Фигуры, вычерчиваемые одним росчерком

В 1736 году великим математиком Леонардом Эйлером, была решена задача о кенигсбергских мостах. Он посвятил ей целое математическое исследование, в котором подчеркнул, что кроме той отрасли геометрии, которая рассматривает величины и способы их измерения, есть и другая отрасль, занимающаяся порядком расположения частей фигуры относительно друг друга, отвлекаясь от их размеров. В дальнейшем эта область геометрии получила название – топология.

Во времена Эйлера протекающая в Кенигсберге река делилась на два рукава, омывающие острова, которые соединялись семью мостами между собой и с берегами.

Можно ли, совершая прогулку по городу, пройти все семь мостов, не проходя ни по одному из них дважды?

Этот пример показывает, как абстрактность математики позволяет создать математическую модель конкретной задачи.

Протяженность берегов, островов и мостов не играет в задаче никакой роли, важным является только их взаимное расположение.

Превратив берега и острова в точки, а мосты в линии, соединяющие их, получим следующую равносильную задачу: начертить непрерывным движением фигуру, не проводя ни одну линию дважды. Здесь точки А и В изображают берега, точки С и D – острова, а линии, соединяющие эти точки – мосты.

В результате исследования оказалось, что попытки вычертить различные плоские фигуры непрерывной линией без повторения отдельных участков приводят к неодинаковым результатам. Некоторые фигуры удается вычертить независимо от того, с какой точки начинаем вести линию, другие фигуры вычерчиваются только в тех случаях, когда линия начата только с определённой точки и, наконец, существуют фигуры, которые вовсе не поддаются вычерчиванию одной непрерывной линией.

Рассмотрим изображения трех различных «конвертов»: а) с двумя открытыми боковыми клапанами; б) с верхним раскрытым клапаном; в) заклеенный конверт.

Эти три незначительно отличающиеся друг от друга изображения иллюстрируют перечисленные три различные варианта возможных исходов решения задачи.

Первую фигуру можно начать вычерчивать с любой вершины, второй «конверт» - только с одного из нижних углов, заканчивая в противоположном нижнем углу. Неподдающейся оказывается третья фигура, хотя на первый взгляд она проще, так как содержит меньшее количество линий.

Теория этого вопроса разработана давно и подробно, поэтому приведем без доказательства основные её положения.

Четной вершиной фигуры назовем такую ее вершину, в которой сходится четное число линий, а если линий нечетное число, то вершину назовем нечетной. Для того чтобы установить, можно ли начертить фигуру непрерывным движением без повторного прохождения отдельных участков, следует прежде всего выяснить, имеются ли у фигуры нечетные вершины и сколько их. Всякая четная вершина заведомо проходима: условно говоря, сколько раз линия пришла в нее, столько же раз и вышла из этой точки. С нечетной вершиной дело обстоит иначе. С такой вершины можно начать движение или закончить его в ней, так как путей, ведущих к нечетной вершине, нечетное число. Поэтому, если нечетных вершин больше двух, то такую фигуру начертить непрерывным движением нельзя. В случае, когда фигура имеет две нечетных вершины, ее вычерчивание нужно начинать от одной из таких вершин и заканчивать в другой. Действительно, непрерывная линия имеет ровно два конца и этим многое объясняется.

Можно доказать, что какова бы ни была фигура, нечетных вершин в ней либо нет совсем, либо имеется четное их число. Свободная точка, к которой еще не прочерчено ни одной линии считается четной. После проведения первой линии, соединяющей две свободные точки, появляются две нечетных вершины.

И далее, любая новая линия соединяет две точки. Если это были четные точки, то они станут нечетными, если соединяются нечетные точки - они становятся четными, наконец, при соединении четной и нечетной точек, каждая из них меняет свою четность, не меняя общую картину. Следовательно, нечетные точки могут появляться только парами.

Сгруппируем имеющиеся закономерности.

Вывод 1. Во всякой фигуре число нечетных вершин четно.

Вывод 2. Фигуру, имеющую более двух нечетных вершин, невозможно начертить «одним росчерком». Фигуру, имеющую ровно 2п нечетных вершин, можно полностью обойти по отдельным маршрутам.

Вывод 3. Фигуру, имеющую всего две нечетные вершины, можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, при этом движение нужно начать с одной из этих нечетных вершин и закончить во второй из них.

Вывод 4. Если все вершины фигуры четные, то можно не отрывая карандаш от бумаги, проводя по каждому ребру только один раз, начертить эту фигуру. Движение можно начать с любой вершины и закончить его в той же вершине.

Фигура, которую можно начертить, не отрывая карандаш от бумаги, называется уникурсальной.

Все четыре вершины нечетные, откуда следует, что задача Эйлера о кенигсбергских мостах не имеет решения

Поучительная сторона предлагаемых ниже задач состоит в исследовании - возможно или нет решение данной задачи - прежде чем приниматься за само решение. Даже зная, что задача разрешима, найти решение не всегда просто.

Можно воспользоваться, например, таким правилом: «Все уже проведенные линии заданной фигуры надо считать отсутствующими и при выборе очередной линии следить за тем, чтобы фигура сохраняла цельность, т. е. не распадалась, если эта линия также будет изъята из чертежа».

Если при вычерчивании «конверта» с двумя открытыми боковыми клапанами начнем идти по пути ABCD и следующим шагом проведем линию DA, то останутся недочерченными два треугольника - ACF и, ВОЕ, которые между собой не связаны - фигура распадается. Тогда, закончив фигуру AFC, мы не сможем перейти к фигуре BDE, так как не останется линий, их связывающих.

Следовательно, пройдя путь ABCD, нельзя далее идти по линии DA а следует сначала пройти путь DBED и затем по оставшейся линии DA перейти к фигур AFC.

Таким образом, приступая к решению задач подобного рода, легко можно отсеять заведомо неразрешимые, но, зная о возможности решения, подумать придется. Многие из приведенных задач допускают решение с соблюдением дополнительного требования - чтобы у проводимой линии не было самопересечений. Такое условие, в частности, ставил Льюис Кэрролл.

Решение без самопересечений считается более сложным и более изящным, поэтому по возможности нужно стараться найти такое решение, даже если об этом не сказано в условии задачи].

Практическая часть.

Задание: Требуется нарисовать фигуру одним росчерком, не отрывая карандаша от бумаги, не делая никаких лишних штрихов и не проводя дважды ни одной линии.

В данной работе было показано, что существуют плоские фигуры, которые можно начертить непрерывной линией без повторения отдельных участков и такие фигуры называются уникурсальными.