Тригонометрия в различных науках

<<Математика есть такая наука, которая показывает, как из знаемых количеств находить другие, нам ещё не известные>> Д. С. Аничков.

Тригонометрия является разделом математики, в котором изучается тригонометрические функции, их свойства и графики, рассматриваются всевозможные тригонометрические тождества, решаются тригонометрические уравнения и неравенства. Но всё это изучается для того, чтобы затем применить эти понятия и формулы в других дисциплинах.

Как применяется тригонометрия в физике, электротехнике, технической механике и теории автомобилей мы рассмотрим в данном реферате.

Физика

Часто приходится иметь дело с движением тел, получивших начальную скорость не параллельно силе тяжести, а под некоторым углом к ней (или к горизонту). Когда, например, спортсмен толкает ядро, метает копьё, он сообщает этим предметам именно такую скорость. При артиллерийской стрельбе стволам орудий придают некоторый угол возвышения, так что снаряд в стволе тоже получает начальную скорость, направленную под углом к горизонту. И так для того, чтобы описать траекторию движения тел, брошенных горизонтально или под углом к горизонту необходимо применить тригонометрические функции. Проекции векторов на ось X и Y равны соответственно: υox = υo cos α

υoy = υo sin α

Задача 1 Снаряд вылетел из пушки под углом α к горизонту с начальной скоростью υо. Найдите: а) время полёта снаряда; б) максимальную высоту подъёма; в) дальность полёта снаряда.

Решение: Движение тела брошенного под углом к горизонту описывается формулами x = υox t, y = υoy t + gyt2 /2.

Так как υох = υо cos α, υoy = υо sin α, и gу = -g, то х = υot cos α, y = υot sin α - gyt[2] / 2.

а) В конце полёта снаряда y = 0 время t найдём по формуле для y:

0 = υot sin α - gyt2 / 2; t1 = 0 t2 = 2υo sin α/g

Значение t1 соответствует началу полёта, а t2 - это искомое время полёта t полёта = 2υo sin α/g.

б) Время движения до высшей точки траектории вдвое меньше всего времени движения, т. е. t подъёма = υo sin α/g. Максимальная высота подъёма hmax - это значение координаты у, которая получится, если в выражении для координаты у вместо t подставить найденное значение времени подъёма: hmax = υo sin α (υo sin α/g) - g/2 (υo sin α/g)[2] = υo[2] sin[2] α/2g.

в) Дальность полёта L - это max значение координаты х. Его мы получим, если вместо t подставим время полёта: t полёта = 2υо sin α/g L = Xmax = υо t полёта cos α или

L = υо cos α (2 υо sin α/g) = 2υо[2] sin[2] α cos α/g

При каком значении угла α дальность полёта максимальна?

Известно, что 2 sin α cos α = sin 2 α. Следовательно L = υо[2] sin[2] α/g

Отсюда видно, что дальность L будет наибольшей, если sin 2 α = 1.

Это значит, что 2α = 90° и α = 45°.

Задача 2 С самолёта, летящего в горизонтальном направлении со скоростью υо = 720 км/ч, на высоте h = 3920 м над землёй сброшен груз. Как далеко от места сбрасывания груз упадёт на землю?

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

В технике пользуются токами, напряжениями и Э. Д. С, изменяющимися по простейшему гармоническому закону, закону синуса, что упрощает все расчёты и устраняет нежелательные явления, наблюдаемые при изменении электрических величин по другим периодическим законам.

L = Em sin wt, где Em,Um,Im - амплитудные значения э. д. с,

U = Um sin wt напряжение тока,

I = Im sin wt W - угловая частота.

Тригонометрические функции используются для определения параметров однофазных и трёхфазных цепей. Z переменного тока, выраженное из треугольника сопротивлений через тригонометрические функции.

Z - полное сопротивление цепи переменного тока.

(XL - Xc) - полное реактивное сопротивление;

R - активное сопротивление.

Cosφ = R/Z sinφ = XL - Xc/Z tgφ = XL - Xc/R

Задача 1 Катушка с индуктивностью L = 102 м Гн = 0,102 Гн и активным сопротивлением 24 Ом находиться под напряжением 240 В частотой 50 Гц. Определить величины: XL,Z,I,Ua,UL,cosφ,P,Q.

Решение: 1. Определяем индуктивное сопротивление

XL = 2PI = 2*3,14*50*0,102 = 32 Ом

2. Определяем полное сопротивление цепи

Z = √R[2]+X[2] = √24[2]+32[2] = 40 Ом

3. Определяем ток в цепи по закону Ома

I = U/Z = 240/40 = 6 A

4. Определяем падение напряжения на активном сопротивлении Ua = I*R = 6*24 = 144 B

5. Определяем падение напряжения на индуктивном сопротивлении

UL = I*XL = 6*32 = 192 B

6. Определяем cosφ = R/Z = 24/40 = 0,6 sinφ = XL/Z = 32/40 = 0,8

7. Определяем активную и реактивную мощность

P = U*I*cosφ = 240*6*0,6 = 8640 Вт

Q = U*I*sinφ = 240*6*0,8 = 1152 Вар

Задача 2: Цепь с двумя параллельными ветвями в одной из которых включена катушка с активным сопротивлением R = 1 Ом и реактивным сопротивлением XL1 = 3 Ом, а в другой катушке с сопротивлениями R = 3 Ом и XL2 = 2 Ом, присоединена к сети с напряжением 230 В. Определить токи в ветвях и общий ток цепи.

Решение: 1. Определяем полные сопротивления обоих ветвей

Z1 = R1[2]+XL1[2] = 1[2]+3[2] = 3,1 Ом

Z2 = R2[2]+XL2[2] = 2[2]+3[2] = 3,6 Ом

2. Определяем токи ветвей

I1 = U/Z1 = 230/3 = 76,6 A

I2 = U/Z2 = 230/3,6 = 63,8 A

3. Определяем cosφ и sinφ cosφ1 = R1/Z1 = 1/3 = 0,3 sinφ1 = XL1/Z1 = 3/3,1 = 0,96 cosφ2 = R2/Z2 = 3/3,6 = 0,83 sinφ2 = XL2/Z2 = 2/3,6 = 0,55

4. Активные и реактивные составляющие оков первой и второй ветви:

Ia1 = I1cosφ1 = 76,6*0,3 = 22,98 A

Ip1 = I1sinφ1 = 76,6*0,96 = 73,54 A

Ia2 = I2cosφ2 = 63,8*0,83 = 52,95 A

Ip2 = I2sinφ2 = 63,8*0,55 - 35,09 A

5. Общий ток I = (Ia1+Ia2)2+(Ip1+Ip2)2 = (22,98+52,95)2+(73,54+35,09)2 =

=129,4 A

Задача 3: Трёхфазный двигатель, соединённый по схеме <<звезда>>, подключённый к сети с напряжением 380 В, работает с мощностью 10 кВт и cosφ = 0,8. Определить ток двигателя?

Решение: 1. Мощность в цепи питания двигателя P = 3Uл*Iл*cosφ, откуда ток двигателя Iл = P/3Uл*Iл*cosφ = 10000/1,73*380*0,8 = 19 A

Задача 4: Однофазный понижающий трансформатор номинальной мощностью Sном = 500 ВА служит для питания ламп местного освещения металлорежущих станков. Номинальные напряжения обмоток φн1 = 380 В, Uн = 24 В. К трансформатору присоединены десять ламп накаливания мощностью 40 Вт каждая, их коэффициент мощности cosφ2 = 1,0. Магнитный поток в магнитопроводе Фm = 0,005 Вт. Частота тока в сети

ƒ = 50 Гц.

Определить:

1. номинальные токи;

2. коэффициент нагрузки трансформатора;

3. токи в обмотках при действительной нагрузке;

4. число витков обмоток;

5. кпд трансформатора.

Решение:

1. номинальные токи в обмотках

Ih1 = Sh/Uh1 = 500/380 = 1,32 A

Ih2 = Sh/Uh2 = 500/24 = 20,8 A

2. коэффициент нагрузки трансформатора

Kh = P2/(Sh*cosφ2) = 10*40/(500*1,0) = 0,8

3. токи в обмотках при действительной нагрузке

I1 = Kh*Ih1 = 0,8*1,32 = 1,06 A

I2 =Kh*Ih2 = 0,8*20,8 = 16,6 A

4. число витков обмоток

W1 = E1/4,44*f*Фm = 380/2,44*50*0,005 = 340 витка

W2 = E2/4,44*f*Фm =24. 4,44*50*0,005 = 22 витка

5. кпд трансформатора

K = E1/E2 = W1/W2 = 340/22 = 15,5

ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

В механике требуется рассчитать действие направленной силы на поверхность предмета, под каким - либо углом. Например, действие силы на брус, шарнирно закреплённый в какой - либо точке, или произвести расчет цилиндрической косозубой передачи редуктора привода винтового транспорта. Для этого применяют тригонометрические функции.

Задача 1: Брус шарнирно закреплён в точке А, а в точке В опирается на выступ стенки, образуя с горизонтальной плоскостью угол 30°. В точке С на расстоянии АС = 1м. Брус нагружен перпендикулярной к нему силой Р = 800Н. Определить реакцию шарнира А и выступа, если АВ = 2,4 м.

Учитывая схему рисунка, уравнение имеет такой вид: а) Xi = 0, Xa-Rβ*sin30° = 0 б) Yi = 0, Ya-P+Rβ*sin60° = 0 в) Ma(Pi) = 0, Ra*AB-P*AC*sin60° = 0

Из уравнения получаем:

Rβ = P*AC*sin60°/AB = 800*1*sin60°/2,4 = 289 H

Из уравнения получаем: а) Xa = Rβ*sin30° = 298*sin30° = 144,5 H б) Ya = P-Rβ*sin 60° = 800-289*sin60° = 550 H

Определяем численное значение реакции шарнира А

Ra = Xa[2]+Ya[2] = 144,5[2]+550[2] = 569 H

Определяем угол, образуемый вектором Ra с осью x (рис. ниже) cosα = Xa/Ra = 144,5/569 = 0,254 α = 75°17≈75°

Таким образом, угол φ = (RaAB) = 75°-30° = 45°.

Решая задачу по следующему рисунку получим такие уравнения: а) Xi = 0,Xa1-P cos60° = 0 б) Ma (Pi) = 0, Rb AB-P AC sin60° = 0 в) Mb (Pi) = 0, P BC sin60°-Ya1AB = 0

Последовательно из уравнений а,б,в, находим: Rb = 289 H, Xa[1] = 400 H, Ya[1] = 403 H

Численное значение реакции шарнира А

Ra = Xa[2]+Ya[2] = 400[2]+403[2] = 568 H tgφ = Ya[1]/Xa[1] = 403/400≈1 φ= (RaAB)≈45°

Задача 2

Рассчитать цилиндрическую косозубую передачу редуктора привода винтового транспорта по следующим данным: мощность на ведущем валу N1 = 7 кВт при угловой скорости W1 = 100 рад/с, передаточное отношение редуктора i = 4. Редуктор предназначен для индивидуального изготовления и длительной работы.

Решение: идёт согласно алгоритма, а для определения суммарного числа зубьев, применяются тригонометрические функуии.

Zc = 2*aw cosβ/mn = 2*130 cos 12°/2 = 127

Число зубьев шестерни Z1 = 25, тогда Z2 = Zc*(i+1) = 127*(4+1) = 25,4

Принимаем Z1 = 25, тогда Z2 = Zc-Z1 = 127-25 = 102

При этом должно соблюдаться условие Z1 Zmn = 17

Фактический угол наклона зубьев cosβ = (Z1+Z2) mn/2aw = 0,9769 β = 12°20.

Геометрические размеры шестерни и колеса: делительные диаметры d1 = Z1*mn/cosβ = 25*2/0,9769 = 51,18 мм d2 = Z2*mn/cosβ = 102*2/0,9769 = 208,82 мм

Теория автомобилей

Автоколебания

При определенных условиях мы наблюдаем постоянные периодические колебания в такой системе, которая не подвержена периодическому внешнему воздействию. Например, на струну дует ветер постоянной силы, который при неподвижной струне вызывает только постоянное отклонение ее в сторону. Но под действием такого постоянного ветра мы часто наблюдаем стационарные периодические колебания струны, частота которых почти равна ее собственной частоте.

По скрипичной струне ведут равномерно смычком, сила трения смычка о струну должна бы оттянуть струну, однако всем известно, что при этом возникают периодические колебания струны. Если бы в отсутствие ветра и смычка мы отклонили струну от положения равновесия и отпустили, то возникли бы собственные колебания, которые через некоторое время прекратились бы. Но при наличии ветра или движении смычка силы, действующие на колеблющуюся струну, изменяются таким образом, что поддерживают колебания; работа этих сил идет на компенсацию работы остальных сил трения, неизбежно возникающих при колебании струны. При колебаниях струны возникают такие условия, при которых появляется определенная периодическая сила, поддерживающая эти колебания; в отсутствие - колебания внешнее воздействие со стороны смычка оставалось бы постоянным.

Системы, о которых возникают периодические колебания в отсутствие заданного периодического внешнего воздействии, называются автоколебательными, а сам процесс - автоколебаниями.

В качестве наиболее простого примера автоколебаний рассмотрим автоколебания маятника на вращающемся валу (рис. 1,а). Силы трения муфты маятника о вращающейся вал действуют на маятник и создают определенный момент Мтр (предполагается, что скорость вращения всегда больше по абсолютной величине скорости вращения маятника при колебаниях ).

Рассмотрим работу, которую совершает этот момент при периодических колебаниях маятника. За одну половину периода работа момента сил трения Мтр равна энергии, отнятой у маятника, когда нал и маятник вращаются в противоположных направлениях (рис. 1,6);за вторую половину периода, наоборот, когда маятник и вал вращаются в одинаковом направлении, работа момента сил трения Мтр добавляет энергию маятнику. При некоторых условиях сила сухого трения почти не зависит от скорости скольжения; тогда работа сил трения, переданная маятником, будет равна нулю, и трение о такой подвес не внесет затухания.

Если же сила трения вала о муфту маятника зависит от скорости скольжения, то картина изменится. Энергия колебаний маятника расходуется в подвесе, и трение о вращающийся вал только увеличивает затуханье колебаний.

Картина явления может принципиально измениться, если сила трения падает с увеличением скорости скольжения. При небольшой смазке в определенном диапазоне изменения скорости скольжения такие условия они сравняются; тогда маятник будет совершать стационарные колебания - автоколебания.

Вращающийся вал мотора сообщает маятнику энергию, необходимую на покрытие потерь энергии, на тепло при стационарных автоколебаниях. Энергия передаётся от мотора к маятнику силой трения скольжения. Из всех рассуждений, очевидно, что частота автоколебаний определяется собственной частотой колебаний маятника. Опыт показывает, что частота автоколебаний и в других случаях близка к собственной частоте резонатора, который входит в состав колебательной системы.

Автоколебательные системы, совершающие почти гармонические колебания, всегда состоят из резонатора (маятника), совершающего колебания и связанного с ним источника энергии (мотора); при колебаниях резонатора последний воздействует на легочник энергии так, что сила, действующая на резонатор, становится периодической и поддерживает колебания в резонаторе. Всегда имеется обратная связь между источником энергии и резонатором, которая обеспечивает колебания силы, создаваемой источником энергии. В нашем примере колебания скорости скольжения обеспечили обратную связь, которая осуществляется через колебания сил трения о вал, поддерживающие колебания маятника. Для возникновения автоколебаний необходим некоторый (хотя и очень маленький) толчок, ибо весь описанный процесс начнётся тогда, когда маятник отклонится от положения равновесия и начнёт колебаться.

С ростом амплитуды колебаний маятника амплитуда момента силы трения о вал а1 возрастает медленнее амплитуды момента силы трения о воздух а2 при некотором значении амплитуды колебаний маятника можно осуществить. Типичная кривая зависимости момента силы трения при неподвижном маятнике от скорости вращения вала показана на рис. 2.

Пусть скорости вращения вала соответствует абсцисса точки А; тогда энергия колебаний маятника за период будет возрастать, что легко доказать на основании рассуждений, аналогичных сделанным выше. Колеблющийся маятник будет получать от вала определенную порцию энергии за период , и если эта порция больше энергии, идущей на трение о воздух, то амплитуда колебаний маятника со временем будет нарастать.

Картину колебаний можно представить себе, рассматривая графики, изображенные на рис. 3. График а показывает колебания угла отклонения маятника φ со временем; график б - изменение скорости вращения маятника( график в - колебания относительной скорости вращения, скорости скольжения); ω1 = ω - φ; они происходят при постоянной скорости вращения вала ; график г показывает колебания момента сил трения вала о муфту Мтр, если сила трения падает с увеличением скорости скольжения, и график д - изменение момента сил трения о воздух Мтр; этот момент находится всегда в противофазе с колебаниями φ. Очевидно, что если амплитуда α1 больше амплитуды α2 ,то колебания нарастают.

Применение тригонометрических функций можно рассмотреть на примере гармонических колебаний

Если координаты движущегося тела меняются со временем по закону синуса (или косинуса)

X = A sin(ω0+ ω0), то такое движение называют гармоническим колебанием.

На рис. 1 представлен график гармонического колебания.

По горизонтальной оси отложено время t, по вертикальной - смещение x колеблющейся точки относительно положения равновесия.

Аргумент синуса (ω0t+ ω0) называют фазой колебаний. Фаза определяет значение смещения в момент времени t. Начальная фаза φ0 определяет смещение тела в момент начала отсчета времени (t = 0). Фаза колебаний представляет собой угловую меру времени, прошедшего от начала колебаний. Если начальная фаза колебаний φ0 =0, то фазе φ =2PI соответствует t = T, фазе PI/2 соответствует Т/4 и так далее.

Пусть точка М равномерно движется по окружности радиуса А в направлении против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ω0 (рис. 2). Если в начальный момент времени t = 0 эта точка занимала положение М0 и ее начальная фаза была равна нулю, то через время t, совершив угловое перемещение ω0t, она придет в положение М. Проекция точки М на ось составит x = A sin ω0t. (3)

Из этого уравнения следует, что при вращении точки М по окружности ее проекция на ось x совершает гармонические колебания около точки О.

Проекция вектора скорости v0 точки М на ось x (рис 3)

υx = υ0cos ω0t. (4)

Между линейной υ0 и угловой ω скоростями существует следующая связь: υ0 = A ω0, где А-радиус окружности.

Учитывая, что cos ω0t = sin(ω0t+PI/2), уравнение (4) можно переписать в виде

υx = A ω0sin(ω0t+PI/2) (5)

Из уравнения (5) следует, что скорость колеблющейся точки М меняется, как и смешение, по синусоидальному закону, причем максимального значения υmax = A ω0 скорость достигает при sin(ω0t+ PI/2)= 1.

Из сравнения выражений (3) и (5) следует, что смещение x и скорость υx сдвинуты по фазе на PI/2, то есть скорость достигает максимального значения в те моменты времени ,когда смещение x = 0.

Проекция вектора центростремительного ускорения a0 на ось x (рис. 2) составляет a = -a0 sin ω0t. (6)

Подставив a0 = υ02/A = ω02 A в (6), получим a = -ω0[2] A sin ω0t. (7)

Ускорение колеблющейся точки тоже изменяется по синусоидальному закону. Максимального значения amax = ω0[2] А ускорения достигает в моменты времени ,когда sin ω0t = 1. Учитывая (3),формулу(7) можно переписать в виде a = -ω0[2]x (8)

Знак минус в уравнении (8) означает, что ускорение колеблющейся точки направлено в сторону, противоположную смещению, и всегда к положению равновесия. Ускорение и смещение изменяются в противофазе.

Представлены графические зависимости смещения x,скорости υ и ускорения, а при условии, что начальная фаза колебания φ0 равна нулю.

Из рисунка видно, что скорость достигает максимального значения υ0,когда колеблющаяся точка проходит положение равновесия. В этот момент смещение x и ускорение а, равны нулю.

Применение тригонометрических функций в автомобилях.

Для разработки автомобильных рам и двигателей, обязательны математические расчёты, в которых используются тригонометрические функции.

С помощью тригонометрических функций рассчитывают автомобиль на устойчивость продольную и поперечную. Потеря продольной устойчивости выражается в опрокидывании автомобиля вокруг оси передних или задних колёс, потеря поперечной устойчивости в занос или боковом опрокидывании автомобиля.

Устойчивость автомобиля в продольной плоскости.

Условие опрокидывания автомобиля относительно оси ОХ, проходящей через точки опоры задних колёс, будет:

Ga sin hc>Ga cos ab где, hc - высота центра тяжести автомобиля.

B - растяжение от центра тяжести до задней оси автомобиля.

Из этого соотношения получим, что угол подъёма, при котором возможно опрокидывание автомобиля, определяется по формуле: tg a>b:hc

Практически до начала опрокидывания наступает буксование колёс на подъёме и опрокидывание быть не может, т. е. в этом случае можно написать:

I

Устойчивость автомобиля в поперечной плоскости.

Рассмотрим движение автомобиля по дороге с поперечным уклоном bi. Из условия равновесия автомобиля относительно оси проходящей через точку О опоры правых колёс, получим:

Z'B+Ga*hc*sinbbi-Ga*b:cos*Bi = 0, где, Z' - суммарная вертикальная реакция на левых колёсах. Для момента опрокидывания Z'' = 0. Тогда:

Ga*hc*sin*bi = Ga*b:2*cos*bi

Tg*bi = b:2pc.

следовательно, чем больше В и меньше hc, тем устойчивее автомобиль.

Величина b:2hc - коэффициент поперечной устойчивости автомобиля.

Устойчивость автомобиля при движении на повороте.

До опрокидывания может начаться боковое скольжение автомобиля. При этом сила Ga sin βi стремится вызвать скольжение автомобиля, а противодействующая ей сила сцепления колёс с дорогой Ga cos βi ψ.

Условие начала скольжения автомобиля в бок.

Ga*sin*βi >= ψGa*cos βi.

Tg*βi >=ψ.

Для того, чтобы скольжение колёс началось раньше его опрокидывания, необходимо, чтобы

B:2hc >ψ.

Также с помощью тригонометрических функций можно определить скорость поршня и перемещение поршня.

Точная формула для скорости поршня:

Vn = Rw*sin (β+1):cos β. (1)

С достаточной точностью для расчётов уравнения для скорости Vn получают путём дифференцирования по t уравнения:

Sn = R[1+λ:4-(cos φ+λ:4 cos 2 φ.

Получают: Vn = dSn:dt = d φ:dt*dSn:dφ.

Кривая скорости поршня.

Средняя скорость поршня, представляющая собой классификационный параметр, положена в основу теории подобия двигателей. Её часто используют для оценки качества двигателей.

Точное выражение для устранения поршня получается дифференцированием по времени t уравнения (1). После провидений преобразований имеем:

Wn = dVn:dt = Rw[2][cos(φ+β):cos φ+λ cos2 φ.

Кривая ускорения поршня.

Экспериментальные значения ускорения поршня можно найти из уравнения (4), приравнивая к нулю его производную.

Dwn:dt =-(sin φ + 2 λ sin 2 φ)w=sin φ(1+4 λ cos φ)=0.

Из расчёта следуем, что:

При φ=0°

При φ=180°

При cos φ = -1:4 λ

Wnmax = Rw2 (1+λ);

Wnmin = -Rw2(1-λ);

Wn = -Rw[2] (1/8λ).

В курсе математики есть очень большой раздел <<Тригонометрические функции, их свойства и графики>>. Важность тригонометрии уже становится понятной, когда изучается эта тема. Но ещё интереснее, оказывается, проследить, как применяется эта тема в других, изучаемых на отделении механиков по специальности 190604 (техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта) и 190605(техническая эксплуатация и ремонт подъёмно - транспортных, строительных , дорожных машин и оборудования), предметах: физике, электротехнике, технической механике и автомобилях.