Геометрия как прообраз красоты мира

Наверное, многие из вас считают геометрию скучной, запутанной наукой, которую зачем-то преподают в школе. То, что геометрия неинтересный предмет – это миф. Я постараюсь развеять его и покажу геометрию совершенно с другой стороны, стороны искусства.

Геометрия одна из древнейших наук, разве ни геометрия помогла египтянам построить свои великие пирамиды, разве ни геометрия помогла вавилонянам воздвигнуть свои прекрасные дворцы? Конечно же, геометрия! И это только зарождение той геометрии, какую мы знаем.

Геометрия как наука определилась в Греции, куда позже постройки пирамид и дворцов. В греческой геометрии соединились знания и вавилонян, и египтян, и ассирийцев и т. д. , а так же был внесены новые понятия открытые греками.

Греческая и римская культуры тесно связанны с геометрией, именно, с ее помощью скульпторы, архитекторы, живописцы создавали свои гениальные творения. Все прекрасно знают, что такое принцип «золотого сечения». Принято считать, что объекты, содержащие в себе «золотое сечение», воспринимаются людьми как наиболее гармоничные. Вот почему греческие мастера использовали геометрию как основу красоты, так например, знаменитый Парфенон, построенный в Афинах, содержит в себе принцип «золотого сечения», так же золотая пропорция применима к статуе Аполлона Бельведерского и т. д. В музыкальных произведениях тоже существует «золотое сечение», большинство талантливых композиторов создали свои шедевры в правильном соотношении их продолжительности.

Геометрия своеобразна, и это своеобразие заключается в неразрывном, органическом соединении живого воображения со строгой логикой. Воображение принадлежит больше искусству, логика же – привилегия науки. Следовательно геометрия единственная наука, которую без труда можно отнести к искусству.

Закончить хочу словами Александра Сергеевича Пушкина: « Вдохновение нужно в геометрии, не меньше, чем в поэзии!»

Задачи, которые приводятся ниже, имеют красивые чертежи и прекрасное логическое решение, что еще раз доказывает, что геометрия – это прообраз красоты!

Луночки Гиппократа.

1) Построим следующий чертёж: луночка - это фигура, закрашенная красной штриховкой.

Докажем, что сумма площадей фигур, закрашенных красным, равна площади закрашенного зелёным квадрата.

Доказательство: где К - середина дуги АВ.

2) Построим аналогичный чертёж:

Докажем, что сумма площадей двух луночек равна площади треугольника.

Доказательство: c² = a² + b² Умножим на

Если от обеих частей (1) отбросить площадь точек S. , S. , то получится:

Сгруппируем в правой части:

Отсюда получается:

Арбелон (теорема Архимеда)

Арбелоном является фигура, закрашенная розовым цветом:

Построим следующий чертёж:

Докажем, что S арбелона = S круга, то есть площадь арбелона равна площади круга с диаметром х.

Доказательство:

Известно, что

В силу равенства (2)

2аb можно представить как:

Умножим обе части последнего равенства на.

При этом равенство не нарушается:

Sарбелона = Sкруга.

Салинон

Салиноном является фигура, закрашенная оранжевым цветом.

Построим такой чертёж:

Докажем, что площадь салинона равна площади круга с диаметром СD.

Доказательство:

Таким образом, Sсалинона= Sкруга (СD)

Кома - это фигура в виде запятой.

Построим такой чертёж:

Решим задачу:

Одним отрезком разделить кому на две равные части.

Решение:

ОС - искомый отрезок.

Существует много задач, в которых фигурируют луночки, арбелоны, салиноны. Вот несколько из них:

Строим чертёж:

Найдём площадь шести луночек.

Решение:

Итак, если из площади правильного шестиугольника вычесть площадь круга радиуса , то получится площадь шести луночек.

Подобная задача.

Диаметр окружности разделим на n равных частей, каждая из которых равна а. На отрезках а, 2а, 3а, , (n-1)а построены полуокружности (см. чертёж).

Доказать:

2. Равновеликость полученных полосок (криволинейных двуугольников).

3. Сумма длин малых окружностей равна длине исходной.

(Ответ: πаn)

Решение:

2. Площадь закрашенного кружка равна l большой окружности = 2πR = πan l малой окружности = πa l большой окружности = lмалой окр. + lмалой окр. + + n∙lмалой окр.

l большой окружности = nπa

Доказать без помощи тригонометрии, что если в треугольнике угол А=60°, то

Доказательство:

Делаем поворот треугольника на 60о и сдвигаем. Многогранник - правильный по построению (см. чертеж).

Даны три одинаковых правильных шестиугольника. Первый оставьте как есть, а второй и третий разбейте на шесть конгруэнтных частей каждый и сложите из них новый равносторонний, то есть правильный шестиугольник.

Решение:

Нарисовать какой-нибудь многоугольник и точку О внутри его так, чтобы ни одна сторона не была видна из неё полностью.

Решение: а)

“Колючая” линия Ван-дер Вардена

Построим последовательно следующие чертежи:

(рисунок 1)

(рисунок 2)

(рисунок 3)

(рисунок 4)

Длина Рn - возрастает, но каков предел этого возрастания?

Подсчитаем:

Ван-дер Варден построил линию на отрезке, которая ни в одной точке не имеет производную.