы, по Кеплеру, заключалась в следующем построении:

"Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг нее опишем додекаэдр. Описанная вокруг него сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. Сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия.

Эти идеи Кеплер развил в более позднем своем пятитомном труде "Гармония мира", первый вариант которой, был закончен в 1618 году. Модель получила название "космический кубок".

Весьма важно понятие выпуклого многогранника. Наряду с выпуклыми многогранниками мы наблюдаем модели невыпуклых многогранников, только в результате такого сравнения можно выработать правильное представление о выпуклых многогранниках. Здесь полезно использовать аналогию с выпуклыми многоугольниками на плоскости.

В приложении на рисунках 1-5 показаны все пять видов правильных многогранников, самый простой - тетраэдр, куб, или гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Так тетраэдр имеет четыре грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань, вот и получается четырехгранник - тетраэдр. Гексаэдр (куб) имеет шесть граней, "гекса" - шесть, октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь, додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать, наконец, икосаэдр имеет двадцать граней, "икоси" - двадцать.

Какой многогранник называется правильным?

Выпуклый многогранник называется правильным, если его грани являются правильные многоугольники с одним и тем же число сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.

Тела Архимеда

Мы рассмотрели тела Платона. У правильных многогранников все грани - одноименные, правильные равные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых грани правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого типа называются полуправильными многогранниками. Впервые многогранники такого типа открыл и описал Архимед. Им подробно описаны 13-ть многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. Перечислим их.

Первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией "усечения", которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника. Если отрезать углы правильного тетраэдра плоскостями, каждая из которых отрезает третью часть его ребра, выходящих из одной вершины, то получится усеченный тетраэдр, который имеет восемь граней. Если указанным способом срезать вершины октаэдра, икосаэдра, куба, додекаэдра, то получим усеченный октаэдр, усеченный икосаэдр, усеченный куб и усеченный додекаэдр. Только для куба и додекаэдра отсекающие плоскости проходят не через треть ребра.

Если теперь в кубе провести плоскости через середины ребер, выходящих из одной вершины получим еще один - шестой равноугольно полуправильный многогранник - кубооктаэдр. Аналогичную операцию делают с додекаэдром, получается многогранник, который называется икосододекаэдр. К этим двум последним многогранникам тоже можно применять операцию "усечения" вершин. Получим усеченный кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр.

Я рассмотрела девять из тринадцати описанных Архимедом тел, четыре из оставшихся - многогранники более сложного типа. Перечислим их: ромбокубооктаэдр, ромбоикосаэдр, "плосконосый" куб ("курносый"), "плосконосый" додекаэдр.

В трактате "О многогранниках" Архимед подробно описал каждый полуправильный многогранник, дал его рисунки, а также поставил и решил задачу о количестве телесных углов и ребер каждого многогранника.

Интересно отметить, что на протяжении более двух тысяч лет со времен Архимеда считалось, что полуправильных многогранников тринадцать. Но совсем недавно, в середине нашего столетия, был открыт еще один равноугольно полуправильный многогранник. Он получается из ромбокубооктаэдра поворотом верхней "восьмиугольной чаши" на 45 градусов. Иногда его называют "многогранник Ашкинузе" в честь одного из первооткрывателей этого нового типа многогранника - отечественного ученого В. Г. Ашкинузе.

Тела Кеплера-Пуансо и другие звездчатые формы

Кроме полуправильных многогранников из правильных многогранников можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники. Их всего четыре. Первые два открыты Кеплером, а два других были построены почти двести лет спустя французским математиком и механиком, профессором Политехнической школы Луи Пуансо. Именно по этому правильные звездчатые многогранники получили название тел Кеплера-Пуансо. Итак, что же они из себя представляют?

В работе "О многоугольниках и многогранниках" (1810) Луи Пуансо перечислил и описал все правильный звездчатые многогранники, поставил, но не решил вопрос о существовании правильных многогранников, число граней отлично от 4, 6, 8, 12, 20. Ответ на этот вопрос был дан год спустя, в 1811 году французским математиком Огюстом Луи Коши (1789-1857) в работе "Исследования о многогранниках". В ней доказывается, что не существует других правильных многогранников, кроме перечисленных Пуансо. Автор приходит к выводу, что правильные звездчатые многогранники получаются из выпуклых правильных многогранников путем продолжения их граней или ребер. Исследуя вопрос, из каких именно правильных многогранников могут быть получены правильные звездчатые многогранники, делается вывод о том, что тетраэдр, куб и октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр одну. Рассмотрим этот вопрос.

Возьмем правильные многогранники и продолжим их ребра или несмежные грани до самопересечения. Естественно не приведет к цели продолжение ребер треугольных граней и параллельных ребер и граней. Таким образом, из тетраэдра, у которого все грани треугольные и смежные, у октаэдра - у него все грани треугольные, несмежные грани параллельны, куба - у него все несмежные грани и ребра параллельны - не получится звездчатых правильных многогранников.

Рассмотрим додекаэдр. Продолжение его ребер приведет к замене каждой грани звездчатым правильным пятиугольником. Получим многогранник, который называется малым звездчатым додекаэдром. При продолжении граней правильного додекаэдра (каждая грань продолжается до пересечения с пятью несмежными и непараллельными ей гранями). Возникают две возможности. Во-первых, можно рассмотреть правильные выпуклые пятиугольники. Получим многогранник, который называется большой додекаэдр. Во-вторых, в качестве граней можно рассмотреть звездчатые пятиугольники. Получим многогранник, который называется большой звездчатый додекаэдр. Таким образом, правильный додекаэдр имеет три типа правильных звездчатых многогранников.

Рассмотрим теперь правильный икосаэдр. Так как гранями правильного икосаэдра являются треугольники, то продолжение ребер не даст нового многогранника. При продолжении граней правильного икосаэдра имеется первый случай, приводящий к многограннику, который называется большой икосаэдр. При этом каждая грань правильного икосаэдра продляется до пересечения с тремя гранями, смежными с параллельной ей гранью.

Таким образом, существуют четыре правильных звездчатых многогранника. Еще раз напомню, что они так же называются телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника: большой звездчатый додекаэдр, большой икосаэдр.

В приложении на рисунке 26 изображен многогранник, названный звездчатым октаэдром или "продолженным октаэдром", который был открыт Леонардо да Винчи, затем спустя почти сто лет, в 1619 году, был переоткрыт И. Кеплером и назван им "Stella Octangula" - звезда восьмиугольная. Этот многогранник, который встречается в природе в виде сросшегося кристалла, можно представить как объединение двух пересекающихся равных правильных тетраэдров. Его легко получить из куба, т. к. вершины этого многогранника образуют куб.

Надо полагать, теперь вы достаточно точно уяснили процесс, посредством которого получаются звездчатые формы многогранников. Некоторые из них суть соединения нескольких тел.

Икосаэдр имеет двадцать граней. Если любую из них продолжить неограниченно, то тело будет окружено великим многообразием отсеков - частей пространства, ограниченных плоскостями граней. Вы, конечно, можете попытаться их представить, но, скорее всего, потерпите неудачу. Все звездчатые формы икосаэдра можно получить добавлением к исходному телу таких отсеков.

Среди звездчатых форм икосаэдра встречаются некоторые соединения Платоновых тел. Среди них соединение пяти октаэдров и соединение десяти тетраэдров. Если бы Платон мог видеть эти формы, они привели бы его в восхищение.

А звездчатые формы архимедовых тел не всегда так привлекательны на вид, что вызывает эстетическое наслаждение, хотя среди них можно найти некоторые многогранники, которые удовлетворят самому изысканному вкусу. Особый интерес вызывают заключительные звездчатые формы.

Моделирование многогранников

Общие сведения о моделировании

Первое, чему Вы должны научиться, прежде чем строить модели многогранников, это точно и аккуратно вычерчивать нужные Вам части. Для выпуклых многогранников ими будут только правильные многоугольники с 3,4,5,6,8 и 10 сторонами. Но следует помнить: у выпуклых однородных многогранников все ребра имеют одну и ту же длину. Следовательно, все многоугольники, образующие один многогранник, должны иметь стороны одной длины. А, как легко заметить из чертежей, правильный десятиугольник (декагон), например, значительно больше правильного треугольника с такой же стороной. Это надо всегда иметь в виду при построении моделей и соответственно этому выбирать подходящий масштаб.

После того как Вы со всеми предосторожностями сделаете чертежи требуемых частей, лучше всего приготовить трафареты. Для этого наложите чертеж на лист картона или плотной бумаги и проколите оба листа в вершинах многоугольника тонким шилом (или любой достаточно тонкой и острой иглой). После этого соедините по линейке полученные проколы, воспользовавшись тонким карандашом. Аккуратно и ровно вырежьте ножницами трафарет, оставляя поля, отстающие от карандашной линии примерно на 0,5 см. Итак, трафарет готов.

Теперь уже не составит труда изготовить столько его копий, сколько вам требуется. Для этого нужно наложить трафарет на стопку листов картона (лучше эти листы предварительно закрепить скрепками). Не следует брать сразу больше шести листов. При этом, если, например, вы хотите изготовить одинаковое число фигур различных расцветок, имеет смысл сразу же соединять разноцветные листы. После этого вы снова прокалываете вершины многоугольников, пользуясь трафаретом. Обведите его карандашом и затем уберите или же перенесите на чистый лист. Таким образом, вы сделаете столько проколов, сколько сочтете нужным.

Следующий ваш шаг – нарезать стопку картона по только что нанесенной обводке. Обязательно проследите, чтобы листы картона были надежно соединены скрепками. Обычно при такой нарезке листы слегка прогибаются, и разрез сдвигается, но пусть это вас не пугает – оставленные поля дают достаточный запас. Впрочем, после того как заготовки нарезаны, их не сложно подровнять, подрезав края каждой из них в отдельности. Теперь каким – нибудь острым инструментом нанесите тонкие бороздки по сторонам многоугольника. При этом не забывайте пользоваться угольником или линейкой.

Итак, вы проводите прямые бороздки, которые соединяют проколотые точки. После этого уже нет нужды размечать линии карандашом – границы достаточно заметны. Теперь можно подравнять ножницами края заготовки. Каждую из них лучше обработать в отдельности. Срежьте уголки заготовок так, чтобы разрез проходил точно через прокол. После этого наши поля превратились в наклейки, и их следует отогнуть. Проведенные бороздки позволяют это сделать легко и точно. При помощи наклеек заготовки склеиваются друг с другом. Помните основное правило: для склеивания надо оставлять как можно больше места и резать столько, сколько необходимо, чтобы наклейки не мешали одна другой и граням вблизи вершин.

Можете воспользоваться любым клеем, лишь бы он не коробил заготовки. Процедура склеивания чрезвычайно проста: вы наносите клей на одну из наклеек, после чего прижимаете наклейки друг к другу и немного их двигайте, чтобы клей равномерно распределился по поверхностям. Заготовкам следует придать правильное положение, дожидаясь, пока клей подсохнет. В вашей работе время от времени надо пользоваться пинцетами; они особенно полезны при завершении работы, когда модель приобретает окончательную форму. Хорошо также иметь зажимы; они нужны для сложных моделей. Зажимы легко изготовить из пружины, между витками которой помещаются склеиваемые поверхности.

На собственном опыте вы вскоре убедитесь, что способ изготовления моделей склеиванием отдельных граней, который мы предлагаем, позволяет получить на редкость жесткие конструкции. Это объясняется тем, что наклейки, оставляемые нами на каждой грани, служат дополнительными ребрами, придающими жесткость каждому ребру модели. Вот почему лучше следовать нашему правилу и оставлять наклейки с каждой стороны любой заготовки. Конечно, возможны иногда отступления, но лишь в крайних случаях, в частности, при изготовлении сложных моделей. Но для некоторых моделей лучше использовать не трафареты, а развертки. Если многогранную поверхность после проведения нескольких разрезов удалось развернуть на плоскость, то получается развертка многогранника - плоский многоугольник. Обычно разрезы проводят по ребрам многогранника, и поэтому развертка состоит из многоугольников - граней многогранника.

Первыми будут рассмотрены выпуклые однородные многогранники. Их модели проще всего изготовить, и вы, полагаю, согласитесь, что с них и лучше всего начинать.

В приводимых ниже инструкциях часто употребляется слово «заготовка». Применительно к этой работе оно означает часть или набор частей, из которых склеивается модель конструкции. В описания будет также встречаться и «вершинная фигура (часть)» соответствующего многогранника: она содержит информацию о порядке, в котором следуют грани многогранника, сходящиеся в одной вершине. Вершинную фигуру можно рассматривать как основание пирамиды с боковыми ребрами единичной длины, сходящимися в данной вершине многогранника. Каждый однородный многогранник задается своей вершинной фигурой.

Моделирование выпуклых однородных многогранников

Правильные многогранники

Простейшим среди многогранников является тетраэдр. Он обладает многими свойствами, характерными для однородных многогранников. Модель тетраэдра можно сделать, пользуясь одной разверткой, на которой будут расположены все четыре треугольные грани.

Для модели октаэдра развертка состоит из восьми треугольников, каждая вершина образуется четырьмя из них.

Постройку модели куба вы можете выполнить при помощи развертки, состоящей из шести квадратов. Возможно, что в своей простоте куб не самый привлекательный многогранник. Но он обладает несколькими удивительными свойствами в отношении других платоновых и некоторых архимедовых тел.

Для моделирования модели икосаэдра, можете воспользоваться разверткой икосаэдра показанной в приложении на рисунке 30.

Модель додекаэдра изготавливается из 12-ти пятиугольников, причем в каждой вершине сходится три грани. Полная развертка додекаэдра изображена на рисунке 31 в приложении.

Полуправильные многогранники (тела Архимеда).

Были рассмотрены указания к построению моделей пяти платоновых тел. Теперь я разберу построение 13-ти архимедовых тел. Развертки этих многогранников вы можете посмотреть на рисунках 32 - 44 в приложении. Сборка моделей, полученных путем усечения, похожа техникой на склеивание разверток соответствующих правильных многогранников. Остальные модели конструируются либо сборкой отдельных симметричных частей (например икосододекаэдр), либо поочередным склеиванием граней.

Теперь рассмотрим более сложные модели: тела Кеплера – Пуансо.

Моделирование тел Кеплера – Пуансо

Малый звездчатый додекаэдр

В качестве трафарета вам необходим всего лишь равнобедренный треугольник с углами 72˚, 72˚ и 36˚. Такой треугольник образует любой луч пятиконечной звезды – пентаграммы. Пять склеенных треугольников образуют часть модели, примыкающую к любой вершине.

Я рекомендую подклеивать не отдельные треугольники, а сразу же заранее заготовленные пятиугольные пирамиды одна к одной. Назовем такую пирамиду верхушкой. К одной из пирамид приклейте к «основанию» еще пять пирамид. Далее принцип склеивания аналогичен построению модели додекаэдра.

Большой додекаэдр

Этот многогранник составлен из 12 пересекающихся пятиугольных граней. Для этой модели нужен трафарет в виде равнобедренного треугольника с углами 36, 36 и 108. Проще всего соединить заготовки между собой таким образом, чтобы получить двадцать треугольных пирамид (вершинами вниз ! ), а затем склеить пирамиды вместе способом, напоминающим склеивание 20 треугольников, образующих икосаэдр.

Большой звездчатый додекаэдр

Это последняя звездчатая форма правильного додекаэдра. В качестве заготовок вам потребуются равнобедренные треугольники с углами 36, 72 и 72 – лучи пятиконечной звезды. Эти треугольники склеиваются сначала в треугольные пирамиды, а затем, как и предыдущую модель, склеивают по принципу сборки икосаэдра.

Пожалуй, самым красивым и декоративным многогранником, из описанных выше, является большой икосаэдр. Его вершины представляют собой центры правильных пятиугольных звезд, выступающих из тела многогранника.

Сделать модель большого икосаэдра нетрудно. Заготовка для нее очень проста, и, если следовать предлагаемому методу построения, модель окажется очень прочной и жесткой, хотя и полой внутри. Каждая часть составляет своеобразный веер. Его следует перегнуть на манер гармошки так, чтобы вниз опускались внутренние ребра каждой пары, а соседние ребра разных пар приподнялись. Склеив свободные ребра, получается вершинная часть модели. После этого малые равнобедренные треугольники подклеиваются на свои места, так, что образуется пятиугольная впадина, их которых и вырастает вершинная часть. Вам потребуется всего 12 таких частей. Эти части соединяются по принципу сборки. Соединения отдельных частей выполняются последовательно, склеивая ребра друг за другом. Правильно выполненная модель большого икосаэдра удивительно красива.

Как уже говорилось, рассмотренные выше 4 модели являются телами Кеплера – Пуансо. Еще я хочу рассказать о построении модели звездчатого октаэдра ( stella octangula Кеплера ), которая является соединением двух тел Платона – тетраэдров.

Звездчатый октаэдр

Для изготовления этой модели вам потребуются заготовки лишь одного типа – одинаковые равносторонние треугольники, которые склеивают в треугольные пирамиды без основания. Они подклеиваются друг к другу таким образом, чтобы отсутствующие нижние основания образовывали октаэдр. Не смотря на простоту модель весьма эффектна.

Итак, в этой главе работы вы ознакомились с основными правилами конструирования моделей. 2 параграф очень важен для тех, кто на практике хочет использовать данный материал. Для этого лучше всего начать работу с моделирования правильных многогранников, тел Архимеда, и только после этого переходить на более сложные модели - звездчатые формы. В следующей главе будет подробно рассказано о составлении разверток для звездчатых форм многогранников с помощью эпюр. Но советую не заниматься эпюрами, не опробовав материал данной главы на практике.

Конструирование по эпюрам

Эпюра. Основные приемы построения эпюры

В приложении на рисунке 50 воспроизведены чертежи (эпюра), с помощью которых можно строить модели различных многогранников, в частности звездчатых. Прежде, чем начать конструирование модели, вам необходимо будет ознакомиться с построением эпюр.

Как же строить эпюры? Делается это с помощью равногранно полуправильных многогранников. Такие многогранники замечательны тем, что все их грани равноправны: для любых двух граней такого многогранника можно указать такое перемещение пространства, при котором многогранник перейдет в себя, а первая грань перейдет во вторую. Также эпюры можно получить из тел Платона и Архимеда (простые по сложности) и их объединений (более сложные). Принцип построения эпюр для всех многогранников одинаков.

Возьмем любой такой многогранник и рассмотрим плоскости всех его граней. Зафиксируем одну из этих плоскостей (назовем ее П - полюс). В ней остальными плоскостями «высекается» система прямых линий. Точно такие же системы образуются и в остальных плоскостях. Рассмотрим теперь некоторую прямую l системы. Она является пересечением плоскости П и плоскости еще одной грани. При повороте, переводящем эту плоскость в плоскость П, прямая перейдет в некоторую прямую плоскости П. Оказывается, прямая получается из прямой либо поворотом (в плоскости П) относительно их общей точки, либо параллельным переносом. Остается нанести на чертеж точки поворотов с соответствующими дужками и стрелочки для параллельных переносов.

В высшей степени интересен трафарет, используемый для конструирования заготовок звездчатых форм икосаэдра.

Итак, вы увидели, к каким результатам приводит процесс продолжения граней. Характер самого процесса не меняется: по-прежнему грани исходного тела продолжаются неограниченно, отсекая от окружающего пространства новые, дополнительные части. Пользуясь этими отсеками, как строительными кирпичами, получаем возможность изготовить множество моделей – теоретически сколь угодно много. Посмотрим теперь, как строить трафареты для заготовок.

Тела Кеплера – Пуансо тоже получаются продолжением граней и ребер икосаэдра и додекаэдра, поэтому их развертки можно построить с помощью эпюры.

Обратясь к додекаэдру, мы увидим, что его 12 граней породят трафарет, состоящий из пяти пар параллельных прямых. Если на этот чертеж положить модель додекаэдра так, чтобы одна из его граней совпадала с центральным маленьким пятиугольником, и смотреть вдоль остальных граней тела, то видно, что продолжение этих граней упираются как раз в линии, указываемые чертежом. В случае икосаэдра получается аналогичный результат. 20 его граней порождают трафарет из девяти пар параллельных прямых. О нем было уже сказано выше.

Являются ли эти многогранники однородными? Видимо, нет. Иногда можно отметить поразительное сходство между этими моделями и моделями однородных многогранников, но все же ни один из многогранников, о которых мы говорим, не удовлетворяет определению однородности.

Построение разверток по эпюрам

А теперь непосредственно рассмотрим приемы построения разверток по эпюрам.

Возьмем небольшой лист кальки; на нем и будет нарисована развертка одного из многогранников.

Первый шаг состоит в выборе начальной грани на одном из эпюров. Перенесем этот многоугольник на кальку и оставим ее на рисунке в том же положении.

Рассмотрим одну из вершин грани, скажем. Число граней нашего многогранника, примыкающих к этой вершине, будет равно числу прямых, проходящих через нее на эпюре, увеличенному на один. Как построить четыре грани?

Если вершина является полюсом, то есть около нее на эпюре нарисованы черные дужки, нужно воткнуть циркуль в эту вершину, повернуть кальку на угол, указанный меньшей из дужек, и перенести на кальку очертания той же грани в новом положении. Так у нас получится вторая грань, примыкающая к первой. Выполнив еще необходимое число поворотов на тот же угол, я получу остальные грани, примыкающие к полюсу.

Если вершина не является полюсом, количество примыкающих к ней граней определяется также числом проходящих через нее прямых, увеличенное на 1. В этом случае дужки ищут на продолжении взятого ребра, и выполняют поворот относительно найденного полюса.

Если на ребре нет полюсов, дальнейшее построение в таких случаях нужно продолжить на другом эпюре (когда построены эпюры для многогранников с разными гранями). Чтобы найти место, куда следует приложить кальку, ищется значок параллельного переноса. Найдите этот же значок на другой эпюре, приложите ребро вдоль какой-нибудь прямой, помеченной им, и двигайте вдоль нее кальку, пока к грани не примкнет грань, равная ей. Такое совмещение может получиться не сразу - прямых со знаком на рисунке несколько, нужную вы найдете методом проб и ошибок. Дальнейшие построения проводятся в таком же духе. При этом кальку приходится перебрасывать с одной эпюры на другую (если необходимо), пользуясь метрикой, но не бездумно (нужно помнить, что склеиваются ребра одной длины).

Рассказанные выше приемы построения разверток используются для всех эпюр. Разобравшись в методике построения разверток, вы можете перейти к практическому конструированию моделей в натуральную величину. Для этого следует перенести эпюр или эпюры в увеличенном масштабе на ватман. Затем возьмите большой лист кальки, выбирайте начальную грань и действуйте.

Примеры построения звездчатых форм икосаэдра

Вторая звездчатая форма икосаэдра

На этой очень красивой модели заметны пятигранные высокие пики, выступающие из впадин модели соединения десяти тетраэдров. В приложении на рисунке 54 показаны трафареты на эпюре для заготовок. Используя дужки, вы легко сможете найти совпадающие грани. Для удобства я предлагаю вам воспользоваться развертками на рисунке 55. На нем показана одна пятиугольная пика. Два малых треугольника внизу, отогнутые и склеенные вместе, образуют небольшой желобок. Пять таких заготовок склеиваются в пирамидальный пик, от основания которого отходят пять желобков. Другая заготовка состоит из четырех треугольников. Она является связующим звеном между разными пиками и подклеивается между желобками.

Шестая звездчатая форма икосаэдра

Показанные в приложении 57 части являются шаблонами модели звездчатой формы икосаэдра. На ней легко обнаружить 12 длинных пиков, выступающих из впадин. Построение модели можно начать с соединения в кольцо пяти малых заготовок. Затем к кольцу добавляется пик. Проденьте пик через отверстие в центре кольца и соедините нужные наклейки. Двенадцать таких частей соединяются, как при построении модели додекаэдра. Придется немного поломать голову, прежде чем выбрать правильное расположение частей. Эта простая и прочная модель достаточно декоративна.

Из этих примеров построения моделей вам уже наверно стало понятно, что их развертки легче и быстрее строить по эпюрам.

Пример построения новой звездчатой формы многогранника

В этом параграфе будет рассмотрено построение новой модели многогранника. Для этого используются эпюры, приведенные на рисунках 58,59. Эти эпюры получены с помощью многогранника, который является объединением двух икосаэдров. Будем рассматривать на эпюрах те грани, которые закрашены в желтый цвет. Используем правила построения разверток по эпюрам, приведенные в 2 параграфе этой главы.

Рассмотрим данные нам грани (для удобства я пронумеровала их). Благодаря симметрии данных эпюр можно заметить, что грань 1 симметрично равна грани 6, грань 2 равна грани 5, грань 3 равна грани 4. Аналогично грань 7 симметрично равна граням 9 и 11, а грань 8 равна граням 10 и 12. Таким образом, нам достаточно использовать пять граней.

Теперь необходимо выбрать начальную грань, ею будет грань 8. Не буду подробно описывать процесс нахождения смежных граней, так как об этом рассказано во 2 параграфе. После того как были рассмотрены все нужные грани, мы получим развертку, изображенную на рисунке 60. Стрелочками указаны места соединения граней. Но эта развертка не полная, так как мы не можем указать к какой грани и какому ребру на развертке присоединяются ребра AB, CD. Поэтому обратно возвращаемся к эпюрам. Рассматривая ребро СD, получаем симметричные построения, но теперь мы не знаем, к чему присоединяется ребро CE. Так как ребра AB и CE являются ребрами равных граней, то и присоединяться они будут к одинаковым граням. Получим развертку, изображенную на рисунке 62. Но ребра IF и KL не могут присоединяться друг к другу, поэтому, рассматривая ребро KL, получаем еще построения. Теперь ребро IF можно присоединить к ребру MK. Это означает, что наша развертка готова.

Таким образом, наш многогранник будет состоять из какого-то количества многогранно-сферических треугольников, которые получаются при склеивании развертки. При склеивании модели обнаруживаем, что таких треугольников восемь.

Классификация звездчатых форм

Полученной модели звездчатой формы многогранника необходимо дать свое название. Для этого придется провести классификацию всех звездчатых форм многогранника, которые можно получить с помощью эпюр, изображенных на рисунке (новая модель также получена с помощью этих эпюр).

Мы будем классифицировать модели по сложности разверток, из которых получаются звездчатые формы. Но по эпюрам видно, что можно проследить, каким образом происходит усложнение разверток. Вы наверно заметили, что для получения модели из граней красного цвета используется 4 вида граней; для модели желтого цвета - 5 видов граней; для модели коричневого цвета - 7 видов граней; для модели зеленого цвета - 9 видов граней; и так далее. Чем дальше мы продвигаемся, тем больше видов граней используется, таким образом, развертки становятся сложнее. Значит можно уже давать названия моделям, используя эпюры:

- красная модель из 4-х видов граней - 1-ая звездчатая форма многогранника, являющегося объединением двух икосаэдров.

- желтая модель из 5-ти видов граней - 2-ая звездчатая форма многогранника, являющегося объединением двух икосаэдров.

- коричневая модель из 7-и видов граней - 3-ья звездчатая форма многогранника, являющегося объединением двух икосаэдров.

- и так далее.

Таким образом, полученная в 4 параграфе этой главы новая модель звездчатой формы многогранника, являющегося объединением двух икосаэдров, получила название – 2-ая звездчатая форма многогранника, являющегося объединением двух икосаэдров.

В этой главе четко и ясно изложена теория построения моделей звездчатых форм многогранников. Выделены основные правила построения и использования эпюр, приведено достаточное количество примеров для иллюстрации теоретического материала. Но наибольший интерес, по-моему, должны были вызвать параграфы 4 и 5, так как с помощью технологии изготовления моделей звездчатых форм многогранников, описанной в этой главе, вы так же можете построить новые модели звездчатых многогранников и классифицировать их.

В данной работе представлены лишь некоторые многогранные образы. Здесь описаны наиболее известные группы многогранников, а так же их построение. Одна глава посвящена моделированию по эпюрам, так как меня заинтересовал этот способ построения разверток для моделей (он является наиболее точным и простым для получения трафаретов и разверток для моделей звездчатых форм многогранников).

Имея целью рассмотрение способа изготовления моделей звездчатых многогранников - эпюры, было сосредоточено внимание не на теоретической части работы, а на чертежах, расположенных в конце работы в приложении. Время, затрачиваемое на изготовление модели, в существенной степени зависит от характера модели (наиболее простые модели - модели выпуклых однородных многогранников - тела Платона и Архимеда). На собственном опыте я убедилась, что большинство времени уходит на заготовку трафаретов и разверток. Ну а процесс склеивания занимает не так уж много времени, если правильно подобраны бумага и клей.

Вы можете самостоятельно найти некоторые трафареты и развертки и, пользуясь описанной в данной работе технологией, построить новые модели многогранников: ведь помимо описанных мной многогранников, их великое множество. Конечно, целью научного исследования является не размножение все большего числа форм, а построение соответствующей теории, определяющей и классифицирующей различные формы. Но прежде чем развить новую теорию, необходимо изучить отдельные примеры. При таком подходе есть надежда уловить общие принципы, которые можно будет положить в основу теории.

По окончанию работы получены следующие результаты и выводы:

• подробно рассмотрена техника изготовления моделей;

• рассмотрен способ построения звездчатых форм многогранников с помощью эпюр;

• получена новая звездчатая форма многогранника, являющегося объединением двух икосаэдров;

• рассмотрен способ классификации новых звездчатых форм.

В завершении следует отметить, что зародившаяся еще в Древней Греции (а может быть, и того раньше) теория многогранников переживает период нового расцвета. Этот неожиданный «взрыв» интереса к древним многогранникам в значительной степени объясняется новыми применениями, которые получила теория (выпуклых) многогранников. Наряду с этим существенную роль сыграло здесь также типичное для современной математики «смещение акцентов» по сравнению с первой половиной прошедшего столетия. Новая волна интереса к правильным многогранникам и родственным им телам связана с той ролью, которую в современной науке играют соображения симметрии.