Вращательное движение твердых тел

Данная работа названа «Вращательное движение твердых тел» и проведена с целью расширенного знакомства с вращательным движением. В ходе работы изучены теоретически и проверены практически вопросы: траектория движения, законы сохранения импульса и энергии, свойство вращающихся тел сохранять плоскость вращения.

Изучать вращательное движение сложно, многие ученые составляли многотомные труды, в которых описывался этот вид движения. Интерес к изучению вращательного движения был настолько высок, что даже Нобелевские лауреаты Н. Бор и В. Паули, не отрываясь, наблюдали за вращением волчка.

Человек может каждый день сталкиваться с вращательным движением. Так, дети охотно играют с юлой и современным «йо-йо», взрослые же увлекаются разными видами спорта: фигурным катанием, прыжками в воду с трамплина, спортивными танцами. Люди работают с техникой, в которой установлены гироскопы.

Кинематика движения

1) Траектория – линия, вдоль которой движется тело – во вращательном движении представлена сложной кривой линией.

2) Угловая скорость – величина, характеризующая вращательное движение, численно равная углу поворота в единицу времени. ω=δφ/δt

Угловая скорость связана с линейной через радиус. ω=v/r

Если угловая скорость неизменна (ω=const), то вращательное движение равномерно. В противном случае, вращение происходит с ускорением. ε=δω/δt

3) Прецессия – явление, при котором ось вращения тела поворачивается относительно перпендикуляра к поверхности.

Динамика движения

1) Момент силы – величина, численно равная произведению прикладываемой силы на длину ее плеча. M=Fxd

Тело двигается с вращением лишь в случае, когда прикладываемая сила не проходит через центр тяжести тела: в противном случае, движение является поступательным

2) Момент инерции – скалярная величина, являющаяся мерой инертности во вращательном движении, равная произведению массы тела на квадрат угловой скорости. I=mω2

Законы сохранения

1) Закон сохранения механической энергии. Полная механическая энергия равна сумме потенциальной, кинетической и вращательной энергии. Еполн= mgh+mv2/2+Іω2/2

2) Закон сохранения момента импульса. Момент импульса тела при изменении скорости и радиуса вращения остается постоянным, если на тело не действуют внешние силы. m1v1r1 = m1v2r2

С целью изучить и понять вращательное движение были проведены следующие эксперименты:

1. Траектория вращательного движения. В данном опыте использовалась собранная из мягкого карандаша и жестяной крышки юла. Волчок раскручивался на листе бумаги, оставляя след, являющийся ничем иным, как траекторией движения. Она представлена сложной кривой линией с окружностями разных радиусов.

Траектория юлы, вращающейся вокруг перпендикулярной оси к поверхности, будет представлена точкой. В вышеописанном случае волчок двигался по сложной кривой линии, что объясняется явлением прецессии. Прецессия – поворот оси вращения вокруг перпендикуляра к поверхности. Карандаш оставлял на бумаге различные окружности, поворачиваясь относительно невидимого перпендикуляра.

2. Зависимость скорости вращения от радиуса. Для проведения эксперимента использовалась трубка, сквозь которую была протянута нить с закрепленным ластиком. Вращение происходило в горизонтальной плоскости.

Нить втягивалась, и было видно, что с уменьшением радиуса вращения увеличивалась его скорость. Если удерживаемая нить отпускалась, то вращение замедлялось, а радиус становился больше.

Математически описанное движение подтверждается с помощью закона сохранения момента импульса: момент импульса в замкнутой системе с изменением скорости и радиуса вращения остается неизменным.

mω1r21 = mω2r22

ω1r21 = ω2r22

ω2 /ω1 = (r1/r2)2

3. Выполнение закона сохранения момента импульса. Для проверки выполнения данного закона была проведена серия экспериментов, в которых использовались компьютерный стул и пара гантелей. Непосредственно участвовал сам экспериментатор, имевший возможность получить ощущения от проведенных опытов.

Во всех экспериментах я, сидя на стуле, расставлял руки в стороны или сводил их на груди. Серии опытов различались лишь тем, что в первой не использовались гантели, в отличие от второй.

Первый эксперимент оставил следующие ощущения: при выпаде рук чувствовал, что вращение стула замедляется, при скрещивании – ускоряется, однако, разница была незначительной: mчелv1r1 = mчелv2r2

Зная, что момент инерции тела I равен mr2 , линейная скорость v равна ωr:

I1r1 = I2r2 mчелω1r21 = mчелω2r22

Во втором эксперименте разницу между положениями рук почувствовать было заметно проще: при выпаде рук происходило почти полное прекращение вращения, при скрещивании – резкое ускорение: r1 (Iчел 1 + Iгант 1) = r2 (Iчел 2 + Iгант 2)

ω1r21 (mчел + mгант) = ω2r22 (mчел + mгант)

Разница в полученных ощущениях объясняется тем, что момент инерции системы «экспериментатор – компьютерный стул» в первом опыте меньше, чем во втором.

4. Сохранение плоскости вращения тела. Любое вращающееся тело стремится сохранить плоскость своего вращения – таково следствие закона сохранения момента импульса.

Свойство сохранения плоскости вращения было проверено с помощью того же компьютерного стула и велосипедного колеса. В начале эксперимента раскручивалось колесо в моих руках, затем придавалось вращение самому стулу. Во время движения я пытался накренить колесо, но это требовало больших затрат физической силы. Вскоре мне удалось лишь немного наклонить колесо, но стоило расслабить руки (то есть, уменьшить прилагаемое усилие), как оно вновь возвращалось в исходную плоскость вращения.

5. Выполнение закона сохранения механической энергии. В следующем эксперименте проверялось выполнение закона сохранения механической энергии. Проверка проходила с помощью установки, называемой маятником Максвелла, собранным в домашних условиях из карандаша, жестяной крышки и двух нитей, закрепленных на концах.

Сообщение запаса энергии происходит при накручивании нитей на центральную планку. Отпустим карандаш и увидим, что планка начинает опускаться и вращаться одновременно. Заданная энергия перешла во вращательную, кинетическую и потенциальную. Преодолев расстояние, равное длине нити, установка остановится, но не прекратит вращения, оставшаяся энергия которого позволит телу подняться почти на ту же высоту, что была задана изначально. Это свидетельствует о том, что энергия системы сохраняется.

Еполн = Епот + Екин + Евращ

Еполн = mgh + Iῳ2/2 + mv2/2

6. Вращение таблетки. До определенного времени жестяная коробка, напоминающая двояковыпуклую линзу, интересовала меня разве что своим ярко-красным цветом, но однажды раскрутил ее и удивился ее вращению. Вначале «таблетка» (так в ходе работы назвал этот инструмент) вращается на своей плоской части, но затем постепенно встает с него и переходит на ребро, не прекращая вращаться. Некоторое время вращение «таблетки» идет на ребре, а вскоре вновь опускается на дно и, наконец, перестает вращаться.

Как объяснить вращение таблетки? Распределение массы у данного тела неравномерно, а значит, моменты инерции, вычисляемые относительно разных осей вращения (в данном случае, вертикальной Z и горизонтальной X), неравны. Вращение будет стабильным лишь вокруг главных осей, которым соответствует максимальному и минимальному значениям момента инерции. Отклонения от плоскости вращения происходят тогда, когда оси вращения соответствует промежуточное значения момента инерции.

После задания вращения момент всех внешних сил, действующих на тело, равен нулю. Момент импульса вращающегося тела сохраняется, но из-за неровностей поверхности случаются отклонения от плоскости вращения. «Таблетка» стремится обрести стабильное положение, в результате чего происходит переход со дна на ребро, затем – наоборот.

Результаты

В ходе выполнения работы достигнуты следующие результаты:

1. Установлена траектория вращательного движения. Она представлена сложной кривой линией с окружностями разных диаметров.

2. Проверено выполнение закона сохранение механической энергии для вращательного движения. Энергия вращающегося тела равна сумме потенциальной, кинетической и вращательной энергий.

3. Проверено выполнение закона сохранения момента импульса. Установлено, что с изменением радиуса вращения изменяется его скорость: с уменьшением радиуса увеличивается скорость вращения и наоборот.

4. Проверено следствие закона сохранения момента импульса – сохранение телом плоскости вращения.

5. Рассмотрено вращение «таблетки» - тела с неравномерным распределением массы. Замеченное вращение объясняется переходом тела от одной главной оси к другой после случайно смены плоскости вращения.

Вращательное движение твердых тел представляет собой сложный вид движения. Для него выполняется как закон сохранения энергии, характерный для поступательного движения, так и закон сохранения момента импульса, следствием которого является свойство сохранять плоскость вращения. Несмотря на всю сложность описания и объяснения явлений, происходящих во время вращения, рассмотренный вид движения широко применяется в технике и культурной сфере жизни.

Применение

Применить свойства вращательного движения человек смог в разных сферах жизни. С вращением мы сталкиваемся в технике, спорте и активных видах отдыха. Представлю каждую из названных отраслей.

Удивительное свойство вращающегося тела сохранять плоскость своего вращения нашло себя в приборе под названием гироскоп. Он состоит из нескольких рам, свободно вращающихся относительно друг друга, и закрепленного на оси в центре диска, сохраняющего плоскость вращения вне зависимости от ориентации рам. Гироскоп позволяет с огромной точностью определять направление движения. Еще в Древнем Китае был изобретен образец гироскопического компаса - тележка, внутри которой находился механизм шестеренок и рамок. При движении тележки стрелка, соединенная с внутренним устройством, точно указывала на географический север. В корабельном и авиационном строении применяются гироскопы, не дающие воздушным судам отклоняться от заданного курса (система, известная всем как «автопилот») и сводящие к минимуму волновую качку на кораблях. В автомобилестроении гироскопы также используются. К примеру, отечественными учеными был сконструирован действующий образец двухколесной «Оки», на которой был установлен гироскоп.

Во многих видах спорта можно встретиться с вращательным движением. В частности, фигуристы и прыгуны пользуются изменением скорости своего вращения. Во время исполнения некоторых элементов фигурного катания спортсмен группируется или же скрещивает руки на груди, чтобы вращаться с большей скоростью, а затем совершает выпад или выходит из сгруппированного положения для замедления. После прыжка в воду спортсмен не должен поднять слишком много брызг, поэтому до входа группируется, придавая своему телу вращение, и выпрямляется, замедляясь. Качественное исполнение прыжка, подобно описанному, позволяет практически без брызг оказаться в воде.

Пожалуй, первая встреча человека с вращением в жизни – игра с юлой, такой простой, но захватывающей внимание игрушкой. В нынешнее время широкое распространение получили «йо-йо» - несколько измененные маятники Максвелла. С помощью этой игрушки опытный исполнитель способен продемонстрировать поразительные трюки.

Приведенные примеры – лишь небольшая часть, с которой может столкнуться человек в познании такого сложного процесса, как вращательное движение.