Свойства и графики линейной и квадратичной функции и их применение для решения графических задач по кинематике

Графики линейной и квадратичной функции подробнейшим образом изучаются в школе на уроках алгебры. Ученики рассматривают свойства и способы построения прямой и квадратичной параболы. Но к тому моменту как на уроках физики происходит изучение равнопеременного движения, недавно изучавшиеся факты забываются, и поэтому у учеников возникает ряд различных проблем в построении графиков равнопеременного движения и решении графических задач. Поэтому целью нашей работы стало обобщение фактов, изучаемых на уроках физики и алгебры, для упрощения решения графических задач по кинематике на равноускоренное (равнозамедленное) движение.

Квадратичная функция, ее график и свойства

Определение квадратичной функции

Квадратичной функцией называется функция, которую можно записать формулой вида y=ax2 + bx + c, где x – независимая переменная, a,b,c – некоторые числа, причем a≠0.

Свойства квадратичной функции

Свойства функции и вид ее графика определяются, в основном, значениями коэффициента a и дискриминанта D=b2-4ac.

Область определения: R;

Область Промежутки знака постоянства Промежутки значения монотонности

D>0 (два нуля функции ) D=0 (один нуль функции:) D<0 (нулей функции нет)

Способы построения графиков функции в общем случае

Графиком квадратичной функции является парабола – кривая, симметричная относительно прямой , проходящей через вершину параболы (вершиной параболы называется точка пересечения параболы с осью симметрии).

Построение графика по точкам

Чтобы построить график квадратичной функции по точкам, нужно:

1. Найти координаты вершины параболы и отметить ее в координатной плоскости.

Координаты вершины параболы определяются по формулам:

2. Построить еще несколько точек, принадлежащих параболе;

3. Соединить отмеченные точки плавной линией.

Преобразование графиков функции m – x0 n – y0

1. Растяжение графика у = х2 вдоль оси у в а раз.

Если, а < 0, произвести, кроме того, зеркальное отражение графика относительно оси х (ветви параболы будут направлены вниз).

Результат: график функции у = ах2.

2. Параллельный перенос графика функции у = ах2 вдоль оси х на m (вправо при m > 0 и влево при т < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)2.

3. Параллельный перенос графика функции вдоль оси у на n (вверх при п > 0 и вниз при п < 0).

Результат: график функции у = а(х - т)2 + п.

Практическая часть

По формулам построить график функции

а) y = - 0,5x2 б) y = x2 – 3 в) y = 2(x + 1)2 г) y = - ( x – 5)2 + 4 д) y = x2 – 6x + 5

По графику функции

а) Определить знак коэффициента a, b, c и D.

б) Какая формула задает функцию графика, который изображен на рисунке:

Графическое описание равноускоренного (равнозамедленного) движения

Сравнивая формулы для равноускоренного движения с квадратичной функцией, заданной уравнением y=ax2+bx+c, мы видим следующее сходство:

Sx=V0xt + x=x0 + V0xt +

Если привести эти формулы к стандартному виду, то мы получим, что:

V0x = b x0 = c

Теперь давайте рассмотрим построение этих графиков.

Для построения этого графика на оси абсцисс откладывают время движения, а на оси ординат - координату движущегося тела.

Пусть тело движется равноускоренно в положительном направлении Ох выбранной системы координат. Тогда уравнение движения тела имеет вид: x=x0+v0xt+

Выражению соответствует известная из курса математики функциональная зависимость у=ах2+bх+с (квадратный трехчлен). В рассматриваемом нами случае

Как известно, графиком этой зависимости является парабола, ветви которой направлены вверх, если a>0, или вниз, если а<0.

Вершина этой параболы находится в точке, абсцисса которой , а ордината.

В рассматриваемом нами случае

Как видно из этих формул, при движении тела без начальной скорости (V0x=0) вершина этой параболы находится в точке х = x0.

График зависимости координаты тела от времени, движущегося равноускоренно без начальной скорости, потом равнозамедленно в положительном направлении оси Ох, затем равноускоренно и далее равнозамедленно в противоположном направлении представлен на рисунке.

Для того чтобы построить этот график, на оси абсцисс откладывают время, а на оси ординат - длину пути, пройденного телом.

В равноускоренном прямолинейном движении зависимость пути от времени выражается формулами

S=v0 t+, S= (при v0=0).

Как видно из данных формул, эта зависимость квадратичная. Из обеих формул следует также, что S = 0 при t =0. Следовательно, графиком пути прямолинейного равноускоренного движения является ветвь параболы. На рисунке показан график пути при v0 =0.

№1. На рисунке показан график зависимости перемещения от времени движения вагона трамвая в начале перегона.

А) Каково движение вагона в различные моменты времени?

Б) В какой момент скорость вагона наибольшая?

В) Что показывают пунктирные линии?

Г) Какова средняя скорость за первые 10 с? За первые 17 с

№ 2. Расстояние между двумя станциями S= 3 км поезд метро проходит со средней скоростью vср = 54 км/ч. При этом на разгон он затрачивает время t1=20 c, затем идет равномерно некоторое время t2 и на замедление до полной остановки тратит время t3=10с. Построить график скорости движения поезда и определить наибольшую скорость поезда vмакс.

№ 3 Начальная скорость материальной точки v0= 6 м/с, ее ускорение a = - 2 м/с2. Найти модуль перемещения и путь, проделанный точкой за t = 8 с, начальная координата равна нулю. Построить график координаты и график пройденного пу

Решение:

Подставим в уравнение координаты x=x0+v0xt+ известные нам из условия величины a, v0, x0, тогда х=6t-t2. При t=8 х=-16.

Весь путь S, пройденный точкой, равен сумме путей S1 и S2 (S1= 9 м, S2 = 25 м )

S= 9 + 25 = 34 (м)

Ответ: ∆х = 16м, S=34 м

№ 4 По данному графику скорости а)написать уравнение зависимости Vx(t), x(t); б) построить график координаты и ускорения; в) построить график пройденного пути l(t).

Решение.

№ 5 Опишите характер движения тела на каждом участке. Начертите график скорости, соответствующий данному графику.

№ 6 По данному графику ускорения написать уравнения зависимости Vx(t), x(t) и построить их графики.

Контрольная работа

Данная статья может быть полезна и учителям , т. к. она является готовым пособием для проведения уроков алгебры и физики, факультативов и элективных курсов по данной теме.

Учащиеся старших классов также могут использовать этот материал для самостоятельного изучения при подготовке к ЕГЭ по физике и вступительным экзаменам в ВУЗы.

№1 График какой функции изображен на рисунке?

1) y=(x+3)2-2 3) y=(x-3)2-2

2) y=(x-3)2+2 4) y=(x+3)2+2

№2 Укажите график для заданной функции.

y=-x2+2

№3 Дана функция y=ax2+bx+c. На каком рисунке изображен график этой функции, если известно, что a<0 и квадратный трехчлен ax2+bx+c имеет два корня разных знаков?

1)2)3)4)

№4 По графику определите знаки коэффициентов a, D, c.

1) a > 0 ; D > 0 ; c > 0

2) a < 0 ; D > 0 ; c > 0

3) a < 0 ; D > 0 ; c < 0

4) a > 0 ; D = 0 ; c = 0

№5 На рисунке изображен график функции

Определите подходящую к этому графику формулу.

1) y=x2-x-6 3) y=x2+x-6

2) y=x2+x+64) y=-x2+x+6

Зависимость координаты тела x от времени при равномерном движении задана графиком.

Определите проекцию скорости на ось Ox.

А. 8м/сБ. -8 м/сВ. 6 м/сГ. -6 м/с

Зависимость координаты x тела от времени задана уравнением x=10+3t-t2 (м). Какое из уравнений зависимости проекции скорости движущегося тела на ось Ox от времени, приведенных ниже, соответствует этому движению?

А. Vx=3-t (м/с)Б. Vx=3+t (м/с)В. Vx=3-2t (м/с)Г. Vx=3+2t(м/с)

График зависимости проекции ускорения автомобиля на ось Ох от времени представлен на рисунке.

Какой из графиков, приведенных ниже, соответствует зависимости проекции скорости автомобиля на ось Ох от времени, если начальное значение проекции скорости равно 2 м/с.

А. 1Б. 2В. 3Г. 4

Опишите характер движения тепловоза, график изменения координаты которого изображен на рисунке, если на участках ОА и ВС график – парабола.

А. Равноускоренное, равномерное, равнозамедленное.

Б. Равноускоренное, равнозамедленное, равномерное.

В. Равномерное, равнозамедленное, равноускоренное.

Г. Равномерное, равноускоренное, равнозамедленное.

Автомобиль 2 мин. двигался прямолинейно и равноускоренно, а затем через 1 мин. торможения с постоянным ускорением остановился. Начальная скорость автомобиля была равна нулю. Какой из графиков зависимости проекции ускорения на ось Ох, направленную по вектору скорости автомобиля, от времени соответствует такому движению автомобиля?

А. 1Б. 2В. 3Г. 4

1. Зависимость координаты движения на двух последовательных участках заданы уравнениями: x1=2t + 0,2t2 и x2=120 – 4t.

а) Опишите движение; б) Запишите уравнение зависимости Vx(t) на каждом участке; в)Постройте графики зависимости координаты от времени, проекции скорости от времени и график зависимости пути от времени.

2. График зависимости скорости некоторого тела от времени изображен на рисунке. Начертите график зависимости ускорения и координаты тела, а также пройденного им пути от времени.

3. На рисунке дан график зависимости координаты тела от времени. После момента t=t1 кривая графика – парабола. Что за движение изображено на графике? Построить график зависимости скорости тела и пройденного им путиот времени.

- x(t)=6t+2t2; x(t)=7+8t; x(t)=39+8t-2t2

Vx(t)=6+2t; Vx(t)=8; Vx(t)=8-4t

График скорости движения поезда изображен на рисунке.